2018年高中数学黄金100题系列第73题椭圆中的基本问题理
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第73题 椭圆中的基本问题
I .题源探究·黄金母题
【例1】如图,圆O 的半径为r ,A 是圆O 内的一个定点,P 是圆上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于
点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是什么?为什么?
【解析】连接QA ,由于线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ,则QA QP =,则r QO QP QO QA =+=+,由于A 为圆内一点,则r OA <,根据椭圆定义,点Q 的轨迹是以A 、O 为焦点的椭圆.
精彩解读
【试题来源】人教版A 版选修2-1P 49习题2.1A 组T7.
【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法,
本题动点Q 满足到两个定点距离之和是一个常数(大于两定点距离),符合椭圆定义,可以利用定义法求出动点Q 的轨迹.同理,符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此.利
用定义不仅可以求轨迹,也可以解决很多相关问题,如求曲线方程、求离心率等,因此在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定义”
【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆锥曲线的定义,如圆的定义,椭圆、双曲线、抛物线的定义,考虑问题注意运用线段的垂直平分线性质,两圆内切、外切的条件等.
II .考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考浙江卷】椭圆
2
2
194
x y
+=的离心率是
( ) A 13
B 5
C .23
D .
5
9
【答案】B
【解析】945
e -==
B . 【例2】【2017新课标III 】已知椭圆
C :
()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线
【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、
标准方程及其简单几何性质等. 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面:(1)根据椭圆的定义求椭圆的标准方程(选择、填空,解答题第一问,常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察);(2)椭圆性质的初步运用(选择、填空、解答题第一问);(3)求椭圆中距离、周长或者面积等;(4)求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹(解答题第二
问);(5)确定椭圆中的弦长、式子的定值问题,确定与椭圆有关的曲线经过的定点
段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为 ( )
A .
6
3
B .
33
C .
23
D .
13
【答案】A
【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0 ,半径为r a = ,圆的方程为222
x y a +=,直线
20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半
径,即:2
2
d a a b
=
=+,整理可得223a b =,即()222223,23a a c a c =-=,从而2
222
3c e a =
= ,椭圆的离心率26
3c e a =
==
,故选A . 问题(解答题第二问);(6)求椭圆中的弦长(或其它量)的最值或者范围(解答题第二问).
【难点中心】
1.利用定义解题,是数学常见题,灵活应用定义,一方面考查对定义的理解,另一方
面体现在灵活应用的“活”字上,利用定义
解题的题型很多,涉及求离心率,求轨迹,求焦三角形的周长、面积等.
2.解决椭圆的离心率的求值及范围问题,
其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不
等式,再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c
a ,的关系式,建立关于c
b a ,,的方程或不等式,
要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
【例3】【2016高考新课标II 】已知1F ,2F 是双曲线E :22
22
1x y a b -=的左,右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211
sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( )
A.2 B .
2
3
C .3
D .2 【解析】离心率1221
22F F c c
e a a MF MF =
==-, 1221121
90sin 33
MF F MF F MF x MF x ∠=︒∠===,,,Q ,
122222,x
F F x e =∴=
,故选A . 【例4】【2017高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离
心率为1
2
,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位
3.涉及直线与椭圆的位置关系的问题,只要联立直线与椭圆的方程,借助根与系数关系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定要把结果及时求出来,可能需要整体代换到后面的计算中去,从而减少计算量.等于“中点弦问题”,可以利用“点差法”处理.
于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .
(1)求椭圆E 的标准方程;
(2)若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.
【答案】(1)
22143
x y +=;(2)4737(,)77. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c .∵椭圆E 的离心率为
1
2
,∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8,∴228a c
=②.联立①②得2,1a c ==,∴3b =
,故椭圆E 的标准方程为
22143
x y +=. (2)解法一:由(1)知()()121,0,1,0F F -.
从而直线1l 的方程:00
1
(1)x y x y +=-
+ ① 直线2l 的方程:00
1
(1)x y x y -=-
- ② F 1 ⋅
O
⋅
F 2
x
y
(第17题)
由①②,解得
2
0 0
1
,
x
x x y
y
-
=-=,∴
2
1
(,)
x
Q x
y
-
-.
∵点Q在椭圆上,由对称性,得
2
1x
y
y
-
=±,即22
00
1
x y
-=
或22
00
1
x y
+=.
