专题22 三角形中位线定理应用问题(解析版)

专题22 三角形中位线定理应用问题

1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.对三角形中位线的深刻理解

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的

，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△

DEF 的面积是（ ）

A ．1

B ．1

2

C ．1

3

D ．1

4

【答案】D

【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． ∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，

121

4

∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12

AB ，

∴DF BC

=EF AB

=DE AC

=12

，

∴△DEF ∽△ABC ，

∴S △DEF S △ABC

=（

DE AC

）2

＝（1

2

）2

=1

4，

∵等边三角形ABC 的面积为1，

∴△DEF 的面积是14

.

【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）

A ．2.5

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】A ．

【解析】∵四边形ABCD 为菱形， ∴CD ＝BC ＝

＝5，且O 为BD 的中点，

∵E 为CD 的中点， ∴OE 为△BCD 的中位线， ∴OE ＝CB ＝2.5。

【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。

【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若

AC ＝6，则DH ＝ ．

【解析】1．

【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得

EF AC

=

BE AB

，解得EF ＝2，则DH =1

2

EF ＝1．

【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ， ∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ， ∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，

∴DH =1

2EF ， ∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ，

∴EF AC

=BE AB

，即EF 6

=BE 3BE

，

解得：EF ＝2，

∴DH =1

2EF =1

2×2＝1，

【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．

【答案】8．

【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．

如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，

∴DE＝2FG＝4cm，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝8cm

【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。

【例题3】（2020湖南岳阳模拟）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形.

【答案】见解析。

【解析】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE∥BC，且DE=BC，

同理，GF ∥BC ，且GF=BC ，

∴DE ∥GF 且DE=GF ，

∴四边形DEFG 是平行四边形。

【对点练习】如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为AD 中点，CE 交BA 延长线于点F 。求证：AB ＝AF 。

【答案】见解析。

【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BC AD=BC

∵E 是AD 的中点，∴DE=AE 。

∴AE=

21AD =2

1BC ∴AE 是三角形BCF 的中位线。 ∴E 是FC 的中点，A 是FB 中点 ∴FA=AB 。

【点拨】本题证明方法多，利用全等三角形判定定理和性质定理，结合平行四边形特点也可以解决问题。

一、选择题

1．（2020•内江）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，S 四边形BCED ＝15，则S △ABC ＝（ ）

A．30 B．25 C．22.5 D．20 【答案】D

【解析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=1

2BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形

面积的比等于相似比的平方即可求得答案．∵D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴DE∥BC，DE=1

2BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE

S△ABC

=（

DE

BC

）2=

1

4，

∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，

即S△ADE：15＝1：3，

∴S△ADE＝5，

∴S△ABC＝5+15＝20．

2．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为．