范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(效用最大化)

第7章 效用最大化
1．考虑由如下关系定义的偏好：
()()12121212x x y y x x y y ⇔+<+，，
（a ）该偏好是否满足局部非饱和性假设？
（b ）若消费集中仅包括两种消费物品，且消费者面临正的价格，消费者会花费其全部收入吗？请解释。

Consider
preferences
defined
over
the
nonnegative
orthant
by
()()1212x x y y ，， if
1212x x y y +<+. Do these preferences exhibit local nonsatiation?
If these are the only two consumption goods and the consumer faces positive prices, will the consumer spend all of his income? Explain.
答：（a ）由局部非饱和性的定义：给定消费集X 中的任意消费束x 和任意0ε>，消费集X 中总存在消费束y ，满足x y ε-<，使得y
x 。

局部非饱和性的含义是：即使仅允许
对消费束作微小调整，消费者也可以做得更好一些。

对于任意的消费束()()1200x x ≠ ，，
和非常小的正数ε，令：
1122y x y x == 那么：
1
2
x y εε-≤<
所以该偏好满足局部非饱和性，但是在()00 ，这一点除外。

（b ）消费者不会花光他全部的收入，理由如下：对任意花光全部收入的消费束，一定有：
1122p x p x m +=
对于这样的消费束，消费者只要把每种商品的消费量减少一点就可以提高自己的效用，因此在追求效用最大化的假设条件下，消费者是不会花光他全部收入的。

2．某一消费者具有效用函数(){}1212max u x x x x = ，，。

求消费者对物品1的需求函数，并求消费者的间接效用函数和支出函数。

A consumer has a utility function (){}1212max u x x x x = ，，: What is the consumer’s demand function for good 1? What is his indirect utility function? What is his expenditure function?
解：设价格为1p 、2p ，总收入为m 。

在局部非饱和条件下，消费者的最优化问题可表述为：
()
12
121122max ..x x u x x s t p x p x m
+=，，
由效用函数(){}1212max u x x x x = ，，的形式可以看出，两种物品是相互替代的，任何一种物品都可以满足效用的最大化，因此，物品1的需求函数为：
如果满足12p p <，则只消费1x ，因此间接效用函数为：
()11/v p m m p =，
同理可以得到：
()22/v p m m p =，
由于两种物品1x 和2x 是相互替代的，因此间接效用函数为：
(){}1212max 1/1/v p p m m p p =⋅ ，，，
由于支出函数是间接效用函数的逆函数，所以支出函数为：
(){}1212min e p p u u p p = ，，，
3．某一消费者具有下述形式的间接效用函数：
(){}
1212min m
v p p m p p =
，，，
该消费者的支出函数是何种形式?该消费者的（拟凹）效用函数是何种形式？对物品1的需求函数是何种形式？
A consumer has a n indirect utility function of the form
(){}
1212min m
v p p m p p =
，，，
What is the form of the expenditure function for this consumer? What is the form of the utility function for this consumer? What is the form of the demand function for good 1?
答：由于支出函数是间接效用函数的逆函数，所以该消费者的支出函数是：
(){}1212min e p p u u p p = ，，，
由支出函数可以看出，由于两种物品是相互替代的，因此消费者将消费较便宜的那种消费品，所以效用函数为：
()1212u x x x x =+，（或者是12x x +的任何单调变换，不唯一）
由于两种物品是相互替代的，因此物品1的需求函数是：
4．考察以下给出的间接效用函数：()1212
m
v p p m p p =+，， （a ）求需求函数； （b ）求支出函数； （c ）求直接效用函数。

Consider the indirect utility function give by ()1212
m
v p p m
p p =+，，. （a ）What are the demand functions? （b ）What is the expenditure function? （c ）What is the direct utility function? 解：（a ）根据罗伊恒等式：
（b ）由于支出函数是间接效用函数的逆函数，因此支出函数为：
()()1212e p p u p p u =+，，
（c ）由支出函数可以看出，两种物品是互补的，因此效用函数是里昂惕夫效用函数：
(){}1212min u x x x x = ，，
5．某消费者具有如下形式的直接效用函数：()()1212U x x u x x =+，
其中物品1是一个离散的物品，对其唯一的可能消费水平是10x =和11x =。

为方便起见，假设()00u =，21p =。

问：
（a ）该消费者具有何种类型的偏好？
（b ）1p 严格低于何种水平，该消费者才会明确选择11x =？ （c ）与此直接效用函数相联系的间接效用函数的代表形式是什么？
A consumer has a direct utility function of the form ()()1212U x x u x x =+， Good 1 is a discrete good; the only possible levels of consumption of good 1
are 10x = and 11x =.For convenience, assume that ()00u =,21p =.
（a ）What kind of preferences does this consumer have?
（b ）The consumer will definitely choose 11x = if p 1 is strictly less than what? （c ）What is the algebraic form of the indirect utility function associated with this direct utility function?
答：（a ）形如()()1212U x x u x x =+，的效用函数为拟线性效用函数，该消费者具有拟线性偏好，效用函数对第二种商品来说是线性的。

（b ）消费者的问题是：
()
()12
12
12112212
112max ..max ..x x x x u x x s t p x p x m u x x s t p x x m
+=⇔ + +=，，，
将约束条件代入目标函数，可以得到无约束的效用最大化问题：
()1
111max x u x m p x +-
由于商品1是离散的，因此不能使用古典优化条件。

当11x =时，效用为()0u m m +=；当11x =时，效用为
()11u m p +-。

要使得消费者选择11x =，要求()11m u m p +-＜，因此有：
()11p u ＜
（c ）消费者的效用最大化行为表述如下：。