第五章-波函数与薛定谔方程
第五章波函数与薛定谔方程
第五章波函数与薛定谔方程§5 - 1 波函数的统计诠释一概率波（1）电子双缝衍射和概率波( a )( b )图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样●入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。
●单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。
●实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果。
●实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数ψ正是为描写粒子的这种行为而)(r引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。
●在量子力学中，波函数)(rψ是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。
●在经典物理学中并不存在与波函数ψ对应的物理量。
在经典概念下，)(r当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。
( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用)(r ψ描述，则衍射图样的强度分布用)(r ψ的模方描述 )()(*)(2r r r ψψψ= (5.1)其中：ψ*( r )是ψ ( r )的复共轭。
衍射波强度 | ψ ( r ) |2是刻画电子出现在r 点附近的概率大小的一个量，即 z y x ∆∆∆2)(r ψ (5.2)表示在r 点处的体积元z y x ∆∆∆中找到粒子的概率。
这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。
结论：波函数ψ( r )：是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
波函数和薛定谔方程 郭红
波函数和薛定谔方程郭红----0a106a76-7161-11ec-af1f-7cb59b590d7d波函数和薛定谔方程郭红波函数与薛定谔方程&lowbar；郭红第13卷第6期2000年12月高等函授学报(自然科学版)《高等教育（自然科学）杂志》第13卷。
2000年12月6日文章编号:1006-7353(2000)06-0007-04波函数与薛定谔方程(华中师范大学物理系)(广东省梅州农业学校)文摘：讨论了在量子力学中把波函数作为复值的必要性，阐明了状态叠加原理是引入复值波函数的物理基础。
介绍了一种求解薛定谔方程的简单方法。
关键词:波函数;叠加原理;薛定谔方程CLC编号：o413 1文件识别码：a1波函数与叠加原理众所周知，微小物体具有波粒二象性。
因此，我们可以用波函数来描述微系统的状态。
然而，必须强调的是，波函数给出的有关微观系统的信息基本上是统计的。
例如，如果在适当的条件下制备具有动量P的粒子，并测量其空间位置（或角动量），我们就无法预测该测量的准确结果，而只知道获得各种可能结果的概率。
人们自然会问：既然量子力学只能给出统计性质，只需要引入一个概率分布函数（就像经典统计力学一样），为什么要假设一个复值波函数？事实上，引入复值波函数的物理基础是量子力学的一个基本原理（叠加原理）。
这个原理告诉我们，两个状态的叠加并不是概率的相加，而是具有相位[1]的复波函数的相加。
因此，在双缝衍射实验中，我们可以在屏幕上看到干涉图样。
现在我们再来详细考察双缝衍射实验。
我们在屏上选择一个小区域p,分别打开左边和右边狭缝,单位时间落在p区域内的粒子数目分别为n1和n2;然后同时打开两条狭缝。
试问:这时单位时间内落在小区域p内的粒子是否等于来自左边狭缝的n1个右边狭缝中的粒子和N2粒子的总和呢？不，因为粒子一个接一个地穿过狭缝，它们彼此不接触影响,因此,这个结果表明,似乎原先通过左边狭缝的粒子,在打开右边狭缝时会影响它落在屏上的位置,也就是说,我们必须设想单个粒子具有波动性,因此,仅仅把波动性理解为概率分布是不够的[2]。
第五章 薛定谔方程数值解法-1
D1
由此解得 C1 和 D1 为
1 r2W (W ) C1 e ( W ) 2 r2 1 r2W (W ) D1 e ( W ) 2 r2
(5.1.16)
由上面过程可见，C 0和D 0的值完全确定了 A1，B1，C1和D1的值，结果完全确定了波 函数。一般情况下C1的值不一定为零。为了 满足 时， ( x) 为零，必须要 求C1=0。这就对E的取值进行了限制，不能 取任意值，只能取某些确定值，才能保证 C1=0的要求。
(5.1.3) (5.1.4)
其中E为波函数的本征值。
由(5.1.3)式，直接可得
f (t ) ce
iEt /
其中c为任意常数。粒子的波函数 可表示成
( x,
(5.1.5)
这就是定态波函数，其中常数c已经包括在 ( x) 中。
几率密度为
(5.2.2)
如果考虑原子的外层电子运动，这时内层电子的 作用可近似考虑成电子云，它的密度为 (r ) ，这 时的势能由两部分组成，即
Ze (r ) U (r ) r r
2
(5.2.3)
第一项是核子的贡献，Z 为带正电的核子数，第 二项为电子云的贡献。以上三种情况都属于辏力 场的情况。
(0) r2 C0 r2 (0) r1 A1
可解得
r2 A1 r 1
(5.1.13)