因此点P的坐标为
4737
.
解法二:设00
(,)
P x y,则
00
0,0
x y
>>,由题意得
1
(1)
1
(1)
x
y x
y
x
y x
y
+
⎧
=-+
⎪
⎪
⎨
-
⎪=--
⎪⎩
,整理得
2
1
x x
x
y
y
=-
⎧
⎪
-
⎨
=
⎪
⎩
,∵点00
(,)
P x y在椭圆E上,∴
22
001
43
x y
+=,∴
222
00
2
(1)
33
y x
y
-
=,∴
22
00
169
,
77
x y
==,故点P的坐标是
4737
,
77
⎛
⎝⎭
.
解法三(参数方程):设()
2cos,3sin0,
2
Pθθθ
⎛π⎫
⎛⎫
∈ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
,
则
12
3sin3sin
,,
PF PF
k k
θθ
==∴直线12,l l方程分别为))
1,1
3sin3sin
y x y x
θθ
=+=-.联立解得
2
2cos,,
3sin
Qθ
θ
⎛⎫
-
⎝
又Q在椭圆上,()2
22
2cos1
1
433sin
θ
θ
-
∴+=,整理得
427cos 10cos 80,θθ+-=
()()22247cos 4cos 20,cos 7
θθθ∴-+=∴=
.又
2221
0,,cos ,sin ,2θθθπ⎛⎫∈∴==∴ ⎪⎝⎭
点P 的坐标是
4737,77⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
. 解法四(秒杀技):由已知得1290QF P QF P ∠=∠=︒,故这四个点共圆.若12,,,P F Q F 四点共圆,则圆以12F F 为直
径,方程为2
2
1x y +=,但它与椭圆22143
x y +=无交点,故
应该是12,,,P Q F F 四点共圆(即在以PQ 为直径的圆上),从而,P Q 关于y 轴对称.设()()0000,0,0P x y x y >>,
则()00,Q x y -,且,P Q 是圆()2
22
00x y y x +-=与椭圆
22
143
x y +=的交点,又12,F F 在此圆上,()22002200
10,1,43y x x y ⎧+-=⎪∴⎨+=⎪⎩解得0047,737.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(注意000,0x y >>). III .理论基础·解题原理 考点1 椭圆的定义 椭圆的概念
(1)文字形式:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距. (2)代数式形式:集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >,则集合P 为椭圆; ②若a c =,则集合P 为线段; ③若a c <,则集合P 为空集. 考点2 椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程:
(1)焦点在x 轴,()22
2210x y a b a b +=>>;
(2)焦点在y 轴,()22
2210y x a b a b
+=>>.
2.满足条件:2
2
2
22,,0,0,0a c a b c a b c >=+>>> 考点3 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质
条件
22222,,0,0,0a c a b c a b c >=+>>>
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
22
10y x a b a b +=>> 范围 x a y b ≤≤, x b y a ≤≤,
对称性
曲线关于,x y 轴及原点对称
顶点 长轴顶点()0a ±, ,短轴顶点()0b ±, 长轴顶点()0a ±, ,轴顶点()0b ±,
焦点 ()0c ±,
()0c ±,
焦距 222122()F F c c a b -==
离心率
() 0,1c
e a ∈=,其中c =22a b -
通径
过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为2
2b a
IV .题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上,通常以解答题的形式出现,难度较小,往往以椭圆、抛物线、双曲线为载
体,考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识.
椭圆问题借助定义a PF PF 221=+,结合试题所给其它条件解题,特别是在焦三角形中,经常利用三角形的边角关系(正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式)解题,注意
1212,PF PF PF PF +⋅之间的联系,灵活应用定义解题.
椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线,在高考中出现的次数也最多,主要考查椭圆的定义、性质、方程,在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题. 【易错指导】
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2
与y 2
的分母大小.
2.注意椭圆的范围,在设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上点的坐标为P(x ,y)时,则|x|≤a ,这往往在
求与点P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
3.学习中,要注意椭圆几何性质的挖掘:
(1)椭圆中有两条对称轴,“六点”(两个焦点、四个顶点),要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a -c ),过焦点垂直于长轴的通径长为
22
22b b e c a
⋅=等.
