第四章分子对称性与群论初步

乘积：一种相互作用。
例例 G＝｛0，±1，±2，…，±n｝
对算术加法构成一个群。
满足群的封闭性。
群中各元素的运算满足乘法结合律。
若 A、B、C为G群中的元素
则 ABC=(AB)C=A(BC)。 2、
缔 合 性
例
G＝｛0，±1，±2，…，±n｝ 对算术加法构成一个群。
满足群的缔合性
群中必有一个元素E，它同群中任意一个
第四第章四章分子分对子对称称性性和与分群子论点初群步
ChaCphtaepr4te.rM4.olMecoulleacruSlayrmSmymetmryeatrnydaPnidonInt tGrrooduupction to Group Theory
4.1 对称图形的定义
生 物 界 的 对 称 性
建 筑 中 的 对 称 性
S5 C5 h
重叠型二茂
铁具有S5， 可 以由C5和与之 垂直的σ来代
替。
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面； 对称中心；
轴次为4的倍数的映转轴。
试找出分子中所有的独立对称元素
乙烷重叠型
乙烷交错型
俯视图
交错型二茂铁
分子结构是有限图形， 具有宏观对称操作和宏观对称元素：
元素作用的结果仍是该元素，
3、
E为单位元素。即ER=RE=R
单
位 元 素
例
G＝｛0，±1，±2，…，±n｝ 对算术加法构成一个群。
单位元素：0
G群中有单位元素。
群中的每一个元素都有逆元素存在，
逆元素也是群中的元素。
二、n重轴的周期为n
C4的周期为4
三、映转轴和反轴的周期
1、当n为偶数，周期为n
S4的周期为4
2、当n为奇数，周期为2n S3的周期为6
3.4 独立的对称元素
说明映轴和反轴只有轴次为4的整数倍时才是独立的， 其他的均可由反映面、旋转轴、对称中心来代替。
S2 i
例如,先作二重旋转，再对垂直于该轴 的镜面作反映，等于对轴与镜面的交 点作反演.
i • 与操作的先后顺序无关
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宏观对称操作与宏观对称元素
3.3 对称元素的组合
当两个对称元素按一定的相对位置同时存 在的时候，必能导出第三个对称元素，这被称 为对称元素的组合。
对称元素的组合要服从一定的组合原则：
一、两个反映面的组合
两个夹角为α的反映面的交线，一定是一个基转角 为2α的n重旋转轴。
许多元素的集合构成群，
G＝｛A、B、C、D、E｝
群
群中元素的个数为群的阶，符号为h。
数学上符合下列四个条件的集合称为群。
群中任意两个元素乘积或一个元素自乘
的结果，必是群中的一个元素。
1、
封 A,B是G群中任意两个元素，
闭 性
AA=C,BB=D,AB=E
C,D,E都是群G的元素，
群G中的元素满足封闭性。
推论：若有一个反映面包含n重轴，必有n个反映面 包含n重轴。
NH3分子：
1C3，3σv
相邻两个反映面夹角为60度
二、两个旋转轴的组合
垂直于夹角为α的两个2重轴交点的直线，一定是一 个基转角为2α的n重旋转轴。
推论：若有一个2重轴垂直于n重轴，必有n个2重 轴垂直于n重轴。
苯分子： 1×C6，6×C2 相邻两个2重轴的夹角为 30
三、偶次轴与垂直面的组合
如果一个图形中，偶次轴和垂直于偶次轴的对称面 存在，则必存在对称中心。
即偶次轴、垂直面、对称中心三者共存。
反式二氯乙烯：
1×C2，1×σh ，i
3.4 对称元素的周期
凭借同一对称元素进行的独立对称操作的数 目被称为对称元素的周期。 一、对称面和对称中心的周期是2
σ的周期为2
称为旋转操作，符号为 Cˆn
施行旋转操作所凭借的几何元素为一直线，称为旋
转轴，符号为Cn 。
n：轴次
n 2
H2O中的C2
：基转角
基转角是能使图形绕某一对称轴旋转而复原的 最小非零角度.
C2
n 2 2
H2O2
N2O
0
n
N2O中的C∞
二、反映操作与反映面
将图形中的各点移动到某一平面相反方向的等距离
处的操作被称为反映操作。 ˆ
施行反映操作所凭借的几何元素为一平面，称为反 映面，符号为σ。
对称面有三类：
σv： 包含主轴的对称面； σh ：垂直主轴的对称面； σd：包含主轴、并平分与主轴垂直的二重轴之间 的夹角的对称面。
试找出分子中的旋转轴和反映面
三、反演操作与对称中心
将图形中的各点移动到某一点相反方向的等距离处
分子中的对称性
3.1 对称图形的定义
对称图形是能被不改变图形中任意两点间的距离 的操作所复原的图形。
操作：将图形中的每一点按一定的规律从一个位 置移到另一个位置。
复原：实施操作前什么地方有什么，操作后仍有 些什么，以致于无法观察图形中各点位置是否发生变 化。
旋转180度
H2O分子
图形复原
3.2 对称操作与对称元素
• 与操作的先后顺序无关
环辛四烯衍生物中的 S4
分子中心是S4的图形符号
五、旋转反演操作与反轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借此轴线上一 点进行反演操作，这种复合操作被称为旋转反演 操作。 Iˆn
施行反演操作所凭借的直线，称为反轴，符号为In。
映转轴和反轴可相互代 替。
CH4中的反轴I4与旋转反演操作
对称操作：不改变图 形中任何两点的距离而能 使图形复原的操作叫做对 称操作；
实施对称操作所凭借 的几何要素叫做对称元素.
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
有限图形所具 有的对称操作和对 称元素被称为宏观 对称操作和宏观对 称元素。
分子的宏观对称操作和宏观对称元素有5种：
一、旋转操作与旋转轴
将图形中的各点绕某一轴线旋转一定角度的操作被
的操作被称为反演操作。 iˆ
施行反演操作所凭借的几何元素为一点，称为对称 中心，符号为i 。
四、映转操作与映转轴
先凭借某一轴线施行旋转操作，再凭借与此轴垂直 的平面进行反映操作，这种复合操作被称为映转 操作。 Sˆn
施行反演操作所凭借的直线，称为映转轴，符号为 Sn。
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
讨论分子结构时，独立的对称元素有： 旋转轴； 反映面； 对称中心；
轴次为4的倍数的映转轴。
菲分子：
1C2，2σv
苯分子：
3.5 分子的对称类型——分子点群
有限图形按其对称性进行分类，把具有相同类型 和个数的对称元素的图形划为一类，称为一种对称 类型。
一种对称类型是宏观对称元素的一种组合方式。 分子的对称类型则由点群来描述。