同理，利用在势阱的另一边 X W 处，波函数 和它的一次导数都连续，得到
r2 (W ) sin Wr1 cos Wr1 r1
(5.1.14-1) (5.1.14-2)
(W ) C1e
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
简述薛定谔方程与波函数
简述薛定谔方程与波函数
薛定谔方程是描述量子力学中一个粒子的运动的基本方程之一，其形式为时间-空间偏微分方程。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程是描述粒子波函数的演化的方程，其中波函数是对一个粒子可能状态的描述。
波函数是一个数学函数，它描述了粒子在给定时刻的位置和动量的所有可能状态。
薛定谔方程将波函数与粒子的能量联系起来。
它描述了波函数在时间和空间上的演化方式，并将粒子的能量表示为波函数的特征值。
薛定谔方程可以用于计算粒子在各种情况下的运动和行为。
这些情况可以是粒子在外场中的运动，或者是两个或多个粒子的相互作用。
波函数是用来描述量子系统的数学对象。
它是一个数学函数，它描述了粒子在空间中的位置和运动状态的可能性。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在给定位置上发现粒子的概率。
波函数的模的平方越大，粒子出现在该位置的概率越高。
波函数在时间和空间上的演化可以由薛定谔方程描述。
波函数会根据薛定谔方程在不同的时间和空间位置上演化。
波函数在时间演化的过程中，其振幅和相位不断地变化。
这些变化可以用波函数的频率和波长来描述。
薛定谔方程和波函数是量子力学的基本概念之一，它们被广泛应用于研究和理解原子、分子和固体等量子系统的行为。
薛定谔方程和波函数的发展使得人们对物质世界的认识有了深刻的改变，也为现代科技的发展做出了重要的贡献。
薛定谔方程中的波函数
薛定谔方程中的波函数薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了量子体系的演化规律。
量子力学中最基本的物理量是波函数，它可以用来描述量子体系的各种性质和行为。
在薛定谔方程中，波函数是一个核心的概念，本文将从波函数的定义、性质、演化规律以及应用等几个方面对其进行系统的阐述和说明。
一、波函数的定义和基本性质波函数是量子力学中最基本的概念之一，它用来描述量子体系的状态随时间的演化规律。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它是一个复数函数，其物理意义是描述一个粒子在每一时刻所处状态的复振幅。
波函数在空间中的取值，可以用来预测量子体系的各种性质，如位置、动量、能量等。
波函数的基本性质包括归一化、线性叠加和幅角不变性等。
其中，归一化是指波函数必须满足面积归一化条件，即在整个空间中的概率密度值的积分等于1；线性叠加是指若存在两个波函数Ψ1和Ψ2，则它们的线性组合aΨ1+bΨ2也是一个波函数；幅角不变性是指波函数的幅角在空间变换下保持不变。
二、薛定谔方程的基本形式和演化规律薛定谔方程描述了量子体系随时间演化的规律。
它的基本形式是：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ其中，H是一个厄米算符，描述了量子体系的哈密顿量；ℏ是普朗克常量除以2π，i是虚数单位。
薛定谔方程中的Ψ是波函数，通过解该方程可以预测量子体系的演化规律和各种性质。
薛定谔方程演化规律的本质是波函数随时间的演化。
根据波函数的定义和基本性质可以证明，在薛定谔方程下，波函数是线性演化的，即任何两个波函数的线性组合仍然是一个波函数；波函数的演化是幅角不变的，即所描述的量子态的物理性质仅仅由波函数的幅值和相位角决定；波函数的演化是量子态最小扰动原理的体现，即量子系统的演化过程总是惟一的，不能出现任何“选择”。
三、波函数在实际中的应用波函数在量子力学中有广泛的应用，如描述原子、分子、固体等物质的量子特性。
其中，波函数在化学中应用最广泛，可以通过使用量子化学方法提供各种分子的基态和激发态的性质，如能量、电子结构和化学反应等。
波函数与薛定谔方程
（２）态 的 迭 加 原 理
Ｂ．时 间部分 函数是确定 的。
如果 １、 ２、ｘＩ＊３…是体 系可能 的状 态 ，则 它们的线性 迭加态 ＝ ｃｌ ｌ＋ｃ２ ２＋ｅ３Ｘｌｔ３…＝∑ｃｉ＇Ｐｉ也 是体 系的一个 可 能状态 。当体 系处 在迭加 态 时 ，体系部 分处在 在迭加之前的各个态 ＇ｔｑ。
１）量子力学使用最多 的是把 可以实现的态分解为某一个算 符本征 态 的迭 加 。
２）如同经 典波的分解 和迭加 ，量子力学 的态的迭加 也是波 函数 的
数 ，这称 为简并 。若一 个本征值对应 的不 同本征 函数数 目为 Ｎ，则 称 Ｎ 重简并 。
定态薛 定谔方 程或不 含时 的薛定 谔方程 是能量 本征方程 ，Ｅ就称
波函数与薛定谔方程
四 川理 工 学院 王 学建
［摘 要 ］本文论述 了量子 力学微 观粒子行为 由波函数描 述，波函数具有统计 意义，波函数 由薛定谔方程解 出，介 绍 了用定态 薛定谔方
程 的 基 本 方 法和 步 骤 。 ［关键词 ］波函数 态的迭加原理 薛定谔方程 定 态薛定谔方程
、Ｐ ，ｆ） ｊ一。。ｊ ｊ。。ｆ（声， ） （产）（ ｄｐｙｄｐ。
（２—１）
这 在数学上是成立的 ，这正好是非周期 函数的傅立叶展开 。
（１）在态 （ｘ，ｙ＇Ｚ’ｔ）的粒子 ，它的动 量没有确 定 的值 ，由上式可 知 ，
积 内的概率或 ｔ时刻粒子在空间分布 的概率密度
变 化 规 律 。
４．波 函 数 的 归 一 化 条 件 和 标 准 条 件