(2)设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任意一点P (x ,y ),则当x =0时,|OP |有最小值b ,这时,P 在
短轴端点处;当x =a 时,|OP |有最大值a ,这时P 在长轴端点处.
(3)椭圆上任意一点P (x ,y )(y ≠0)与两焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形,其周长为2(a +c ).
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边,a 2
=b 2
+c 2
. 4.重视向量在解析几何中的应用,注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征. V .举一反三·触类旁通
考向一 椭圆的定义与焦点三角形
【例1】设P 是椭圆22
1255
x y +=上一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,
120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 12F PF ∆则面积是________. 【答案】5
【解析】由椭圆方程可知5,25525a c ==
-=,即12210PF PF a +==,12245F F c ==120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r ,所以12PF PF ⊥u u u r u u u u r ,所以222
121280PF PF F F +==,因为
2
2
2
121212()2PF PF PF PF PF PF +=++,解得1210PF PF =.因为12PF PF ⊥u u u r u u u u r
,所以
12121
52
F PF S PF PF ∆=
=. 【例2】(2018浙江省名校联考)已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 2
3
=1的两个焦点,过点F 2作x 轴的垂线交椭圆于A ,
B 两点,则△F 1AB 的周长为________.
【名师点睛】
1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题,可直接用椭圆定义求解.
2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题,往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.
3.应用椭圆的定义,可以得到结论:(1)椭圆上任意一点P (x ,y )(y ≠0)与两焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形,其周长为2(a +c ).
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边,a 2
=b 2
+c 2
.
【例3】【2018江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆的一个动点,如果M 是线段F 1P 的中点,那么动点M 的轨迹是________. 【答案】椭圆
【跟踪练习】
1.已知椭圆C :22221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ,离心率为3
,过2F 的直线l 交C 于A 、
B 两点,若1AF B ∆的周长为43,则
C 的方程为________.
【答案】22
132
x y +=
2.已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面
积为9,则b =________. 【答案】3
考向二 椭圆的标准方程
【例4】已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3
3,过F 2的直线l 交C 与A ,B
两点,若△AF 1B 的周长为43C 的方程为________.
【答案】22
132
x y += 【解析】由椭圆的定义可得,121222,AF AF a BF BF a +=+=,又因为1212 AF AF BF BF +++=43所以4a =43a =
3,又因为3c e a =
=1c =, 222
2b a c =-=,所以椭圆方程为22
132
x y +=. 【例5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ;
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3;
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2).
【答案】(1)
22+y =19x 或22y +=1819x ;(2)22y +=1129x 或22y +=1912
x ;(3)x 29+y 2
3=1.
(3)设椭圆方程为mx 2
+ny 2
=1(m >0,n >0且m ≠n ).∵椭圆经过点P 1,P 2,∴点P 1,P 2的坐标适合椭圆方
程.则⎩⎪⎨
⎪⎧
6m +n =1, ①
3m +2n =1, ②
①②两式联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧
m =19
,n =1
3.∴所求椭圆方程为x 29+y 2
3
=1.
【名师点睛】
1.求椭圆标准方程的方法
求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定参).
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为
22
=1x y m n + (0)0m n m n ≠>,>且,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为2
2
1Ax By +=
(A >0,B >0且A ≠B ),这种形式在解题中更简便. 2.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏,要
深刻理解椭圆中的几何量2
,,,,a a b c e c
等之间的关系,并能熟练地应用.
【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: (1)作判断:根据条件判断焦点的位置.
(2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为22
1mx ny +=
(0)0m n m n ≠>,>且. (3)找关系:根据已知条件,建立关于a b c m n 、、或、的方程组. (4)求解,得方程.
2.(1)方程2222y +=1x a b 与22
22y +=(>0)x a b
λλ有相同的离心率.
(2)与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22
222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k
+>++,恰当运用
椭圆系方程,可使运算简便. 【跟踪练习】
1.【湖北省八校2018届第一次联考】如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,()5,0F -为C 的左焦点, P 为C 上一点,满足OP OF =且6PF =,则椭圆C 的方程为( )
A .
2213616x y += B .2214015x y += C .2214924x y += D .22
14520
x y += 【答案】C
考向三 椭圆的几何性质(离心率、通径等)
【例6】椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ,F 为其左焦点,若AF ^BF ,设
6
π
=
∠ABF ,则该椭圆的离心率为( )
A .
