新高考总复习 数学 第二章 函数 第4节 幂函数与二次函数

D．f(m＋1)<0
解析：因为 f(x)的对称轴为 x＝－12，f(0)＝a>0，所
以 f(x)的大致图象如图所示．
由 f(m)<0，得－1<m<0， 所以 m＋1>0，所以 f(m＋1)>f(0)>0. 答案：C
1．研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行 分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上 关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线” 是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
A．－1<m<0<n<1
B．－1<n<0<m
C．－1<m<0<n
D．－1<n<0<m<1 解析：幂函数 y＝xα，当 α>0 时，y＝xα 在(0，＋∞) 上为增函数，且 0<α<1 时，图象上凸，所以 0<m<1；当 α<0 时，y＝xα 在(0，＋∞)上为减函数，不妨令 x＝2，由 图象可得 2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，－1<n<0<m<1. 答案：D
质，能用二次函数、方程、 2017·浙江卷，T5
不等式之间的关系解决简单
问题.
1．幂函数 (1)幂函数的定义． 一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自 变量，α 为常数． (2)常见的 5 种幂函数的图象．
(3)幂函数的性质． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当 α＞0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)， 且在(0，＋∞)上单调递增； ③当 α＜0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0， ＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式． 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解析：依题意，设 f(x)＝a(x＋1)2， 所以 ax2＋2ax＋a＝ax2＋bx＋1， 因此 a＝1，b＝2. 故 f(x)＝x2＋2x＋1. 答案：x2＋2x＋1
2．已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴 上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝ f(2＋x)，则 f(x)＝________．
考点 3 二次函数的图象及应用 [典例 1] 对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)与二次 函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
解析：若 0<a<1，则 y＝logax 在(0，＋∞)上单调递减， y＝(a－1)x2－x 开口向下，其图象的对称轴在 y 轴左侧， 排除 C、D.
1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三 条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 所分 区域．根据 α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1 的取值确定位 置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．
法二(用“顶点式”解题) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12， 所以 m＝12. 又根据题意，函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 y＝f(x)＝ax－122＋8.
由 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4. 所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”解题) 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，即4a（－2a4－a 1）－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)．
2．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ＞＜00，时恒有 f(x)＞0，当aΔ＜＜00，时，恒有 f(x)＜0.
3．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定 不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与 坐标轴相交，则交点一定是原点．
[概念思辨] 1．判断下列结论正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．
2．求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次 函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．
一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同 一坐标系中的图象大致是( )
解析：若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b 为增函数，二 次函数 y＝ax2＋bx＋c 的开口向上，故可排除 A；若 a<0， 一次函数 y＝ax＋b 为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 开口向下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0， b>0，从而－2ba<0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧， 故应排除 B，只有选项 C 适合．
1
(1)函数 y＝2x3是幂函数．( )
(2)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函 数．( )
(3) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(x ∈ R) 不 可 能 是 偶 函 数．( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是 4ac－b2
若 a>1，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a －1)x2－x 的图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足．
答案：A
[典例 2] 设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知 f(m)<0，
则( )
A．f(m＋1)≥0
B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0
所以所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是 根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择 规律如下：
1．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R， 若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，则 f(x)＝________．
3．(人 A 必修第一册·习题改编)如果函数 f(x)＝ax2 ＋2x－3 在区间(－∞，4)上单调递增，则实数 a 的取值范 围是________．
解析：当 a＝0 时，f(x)＝2x－3 在(－∞，4)单调递增． 当 a≠0 时，f(x)在(－∞，4)上单调递增． 则 a 满足a－<1a0≥，4.解之得－14≤a<0. 综上可知，－14≤a≤0. 答案：－14，0
答案：A
3．(2020·惠州调研)已知点(m，8)在幂函数 f(x)＝(m
－1)xn 的图象上，设 a＝f 13，b＝f(ln π)，c＝f 2－12， 则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．b<a<c
解析：由于 f(x)＝(m－1)xn 为幂函数，
所以 m－其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当 0＜x＜1 时，其图象在直线 y＝x 的上方，对照选 项，C 正确． 答案：C
2．已知点a，12在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上， 则 f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 解析：因为点a，12在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上， 所以 a－1＝1 且 ab＝12，解之得 a＝2，且 b＝－1. 故 f(x)＝x－1 为奇函数，在(－∞，0)与(0，＋∞)上是减函数．
考点 2 二次函数的解析式(讲练互动) [典例] (一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－ 1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定该二次函数 的解析式． 解：法一(利用“一般式”解题) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得4a4a－ a＋c4－ba2＋bb2＋c＝＝c8＝－，－1，1，解得abc＝＝ ＝7－ 4.，4， 所以所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[典题体验]
4
2
1
4．已知 a＝23，b＝33，c＝253，则( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
42
2
2
2
解析：因为 a＝23＝43，b＝33，c＝53，又 y＝x3在(0，
＋∞)上是增函数，所以 c>a>b. 答案：A
5．(2020·河南省实验中学质检)已知函数 f(x)＝3x2－ 2(m＋3)x＋m＋3 的值域为[0，＋∞)，则实数 m 的取值范 围为( )
又点(2，8)在函数 f(x)＝xn 的图象上，
所以 8＝2n，知 n＝3，故 f(x)＝x3 是增函数．
又 ln π>1>2－12＝ 22>13， 所以 f(ln π)>f(2－12)>f 13， 因此 b>c>a. 答案：A
4.若幂函数 y＝x－1，y＝xm 与 y＝xn 在第一象限内的图
象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为( )
[教材衍化] 2．(人 A 必修 1·习题改编)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图
象过点12， 22，则 k＋α＝(
)
A.12
B．1
C.32
D．2
解析：因为 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1.
又 f(x)的图象过点12， 22，所以12α＝ 22，
所以 α＝12，所以 k＋α＝1＋12＝32. 答案：C
A．{0，－3} B．[－3，0] C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 解析：依题意，Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则 m ＝0 或 m＝－3. 所以实数 m 的取值范围是{0，－3}． 答案：A