28.8.5二次曲面(二)及习题课解析

不经过化简很难直接判断给定二次 型表示什么曲面. 由于要保持几何图形的形状, 在对 一般三元二次方程化简时, 只能使 用正交变换和平移.
12
因为A是实对称的，可以通过正交变 换X=PY ,去掉交叉二次项,(1)式就变为
1x12+ 2y12+ 3z12+d1x1+d2y1+d3z1 +c=0 (2)
(2)式的二次项中只有平方项,再作一 次平移变换(配方)就能把方程化成标准方
程,即可判断(1)所表示的曲面.
例1 已知 f ( x, y, z) 5x 5 y cz 2xy 6xz 6 yz
2 2 2
的秩为2 . (1)求参数c及该二次型的矩阵的特征值. (2)指出方程 f (x,y,z) =1表示何种曲面.
T 1 T 1
f ( X1 ) 0 为所求的最小值.
16
例2 f ( x, y, z) 6x2 2 y2 6z2 4xz 8x 4 y 8z 2 0
在几何空间中表示什么曲面？
6 0 2 A 0 2 0 2 0 6
解
E A ( 2)( 4)( 8)
f 0x 4 y 9z 9( x y z ) 9
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
f 0x 4 y 9z 0( x y z ) 0
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
所以 f 在 x y z 1下的最大值为9 和最小值为0.
用平面截割法可以得到该曲面形状.
二次锥面
一般三元二次方程化简问题
设三元二次方程的一般形式为
a11 x a22 y a33 z 2a12 xy 2 a13 xz 2 a23 yz b1 x b2 y b3 z c 0 ( aij , bi R) (1)
2 2 2
19
得
即
8x 4 y 2 z 4
2 2 2
x y z 1 1 1 2 2
2
2
2
故该方程表示单叶双曲面.
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第八章习题课
实对称阵
实二次型 正定二次型
惯性定理
化标准形
配方法 初等变换法 正交变换法
y
7
z
用z = a 截曲面 用y = 0 截曲面 x 用x = b 截曲面 0 y
.
8
z
用z = a 截曲面 用y = 0 截曲面 x 用x = b 截曲面
0
y
9
8.5.6
2 2
二次锥面
2
x y z 由方程 2 2 2 0 (a >0,b >0,c>0) a b c
确定的曲面称为二次锥面. 特点: 方程为二次齐次方程,平方项的 系数两个取正号,一个取负号.
(3)求f 在条件 x y z 1 下的最大值和最小值.
2 2 2
解 (1) |A|=0 (2) |λE-A|=0
c =3 λ=0 , 4 , 9
因为 f 为实二次型,所以存在正交变换使 f =0x12+4y12+9z12 , 4y12 + 9z12 =1为椭圆柱面.
因为正交变换保形,f (x,y,z) =1也是椭圆柱面. 2 2 2 (3)在条件 x y z 1 下
2 2 2
15
取 Y0 (0,0,1) , Y Y 1, f 9
T
T 0 0
T T 则 X 0 PY0 ,而 X 0 X 0 Y0 Y0 1
f ( X 0 ) 9 为所求的最大值.
取 Y1 (1,0,0) , Y Y 1,
T
T 1 1
f 0
则 X1 PY1 ,而 X X1 Y Y 1
特征值：1 8，2 4，3 2
求A的属于特征值8,4,-2的特征向量,将 其规范正交化,得A的规范正交的特征向量:
17
2 2 2 2 P 0 1 0 , P 2 2 2 2 2
0 , P 1 3 0
8.5.3 双叶双曲面:
x y z 由方程 2 2 2 1 (a >0,b >0,c>0) a b c
确定的曲面称为双叶双曲面. 特点: 平方项的系数一个取正号,Fra Baidu bibliotek两个取负号.
2
2
2
用平面截割法可以得到该曲面形状.
1
双叶双曲面
z
c y
x
2
8.5.4 椭圆抛物面:
x y 由方程 z 2 p 2q
5
•
用 z = h 截曲面
2 2
hp > 0 : 双曲线-实轴∥x轴 x y h h =0 : -两相交直线 2 p 2q z h hp < 0 : 双曲线-实轴∥y轴
•
用y = h截曲面—抛物线开口向上∥zOx面
•
用x = h截曲面 —抛物线开口向下∥yOz面
6
z
用z = a 截曲面 用y = 0 截曲面 x 用x = b 截曲面 0
2 y ' 2 2 y ' 2
2
8x ' 4 y ' 2z ' 8 2 y ' 4z ' 2 0
8x ' （ 4 y ' 2） （ 2 z '1 ） 4 0
2 2
x x' 作平移变换 y y ' 2 z z ' 1
2
2
( p, q 同号)
确定的曲面称为椭圆抛物面. 用平面截割法可以得到该曲面形状.
3
椭圆抛物面
4
8.5.5
2
双曲抛物面(马鞍面)
2
x y 由方程 z ( p, q 同号) 2 p 2q
确定的曲面称为双曲抛物面.
特点: 异号的平方项,另一个变量是一次 项, 无常数项. 用平面截割法可以得到该曲面形状.
为正交阵.
2 2 0 2 2 令P ( P1 P2 P3 ) 0 0 1 2 2 0 2 2
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则
x x' y P y ' z z '
2 2 2
2 x ' 2 z' 2 x ' 2