22 B .13- C .33 D .231-
【例7】【2018福建厦门模拟】设1F ,2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点,过2F 的直线交
椭圆于P ,Q 两点,若160F PQ ∠=︒,1PF PQ =,则椭圆的离心率为( )
A .
1
3
B .23
C .23
D .
3 【解析】由条件1PF PQ =,而0
160
F PQ ∠=,∴1F PQ ∆
为等边三角形,而周长为4a ,∴等边三角形 的边长为
43a ,在焦点三角形12
PF F ∆中,14||3a PF =,22||3
a
PF =,12||2F F c =, ∴22242()()(2)33a a c -=,即223a c =,∴22
213c e a ==,∴33
e =.
【例8】设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一
点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为
30o
,则C 的离心率为___. 【解析】不妨设12PF PF >,则121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,所以124,2PF a PF a ==,因为0
1230PF F ∠=,
所以1223F F a =,所以232c
e a
==.
【跟踪练习】
1.【2018贵州贵阳高中高三8月摸底考试】椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ,右焦点为F ,
过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于两点,P Q ,若3
cos 5
PAQ ∠=
,则椭圆C 的离心率e 为( ) A .
12 B .22 C .3 D .23
【答案】A
4223449230c a c a c a --+=,据此得到关于离心率的方程: 4249230e e e --+=,分解因式有:
()
2
131022e e e ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
,结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率12e =,故选A . 2.【2018重庆一中11月月考】已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F , P 是椭
圆上一点, 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形,若120,3PF F π⎛
⎫
∠∈ ⎪⎝
⎭
,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C .1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ,再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a-PF 2=2a-2c .设∠PF 2F 1 = θ,则
1
,1cos 32
π
θπθ<<∴-<<,△PF 1F 2中,由余弦定理可得 cos θ=222
22ac c a c +- 由-1<cosθ 可得 3e 2
+2e-1>0,e >
13,由cosθ<12,可得 2ac <a 2
,e=12c a <,综上1132
e <<,故选D 3.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>短轴的端点()0,P b 、()0,Q b -,长轴的一个端点为M ,AB 为经过
椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若,PA PB 的斜率之积等于1
4
-,则P 到直线QM 的距离为__________. 【答案】
25
4.【2018河南师大附中高三8月开学考试】椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,若F 关于直
线30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点,则椭圆C 的离心率为__________. 【答案】31-
【解析】设F '为右焦点,则π
,,3,23
AF AF AF F AF AF FF AF ⊥∠=
∴''==''',因此椭圆C 的离心率为
2c 231231
FF a AF AF ===-+'+'. 【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a ,c ,代入公式c
e a
=
; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围). 5.【2018河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆()2
2:18C x y ++=,定点()1,0,A M 为圆上一动点,线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ,设点N 的轨迹为曲线E ; (Ⅰ)求曲线E 的方程;
(Ⅱ)若经过()0,2F 的直线L 交曲线于不同的两点,G H ,(点G 在点F ,H 之间),且满足35
FG FH =u u u v
u u u
v ,求直线L 的方程.
【答案】(Ⅰ)2
2 1.2
x y +=(Ⅱ)2 2.y x =±+
(Ⅱ)设()()1122,,,,G x y H x y
当直线GH 斜率存在时,设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为: 2y kx =+,
2
2
2{ 12
y kx x y =+∴+=,整理得: 22
14302k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
, 由0∆>,解得: 2121222343
,,.11222
k k x x x x k k >
+=-⋅=++ ------①
又()()1122,,2,,,2FG x y FH x y =-=-u u u v u u u v
Q ,
由35FG FH =u u u v u u u v ,得123
5
x x =,结合①得
2
22
35651212k k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭,即2
322
k =>, 解得 2.k =±
∴直线l 的方程为: 22y x =±+,
当直线GH 斜率不存在时,直线l 的方程为10,3x FG FH ==u u u v u u u v 与35FG FH =u u u v u u u v
矛盾.
∴直线l 的方程为: 2 2.y x =±+
6.【2018湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22
211x y a a
+=>的
一个公共点, 12,F F 分别为该椭圆的左右焦点,设12PF PF +取得最小值时椭圆为C . (1)求椭圆C 的标准方程及离心率;
(2)已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点, Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点,直线,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ,试判断mn 是否为定值;如果为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(1) 2
213
x y +=;(2)1 .
