高中数学直线与方程

第三章直线与方程§3．1 直线的倾斜角与斜率3．1．1倾斜角与斜率【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．一、选择题1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为()A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝33．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°]5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k26．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是()A．mn>0 B．mn<0C．m>0，n<0 D．m<0，n<0二、填空题7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．三、解答题10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．能力提升12．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c的大小关系是________________．1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．2．三点共线问题：(1)已知三点A ，B ，C ，若直线AB ，AC 的斜率相同，则三点共线；(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB |＋|BC |＝|AC |，也可断定A ，B ，C 三点共线．3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．第三章 直线与方程 §3．1 直线的倾斜角与斜率 3．1．1 倾斜角与斜率答案知识梳理1．相交 x 轴 正向 向上方向 正切值 2．90° 作业设计1．C [①②③正确．]2．C [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3．]3．D [因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．] 4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．]5．D [由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2．]6．C [由题意知，直线与x 轴不垂直，故n ≠0．直线方程化为y ＝－m n x ＋1n ，则－mn>0，且1n<0，即m>0，n<0．] 7．30°或150° 33或－338．09．20°≤α<200°解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)， 所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°． 10．解 αAD ＝αBC ＝60°，αAB ＝αDC ＝0°，αAC ＝30°，αBD ＝120°．k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－3．11．解 设P(x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意，由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P(2,0)． 12．解y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y)与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y)满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y)在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB ＝23．所以得y x 的最大值为2，最小值为23．13．f (c )c >f (b )b >f (a )a解析 画出函数的草图如图，f (x )x可视为过原点直线的斜率．3．1．2 两条直线平行与垂直的判定【课时目标】1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．1．两条直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔________．(2)如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与________垂直，故l1________l2．2．两条直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔__________．(2)如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是________．一、选择题1．有以下几种说法：(l1、l2不重合)①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．02．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值()A．2 B．1 C．0 D．－14．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m 的值为()A．1 B．0 C．0或2 D．0或15．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有()A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形D．以上都不对二、填空题7．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．9．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是____________．三、解答题10．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．11．已知△ABC的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，试求m的值．能力提升12．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．3．1．2 两条直线平行与垂直的判定 答案知识梳理1．(1)k 1＝k 2 (2)x 轴 ∥ 2．(1)k 1k 2＝－1 (2)垂直 作业设计1．B [①③正确，②④不正确，l 1或l 2可能斜率不存在．]2．C [k AB ＝－23，k AC ＝32，k AC ·k AB ＝－1，∴AB ⊥AC ．]3．B [直线AB 应与x 轴垂直，A 、B 横坐标相同．]4．D [当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD ．]5．C6．B [k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．]7．－1a 或不存在8．2 －98解析 若l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－b2＝－1，∴b ＝2．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，Δ＝9＋8b ＝0，∴b ＝－98．9．平行或重合解析 由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝3，直线l 2的斜率k 2＝－23－3－2－1＝3，因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1，l 2重合． 10．解由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5．由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15．∴BC 边上的高所在直线斜率不存在；AB 边上的高所在直线斜率为－45；AC 边上的高所在直线斜率为－15．11．解 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1．若AB ⊥AC ，则有－12·⎝⎛⎭⎫－m ＋13＝－1，所以m ＝－7．若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3．若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2．综上可知，所求m 的值为－7，±2,3． 12．(－19，－62)解析 设A(x ，y)，∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，且k BH ＝－15，k CH ＝－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＋6＝5，y －1x －2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.13．解∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ， 由图可知：A(2，－1)． (2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85．综上⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧m ＝165n ＝－85．§3．2 直线的方程 3．2．1 直线的点斜式方程【课时目标】 1．掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素．2．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．2．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，(1)l1∥l2⇔________________________；(2)l1⊥l2⇔________________．一、选择题1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －23．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0 D ．k <0，b <04．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图形可能是( )5．集合A ＝{直线的斜截式方程}，B ＝{一次函数的解析式}，则集合A 、B 间的关系是( )A ．A ＝B B ．B AC ．A BD ．以上都不对6．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)二、填空题7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为______________．8．已知一条直线经过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋3平行，则该直线的点斜式方程是________．9．下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程． 正确的为________(填序号)．三、解答题10．写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．11．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．能力提升12．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l 的方程．13．等腰△ABC 的顶点A (－1,2)，AC 的斜率为3，点B (－3,2)，求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在直线方程．1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0．直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．§3．2直线的方程3．2．1直线的点斜式方程答案知识梳理1．y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b2．(1)k1＝k2且b1≠b2(2)k1k2＝－1作业设计1．C[易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．]2．D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．]3．B4．D5．B[一次函数y＝kx＋b(k≠0)；直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，所以B A．]6．C[直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]7．y＝－13x＋13解析直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y＝－13x，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13．8．y－2＝2(x－1)9．②③10．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1． 11．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35．∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3．12．解 设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b ．由已知可得12·|b|·|6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b ＝±1．故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1．13．解 直线AC 的方程：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB ∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 的倾斜角为30°或120°．当α＝30°时，BC 方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线倾斜角为120°，∴所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3． 当α＝120°时，BC 方程为y ＝－3x ＋2－33，∠A 平分线倾斜角为30°，∴所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33．3．2．2 直线的两点式方程【课时目标】 1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．2．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＝ ．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线x a 2－yb2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 4．在x 、y 轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y－4＝1C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝15．