高中数学导数与极限ppt课件

2．导数的应用 (1)求曲线的切线方程 利用导数求曲线的切线方程：由于函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数表示曲线在点 P(x0，y0)处的斜率，因此曲线 y ＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－ x0)．注意：如果曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线 平行于 y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切 线方程为 x＝x0. (2)求函数的单调区间 利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面： ①f′(x)>0 是 f(x)递增的充分条件而非必要条件 (f′(x)<0 亦是如此)；
x x0
x0 处是否有定义及是否等于 f (x0)都无关. 函数 f (x)的左、 右极限： 如果当 x 从点 x=x0 左侧 （即 x<x0） 无限趋近于 x0 时，函数 f (x)无限趋近于常数 a.就说 a 是 函数 f (x)的左极限，记作 xl i mx f (x)=a.
0
如果当 x 从点 x=x0 右侧（即 x>x0）无限趋近于 x0 时， 函数 f (x)无限趋近于常数 a.就说 a 是函数 f (x)的右极限， 记作xl i mx f (x)=a.
0
→值不唯一.
5.函数连续 函数在一点连续的定义：如果函数 f (x)在点 x=x0 处有 定义， (x)存在，且l i m f (x)=f (x0)，那么函数 f (x)在点 lim f
x x0 x x0
x=x0 处连续.函数 f (x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三 个条件： （1）函数 f (x)在点 x=x0 处有定义； （ 2） (x) lim f
x x0
存在； （3） (x)=f (x0)，即函数 f (x)在点 x0 处的极限值 lim f
x x0
等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数 f (x) 在点 x0 处不连续.那么根据这三个条件， 我们就可以给 出函数在一点连续的定义.
6．函数连续性的运算 (1)若 f(x)， g(x)都在点 x0 处连续， 则 f(x)± g(x)， f(x)· g(x)， f(x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续． g(x) (2)若 u(x)在点 x0 处连续，且 f(u)在 u0＝u(x0)处连续， 则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处连续．
高中数学导数 与极限课件
(3)求导数的方法 － ①基本导数公式： c′＝0 (c 为常数 )；(xm)′＝mxm 1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ 1 1 x x x e ；(a )′＝a ln a；(ln x)′＝ x；(logax)′＝xln a. ②导数的四则运算：(u± v)′＝u′± v′； u u′v－uv′ (uv)′＝u′v＋uv′；v′＝ (v≠0)． 2 v ③复合函数的导数：yx′＝yu′· ux′. 如求 f(ax＋b)的导数，令 u＝ax＋b，则 (f(ax＋b))′＝f′(u)· a.
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明． (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值)． ②求可导函数在[a，b]上的最值的步骤 求 f(x)在(a,b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小．
lim an ＝a，读作“当
n
n 趋“n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
特别提醒 若 f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上 有 f′(x)≥0 恒成立(但不恒等于 0)；若在某区间上单调 递减， 则在该区间上有 f′(x)≤0 恒成立(但不恒等于 0)．
3．数列极限的定义 一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列{an} 的项 an 无限趋近于某个常数 a(即|an－a|无限趋近于 0)，那么就说数列{an}以 a 为极限，或者说 a 是数列 {an}的极限．记作
lim f (x)=a.
x
当 x→x0 时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 无限趋近于常数 x0（但 x≠x0）时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a， 就说当 x 趋向于 x0 时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作 xl i mx f (x)
0
=a,（或 x→x0 时，f (x)→a）, l i m f (x)=a 与函数 f (x)在点