(2)设()()()112100,,,,,A x y B x y Q x y ,且()()0,,0,M m N n ,
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题,属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
7.【2018黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点
)
3,0,且经过点31,2⎛- ⎝
⎭,点M 是x 轴上的一点,过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(点A 在
x轴的上方)
(1)求椭圆C的方程;
(2
)若2
AM MB
=,且直线l与圆
22
4
:
7
O x y
+=相切于点N,求MN的长.
【答案】(1)
2
21
4
x
y
+=(2)
421
21
2
1212
22
24
,
44
tm m
y y y y
t t
-
+=-=
++
,,三者消12
y y
,得
2
2
22
42
,2
44
m tm
t t
-⎛⎫
=--
⎪
++
⎝⎭
,最后关于,m t的解方程组得2
4
3
m=,2
4
3
t=,根据切线长公式可得MN的长.
试题解析:(1)由题意知
()
222
2
2
2
3
3
{
1
1
4
a b c
b
-==
⎛
-⎝⎭
+=
,即()()
2
4430
a a
--=,
又22
33
a b
=+>,故22
4,1
a b
==,
椭圆C的方程为
2
21
4
x
y
+=.
(2)设(),0
M m,直线()()
1122
:,,,,
l x ty m A x y B x y
=+,
由2
AM MB
=,有
12
2
y y
=-,
由()
2
2
222
1
{4240
4
x
y
t y my m
x yy m
+=
⇒+++-=
=+
,
由韦达定理得
2 1212
22
24
,
44
tm m
y y y y
t t
-
+=-=
++
,
由2
12212222
2,2
y y y y y y y y
=-+=-+=-,则()()
22
121212
2
y y y y y y
⎡⎤
=--+=-+
⎣⎦,
2
2
22
42
,2
44
m tm
t t
-⎛⎫
=--
⎪
++
⎝⎭
,化简得()()
2222
448
m t t m
-+=-,原点O到直线的距离
2
1
m
d
t
=
+
,
考向四直线与椭圆位置关系
【例9】【2018黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=,过椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C 于A B
、两点,其中点B是椭圆的上顶点,椭圆C的左顶点为D,直线AD BD
、分别与直线
:22
m x=--相交于M N
、两点.则ABD
MND
S
S
∆
∆
=()
A
.
1
2
B.
11
2
23
- C
.
2
2
D.
1
3
【答案】B
)
()()
)
()()
()
()()
)
()()
21
22
222222
4
20211
3 2.
23
222222
x x
AD DB
DM DN
----
⋅=⋅
--------
-----
=⋅=-
--------
本题选择B选项.
【跟踪练习】
1.【2018南京市联考】已知椭圆:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点为F,过F作直线l(不过原点O)交椭圆于,A B两点,若,A B的中点为M,直线OM交椭圆的右准线于N
(1)若直线l垂直X轴时,AB MN
=,求椭圆的离心率e;
(2)若椭圆的离心率
1
2
e=,当直线l斜率存在时设为
1
k,直线NF的斜率设为
2
k,试求
12
k k的值.
2.【2018四川成都一诊】已知()()00,0,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动,且1AB =
,若动点()
,P x y 满足23.OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v
(1)求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程;
(2)直线:1l x ty =+与曲线C 交于A B 、两点, ()1,0E -,试问:当t 变化时,是否存在一直线l ,使ABE ∆得面积为23?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
(2)由方程组2
2
1
{ 143
x ty x y =++=得()2234690*t y ty ++-=() 设()()1122,,,,A x y B x y 则1212
2269
,03434
t y y y y t t +=-
=-<++ 所以2
22
1212122269121||()443434t t y y y y y y t t +⎛⎫⎛⎫-=+-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
因为直线1x ty =+过点()1,0F ,所以ABE ∆的面积
221211121121||222ABE
t t S EF y y ∆++=-=⨯⨯=,令212123t +=则223
t =-不成立,不存在直线l 满足题意.
考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题
【例10】设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 2
16=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则
|PM |+|PF 1|的最大值为________.
