关于数学建模经典问题——旅行商问题课件
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3
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题， Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。
TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开 箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到 类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP 无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP 是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
关于数学建模经典 问题——旅行商问
题
第7章
目录 旅行商问题
1.问题概述 2.求解算法
2.1.下界和上界算法
2.2.分支定界法 2.3.动态规划法 2.5.近似算法 2.5.竞赛题
2
§7-1 问题概述
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线？
min Z
ij dij xij
ij pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
11
(3) 多人TSP 若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行
走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另 一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的目 标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与总 收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们日 常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行程 最短相比，往往更具实际意义。
10
假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
13
互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论 从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究
表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路 线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使 不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也要 化几百万年才能求出一条最短的路线。
m
,
对 i 1, 2, 对i 0
,n 1
x
ij
0, 1 ,
x ii
0,
i, j
且 不 存 在 任 何 子 回 路
假定原问题为对称型MTSP，V={v0,v1,…vn-1}， v0为名推销员出发点，记V‘={v01,v02,…v0m; v0,v1,…vn1} ，扩大的m-1个顶点称为“人造顶点”，其距离 矩阵也相应扩大，其中，位于出发点的m个顶点相
若对所有1≤i, j, k≤n ，有不等式dij + djk ≥ dik成立， 则问题被称为是满足三角形不等式的，简称为ΔTSP。
7
2. 扩展TSP (1) 瓶颈TSP
瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一种扩展型 TSP，其含义与经典的TSP类似，仅目标不同，要 求巡回路线中经过的最长距离最短，即最小化瓶颈 距离。该情形体现了那些并不追求总巡回路线最短， 而只希望在巡回路线中每次从一个地点至另一个地 点的单次行程尽可能短的实际应用问题的特征。
4
记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，
各顶点间的距离dij已知。设
xij 1 0,,
若 i,j在 回 路 路 径 上
其 他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i1 j1
n
xij 1,
j1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
(7 1) (7 2) (7 3)
Biblioteka Baidu
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（7－1）
和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边进和一条
边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路解的产生。
于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7－3）的解构
成了一条Hamilton回路。
6
当dij=dji (i, j∈V) 时，问题被称为对称型TSP，否 则称为非对称型TSP。
14
早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
8
从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP）并 没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决办 法。
瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函数 不同：
m in Z m a xd ijx ij i,j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
9
(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
nn
min Z
dij xij
i1 j1
n
xij 1,
j1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0,1
i V j V S V, 2 S n 1
令决策变量
1, 若 有 某 推 销 员 从 城 市 i到 城 市 j xij 0, 否 则
则MTSP的数学模型为：
12
m n -1
m i n Z
d ij x ij
i1 j 0
n -1
1, 对 j 1, 2,
k0
x kj
m
,
对j 0
,n 1
s .t .
n -1
x ik
k0
1,
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题， Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。
TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开 箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到 类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP 无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP 是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
关于数学建模经典 问题——旅行商问
题
第7章
目录 旅行商问题
1.问题概述 2.求解算法
2.1.下界和上界算法
2.2.分支定界法 2.3.动态规划法 2.5.近似算法 2.5.竞赛题
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§7-1 问题概述
一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或 旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其 一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城 市2、3、…、n去推销货物，最后返回城市1，若任 意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择 其最佳行走路线？
min Z
ij dij xij
ij pij xij
毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最 小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。
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(3) 多人TSP 若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行
走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后 返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为 一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。
申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另 一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的目 标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与总 收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们日 常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行程 最短相比，往往更具实际意义。
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假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的 数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：
13
互间的距离设定为∞，其他数值不变。
二、多面体理论 从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究
表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式 算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可 以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路 线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使 不太大，例如n＝30，用目前最快的计算机，也要 化几百万年才能求出一条最短的路线。
m
,
对 i 1, 2, 对i 0
,n 1
x
ij
0, 1 ,
x ii
0,
i, j
且 不 存 在 任 何 子 回 路
假定原问题为对称型MTSP，V={v0,v1,…vn-1}， v0为名推销员出发点，记V‘={v01,v02,…v0m; v0,v1,…vn1} ，扩大的m-1个顶点称为“人造顶点”，其距离 矩阵也相应扩大，其中，位于出发点的m个顶点相
若对所有1≤i, j, k≤n ，有不等式dij + djk ≥ dik成立， 则问题被称为是满足三角形不等式的，简称为ΔTSP。
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2. 扩展TSP (1) 瓶颈TSP
瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一种扩展型 TSP，其含义与经典的TSP类似，仅目标不同，要 求巡回路线中经过的最长距离最短，即最小化瓶颈 距离。该情形体现了那些并不追求总巡回路线最短， 而只希望在巡回路线中每次从一个地点至另一个地 点的单次行程尽可能短的实际应用问题的特征。
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记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，
各顶点间的距离dij已知。设
xij 1 0,,
若 i,j在 回 路 路 径 上
其 他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i1 j1
n
xij 1,
j1
n
s.t
i1
xij
1,
xij S 1,
(7 1) (7 2) (7 3)
Biblioteka Baidu
模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（7－1）
和（7－2）意味着对每个点而言，仅有一条边进和一条
边出；约束（7－3）则保证了没有任何子回路解的产生。
于是，满足约束（7－1）、（7－2）和（7－3）的解构
成了一条Hamilton回路。
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当dij=dji (i, j∈V) 时，问题被称为对称型TSP，否 则称为非对称型TSP。
14
早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方 法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的 TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法 解决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一 些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百 个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得 注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与 Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面 （facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的 新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都 在不长的时间内找到了最优解。
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从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP）并 没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决办 法。
瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函数 不同：
m in Z m a xd ijx ij i,j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
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(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引
iS jS
xij 0, 1
i V j V S V , 2 S n 1
(7 1) (7 2) (7 3)
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nn
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i1 j1
n
xij 1,
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i1
xij
1,
xij S 1,
iS jS
xij 0,1
i V j V S V, 2 S n 1
令决策变量
1, 若 有 某 推 销 员 从 城 市 i到 城 市 j xij 0, 否 则
则MTSP的数学模型为：
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m n -1
m i n Z
d ij x ij
i1 j 0
n -1
1, 对 j 1, 2,
k0
x kj
m
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对j 0
,n 1
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n -1
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