四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)

2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1

的坐标为（）

A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）

2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）

A．10 B．21 C．35 D．46

3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．

4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）

A．4 B． 6 C．8 D．10

5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）

A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=0

6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）

A．相交B．相离C．外切D．内含

7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（）

A．++B．++C．++D．﹣﹣

8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）

A．α∩β=l，m与α，β所成角相等

B．α⊥β，l⊥α，m∥β

C．l，m与平面α所成角之和为90°

D．α∥β，l⊥α，m∥β

9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：

①直线l的倾斜角为α；

②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；

③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；

④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．

其中正确结论的个数为（）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4

10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）

A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值

B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值

C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值

D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．

12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．

13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．

14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．

15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：

①⊥（﹣）；

②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；

③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；

④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，

则动点P的轨迹为圆．

其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（12分）（2014秋•成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：

（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；

（Ⅱ）MN⊥AC．

17．（12分）（2014秋•成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；

（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．

身高（单位：cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）

人数2 8 15 20 25 18 10 2

18．（12分）（2014秋•成都期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两

两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．

（Ⅰ）求向量的模；

（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．

19．（12分）（2014秋•成都期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．

（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；

（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．

20．（13分）（2014秋•成都期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．