【跟踪练习】
1.【2018浙江名校协作体模拟】设,A B 是椭圆22
:14x y C k +=长轴的两个端点,若C 上存在点P 满足
120APB ∠=o ,则k 的取值范围是( )
A .
[),,4012+3⎛
⎤∞ ⎥⎝⎦U B .[),20,6+3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦U C .[),,2012+3⎛⎤
∞ ⎥⎝⎦
U D .[),40,6+3⎛⎤∞ ⎥⎝
⎦
U
【答案】A
2.已知椭圆22
22
1(
0)
x y
a b
a b
+=>>的左,右焦点为
12
,
F F,离心率为e.P是椭圆上一点,满足
212
PF F F
⊥,
点Q在线段
1
PF上,且
1
2
FQ QP
=
u u u r u u u r
.若
12
F P F Q
⋅=
u u u r u u u u r
,则2e=()
A.21
- B.2-2 C.2-3 D.52
-
【答案】C
3.已知()()
,00
A a a>,M(x0,y0)是椭圆C:
x2
2
+y2=1上的一点,则AM的最小值()
g a= .
【答案】
2
2
1,0
2
2
a a
a a
-<≤
⎨
⎪>
⎪⎩
【注意问题】因为02x ≤
,所以当20a <≤
时,()2
1g a a =-,当2a >时,()(
)
2
21
22122
g a a a a =
-+-=-.
4.【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点M 是圆心为E 的圆()
2
23
16x y ++=上的动点,点(
)
3,0F
,线段MF 的垂直平分线交EM 于点P .
(1)求动点P 的轨迹C 的方程;
(2)矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切,设矩形ABCD 的面积为S ,求S 的取值范围.
【答案】(1) 2
214
x y +=;(2) 810S ≤≤.
试题解析:
(1)依题PM PF =,
所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值), 23,423EF =>
所以点P 的轨迹是以,E F 为焦点的椭圆,其中24,2
23a c ==,
所以P 点轨迹C 的方程是2
214
x y +=
2
222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m
+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭
=+,
因为直线AB 与椭圆相切,所以22
1410k m ∆=+-=,所以2141m k =
+,同理2241n k =+,
所以 ()
(
)
22222212121222
2222
1
2
12
1
241641
44141111k k k k k k S k k k k k k +++++=
=
+++++ ()
(
)
22
1222
1
2
41742k k k k ++=
++
()
22
2121229
9
4444212k k k k =⋅
+=⋅
+⎛⎫++++ ⎪
⎝
⎭,
2121
1
2k k +
≥ (当且仅当11k =±时,不等式取等号), 所以9
444422
S <≤⋅
++,即810S <≤, 由①②可知, 810S ≤≤.
5.【2018安徽合肥高三调研性检测】已知M为椭圆
22
:1 259
x y
C+=上的动点,过点M作x轴的垂线段MD,D为垂足,点P满足
5
3
PD MD
=
u u u v u u u u v
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程;
(Ⅱ)若,A B两点分别为椭圆C的左右顶点,F为椭圆C的左焦点,直线PB与椭圆C交于点Q,直线,
QF PA的斜率分别为,
QF PA
k k,求QF
PA
k
k
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)动点P的轨迹E的方程为()
22250
x y y
+=≠(Ⅱ)QF
PA
k
k
∈()2
,0,
5
⎛⎫
-∞⋃+∞
⎪
⎝⎭
求出
91
1
254
QF
PA
k
k x
⎛⎫
=+
⎪
+
⎝⎭
,进而借助0
55
x
-<<且
4
x≠-,及
1
4
x+在
()
5,4
--和()
4,5
-都是单调
减函数,求出
91
1
254
x
⎛⎫
+
⎪
+
⎝⎭
的范围为()
2
,0,
5
⎛⎫
-∞⋃+∞
⎪
⎝⎭
:
解:(Ⅰ)设()()
,,,
P x y M m n依题意(),0
D m,且0
y≠,
∵
5
3
PD MD
=
u u u v u u u u v
,即()()
5
,0,
3
m x y n
-=-,
则有
{{
53
35
m x m x
y n n y
-==
⇒
-=-=
.
又∵(),
M m n为椭圆
22
:1
259
x y
C+=上的点,
可得
2
2
3
5
1
259
y
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
+=
,即2225
x y
+=,
即动点P的轨迹E的方程为()
22250
x y y
+=≠.