直线xm－yn＝1与xn－ym＝1在同一坐标系中的图象可能是()6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l 的截距式是______________．三、解答题10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．能力提升12．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|P A|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P (x 0，y 0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．3．2．2 直线的两点式方程 答案知识梳理 1．x a ＋y b＝12．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计 1．A 2．B3．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．]4．A5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y ＝nmx －n ，y ＝mnx －m ，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B 选项的两直线的斜率符号相同．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b ≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y －32＝2(x －2)解析 k AB ＝－12，由k·k AB ＝－1得k ＝2，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 点斜式方程为y －32＝2(x －2)．8．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析 设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1．9．x 2＋y 6＝1 解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1．10．解 方法一 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ． ∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ．令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b)；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0． 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6．因此直线l 的方程为y ＝6x±6．方法二 设所求直线为x a ＋yb＝1，则与x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．由勾股定理知a 2＋b 2＝37．又k ＝－ba ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝37，－b a＝6.解此方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.因此所求直线l 的方程为x ＋y －6＝1或－x ＋y6＝1．11．解 (1)由截距式得x －8＋y4＝1，∴AC 所在直线方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x－2，∴AB 所在直线方程为x ＋y －4＝0．(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)．∴BD 所在直线方程为2x －y ＋10＝0．(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D(－4,2)，由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线方程为2x ＋y ＋6＝0． 12．(0,1)解析 要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A 关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，连接A ′B ，直线A ′B 与y 轴的交点P 即为所求点．13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0．当直线l 不过原点时，设其方程x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0， ①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1， ②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0．故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0．3．2．3 直线的一般式方程【课时目标】 1．了解二元一次方程与直线的对应关系．2．掌握直线方程的一般式．3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系．1．关于x ，y 的二元一次方程________________(其中A ，B ________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．一、选择题1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠02．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．33．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．32B ．32或0C ．0D ．－2或04．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝05．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )6．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足()A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0二、填空题7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为________，化为截距式为________．8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是______________．9．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．11．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．能力提升12．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 的值为( )A ．8B ．345C ．4D ．1113．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷．2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为截距式有两种方法：一是令x ＝0，y ＝0，求得直线在y 轴上的截距B 和在x 轴上的截距A ；二是移常项，得Ax ＋By ＝－C ，两边除以－C (C ≠0)，再整理即可．3．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法：①若一个斜率为零，另一个不存在则垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后则k 1k 2＝－1．②一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误．3．2．3 直线的一般式方程 答案知识梳理1．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 2．y －y 0＝k(x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋yb＝1 Ax ＋By ＋C ＝0 作业设计 1．D2．D [由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去)．] 3．A4．A [由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0．]5．C [将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．]6．D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形： (1)截距等于0，此时只要c ＝0即可；(2)截距不等于0，此时c ≠0，直线在两坐标轴上的截距分别为－c a 、－cb．若相等，则有－c a ＝－cb，即a ＝b ．综合(1)(2)可知，若ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等，则a ＝b 或c ＝0．]7．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝18．m ∈R 且m ≠1解析 由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m ≠1且m ≠－32；由m 2－m ≠0，得m ≠0且m ≠1，故m ≠1． 9．x －y ＋1＝0解析 AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1， 方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0．10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0．(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．11．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0． 显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m，∴m ＝－2．∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．12．B [点(0,2)与点(4,0)关于直线y －1＝2(x －2)对称，则点(7,3)与点(m ，n )也关于直线y －1＝2(x －2)对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋72－2n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345．]13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．8．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2． 8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．3．3．2两点间的距离【课时目标】1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝________________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝________．2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C ．0或6D ．0或－62．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝55．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．⎝⎛⎭⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 9．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．三、解答题10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．3．3．2 两点间的距离 答案知识梳理1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 22．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系作业设计1．A [由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8．] 2．B3．C [设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b2＝－1，解得a ＝4，b ＝－2， ∴|AB |＝25．]4．B [设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )， 则由|P A |＝|PB |得， 4x －2y ＝5．] 5．B[(如图)A 关于x 轴对称点为 A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ， 求得M 坐标为(1,0)．]6．A [由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由|P A |＝|PB |，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．]7．17解析 由题意知⎩⎨⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴d ＝42＋12＝17．8．(2,10)或(－10,10)解析 设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10．9．2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2，|AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中， 由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)． 由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5． 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0． 11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )， 则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2 ＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示， 令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得|P A|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|P A|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|≥|A′B|，故|P A|＋|PB|的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．3．3．3点到直线的距离3．3．4两条平行直线间的距离【课时目标】1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．。