6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆: 22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2
,直线l :y =2上
的点和椭圆上的点的距离的最小值为1. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 已知椭圆的上顶点为A ,点B ,C 是上的不同于A 的两点,且点B ,C 关于原点对称,直线AB ,AC 分别交直线l 于点E ,F .记直线AC 与AB 的斜率分别为1k , 2k . ① 求证: 12k k ⋅为定值; ② 求△CEF 的面积的最小值.
证法二:直线AC的方程为
11
y k x
=+,由
2
2
1
1
{2
1
x
y
y k x
+=
=+
,
,
得()22
11
1240
k x k x
++=,
解得1
2
1
4
21
C
k
x
k
=-
+
,同理2
2
2
4
21
B
k
x
k
=-
+
,因为B,O,C三点共线,则由12
22
12
44
2121
C B
k k
x x
k k
+=--=
++
,
整理得()()
1212
210
k k k k
++=,所以
12
1
2
k k⋅=-.
②直线AC的方程为
1
1
y k x
=+,直线AB的方程为
2
1
y k x
=+,不妨设
1
k>,则
2
k<,
令y=2,得
21
11
,2,2
E F
k k
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,,而
22
11
122
11
421
11
2121
C C
k k
y k x
k k
-+
=+=-+=
++
,
所以,△CEF的面积()
1
2
2
CEF C
S EF y
∆
=⨯⨯-
2
1
2
121
21
111
2
221
k
k k k
⎛⎫⎛⎫
-
=-+
⎪⎪
+
⎝⎭⎝⎭
2
211
2
121
61
1
221
k k k
k k k
-+
=⋅⋅
+
.
由
12
1
2
k k⋅=-得
2
1
1
2
k
k
=-,则
CEF
S
∆
22
11
1
2
111
21611
36
2212
k k
k
k k k
++
=⋅=+≥
+
,当且仅当
1
6
k=取得等号,所以△CEF的面积的最小值为6.
7.如图,过椭圆C:
2
21
4
x
y
+=的左右焦点
12
,F F分别作直线
1
l,
2
l交椭圆于,A B与,C D,且
12
//
l l.
(1)求证:当直线
1
l的斜率
1
k与直线BC的斜率
2
k都存在时,
12
k k为定值;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
(2)当1l 的倾斜角为0o
时, 1l 与2l 重合,舍去.当1l 的倾斜角不为0时,由对称性得四边形ABCD 为平
行四边形, ()
13,0F -,设直线1l 的方程为3x my =-,代入2
214
x y +=,得
()
2
242310m
y y +--=.显然0∆>, 1223
y y +=
, 12
214
y y m -⋅=+.所以()
2
2122
222
13231
1
342322444
OAB
m m S y y m m m
∆⎛⎫-+=⋅⋅-=⋅-⋅=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭
,设2
1m t +=,所以
2
1m t =-, ()1,t ∈+∞.所以
(
)
22
221
11
969124
6m t t t m t t
+=
=≤
+++++.当且仅当9t t
=即2m =±号成立,所以()max 1
3112
OAB S ∆==.所以平行四边形面积的最大值为()()max 44ABCD OAB S S ∆=⋅=. 8.已知点P 是长轴长为22的椭圆Q : 22
221(0)x y a b a b +=>>上异于顶点的一个动点, O 为坐标原点,
A 为椭圆的右顶点,点M 为线段PA 的中点,且直线PA 与OM 的斜率之积恒为1
2
-.
(1)求椭圆Q 的方程;
(2)设过左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,C D 两点,线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点G ,点G 横坐标的取值范围是1,04⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
,求CD 的最小值.
设()()1122,,,A x y B x y , AB 中点()00,N x y ,∴()22121222
422
,1212k k x x x x k k -+=-⋅=++. ∴()()201200
22
12,121212k k
x x x y k x k k =+=-=+=++ ∴CD 的垂直平分线方程为()001y y x x k -=--,令0y =,得00211
242
G x x ky k =+=-++ ∵1,04G x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
,∴21114242k -≤-++,∴2102k <≤.
()()
42222
2121642122
1121
k k k CD k x x k k -+-=+-=+⋅
+()
211
32
22+
22221k ⎡⎤⎢⎥=≥+⎢⎥⎣
⎦
,
min 32
||2
CD =
. 考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题
【例11】【2018辽宁沈阳联考】平面直角坐标系xOy 中,椭圆C : 22
221x y a b
+=(0a b >>)的离心率
是
3,抛物线E : 2
2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程;
(2)设P 是E 上动点,且位于第一象限, E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A , B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;
(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S , PDM ∆的面积为2S ,求
1
2
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
(
)
2
234
41410m x m x m +-+-=,由0∆>,得025m <<+3
122441
m x x m +=
+,因此312022241x x m x m +==+,将其代入22m y mx =-得()202
241m y m =-+,因为00
14y x m =-,所以直线OD 方程为14y x m =-.联立方程1
{ 4y x m x m
=-=,得点M 的纵坐标为M 14y =-,即点M 在定直线1
4
y =-上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 方程为22m y mx =-,令0x =得2
2m y =-,所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
又21,,0,,22m P m F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32222,41241m m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭
,所以()2
111124S GF m m m ==+,
()()
2
220221
12841m m S PM m x m +=
⋅-=+,所以()()
()
22
12222411
21
m m S S m ++=+, 令221t m =+,则
()()122
2211112t t S S t t t
-+==-++,当112t =,即2t =时, 12S S 取得最大值9
4,此时22m =,满足0∆>,所以点P 的坐标为21,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,因此12S S 的最大值为9
4,此时点P 的坐标为21,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【跟踪练习】
1.如图,12,A A 为椭圆22
195
x y +=长轴的左、右端点, O 为坐标原点, ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的
三点,直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则2
2
OS OT
+=( )
A .14
B .12
C .9
D .7 【答案】A
2.【2018江苏如东期中】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>2
其左、右焦点分别为12F F 、,
点()00,P x y 是坐标平面内一点,且5OP =, 1216PF PF ⋅=u u u r u u u u r
(O 为坐标原点).
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点()0,1S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点,在y 轴上是否存在定点M ,使以AB 为直径的圆恒过该点?若存在,求出点M 的坐标,若不存在,说明理由.
(2)设动直线l 的方程为: 1y kx =-,由2
2
1
{ 1189
y kx x y =-+=得()22214160k x kx +--=. 设()11,A x y , ()22,B x y ,则122421k x x k +=
+, 122
16
21
x x k ⋅=-+.假设在y 轴上是否存在定点()0,M m ,满足题设,则()11,MA x y m =-u u u r , ()22,MB x y m =-u u u r .()()1212MA MB x x y m y m ⋅=+--=u u u r u u u r
()2121212x x y y m y y m +-++()()()21212121111x x kx kx m kx kx m =+----+-+
()
()()221212121k x x mk k x x m m =+++++++(
)()22
2
2
16142121
21
k k mk k m
m k k -++=
-+++++
()
2
222218215
21
m k m m k -++-=
+,由假设得对于任意的k R ∈, 0MA MB ⋅=u u u r u u u r
恒成立,即
222180{ 2150
m m m -=+-=解得3m =.因此,在y 轴上存在定点M ,使以AB 为直径的圆恒过该点,点M 的坐标为()0,3.
3.已知椭圆C : 22
221(0)y x a b a b
+=>>的上下两个焦点分别为1F , 2F ,过点1F 与y 轴垂直的直线交椭
圆C 于M 、N 两点, 2MNF ∆的面积为3,椭圆C 的离心力为3
2
. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)已知O 为坐标原点,直线l : y kx m =+与y 轴交于点P ,与椭圆C 交于A , B 两个不同的点,
若存在实数λ,使得4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
,求m 的取值范围.
且12224
km
x x k -+=+, 212244m x x k -=+,由3AP PB =u u u r u u u r ,得123x x -=,即123x x =-,∴
()
2
1212340x x x x ++=,∴
(
)
(
)222
2
22441204
4
m k m k k -+
=++,即2
2
2240m k
m k +--=.
当2
1m =时, 2
2
2
2
40m k m k +--=不成立,∴22
241
m k m -=-,∵22
40k m -+>,∴222
4401m m m --+>-,即
()2
2
2401
m m m ->-,∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上所述, m 的取值范围为
{|21012}m m m m -<<-=<<或或.。