（２）建立方程 而不是 推导方程 ，其正确性由实验验证 。薛定谔方程
波函数 归一化条件
实质上是一种基本假设 ，不能从 其他更基本原理或方程推导 出来 ，它 的
量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2
V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
薛定谔方程与量子体系的波函数解析
薛定谔方程与量子体系的波函数解析量子力学是描述微观世界的一门科学，而薛定谔方程是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数演化规律，通过对波函数的解析可以揭示微观世界的奥秘。
薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，它是一种描述微观粒子的运动的偏微分方程。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，∂ψ/∂t表示波函数ψ对时间的偏导数，∇²ψ表示波函数ψ对空间的二阶偏导数，m是粒子的质量，V是势能。
薛定谔方程的解析解可以通过求解该方程得到。
量子体系的波函数是描述粒子在空间中的概率分布的函数。
波函数的模的平方表示了粒子在空间中出现的概率密度。
根据薛定谔方程，波函数随时间的演化是由波函数本身和势能共同决定的。
通过对薛定谔方程进行求解，可以得到波函数的解析解，从而揭示了量子体系的性质。
波函数的解析解可以分为定态解和非定态解。
定态解是指波函数不随时间变化的解，它描述了量子体系的基态和激发态。
定态解可以通过薛定谔方程的分离变量法进行求解，将波函数表示为时间和空间的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程，得到关于时间和空间的两个偏微分方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的解析解。
非定态解是指波函数随时间变化的解，它描述了量子体系的演化过程。
非定态解可以通过薛定谔方程的定态展开法进行求解，将波函数表示为定态波函数的线性组合形式，然后将其代入薛定谔方程，得到关于时间的一阶偏微分方程。
通过求解这个方程，可以得到波函数的解析解。
薛定谔方程的解析解不仅可以用于描述量子体系的波函数演化，还可以用于计算量子体系的物理量。
根据波函数的解析解，可以计算出粒子的位置、动量、能量等物理量的期望值。
这些期望值与实验结果的比较可以验证薛定谔方程的有效性，并揭示量子体系的性质。
总之，薛定谔方程是描述量子体系的波函数演化规律的基本方程。
波函数及薛定谔方程
即：
Ψ dV = 1 ∫∫∫
2
波函数归一化条件
波函数满足的条件：单值、有限、连续、 波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一 满足的条件
四 薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛定谔方程的建立 、一维自由粒子薛定谔 薛定 薛定谔方程是量子力学基本假设之一， 薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明 以一维自由粒子为例
2 mE 2mE = k2 2 ℏ
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
d Φ 2 +k Φ =0 2 dx
2
（2）确定常数 A、ϕ ） 势阱无限深 ~ 阱外无粒子
Φ( x) = A sin(kx + ϕ )
(0 < x < a )
Φ (a) = 0
（x≤0 x≥a） 由波函数连续性 连续性， 由波函数连续性， 边界条件 ： Φ (0) = 0 ϕ=0 Asinϕ = 0 Asinka =0
－费曼－ 费曼－
玻恩（ 的波函数统计解释: 玻恩（M..Born)的波函数统计解释 的波函数统计解释
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率， 成正比。 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 内概率： 出现在 dV 内概率：
dW = Ψ ( r , t ) dV
2
dV=dx dy dz 概率密度： 概率密度： w = dW = Ψ ( r , t ) 2 = ΨΨ
用指数形式表示： 用指数形式表示： 波的强度
x
y = Ae
I∝A
−i 2π ( vt − )
λ
)
x
λ
取复数实部
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
波函数与薛定谔方程
定态Schr dinger方程的解 Schrödinger 2．定态Schr dinger方程的解 ψ ( x) = 0 x > a （3） 有限， 因 ψ(x) 及 E 有限，由（2） 令 （1）
α
2
2 µE = h2
d 2ψ + α 2ψ ( x) = 0 dx 2
从物理考虑， 从物理考虑，粒 （4） 子不能透过无穷 高的势壁。 高的势壁。 （4） 4
◆ 波函数的标准条件
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
r r 2 根据Born统计解释， Born统计解释 ω （1）根据Born统计解释， (r , t ) = ψ (r , t ) 是粒子在 t
r 点的几率，这是一个确定的数， 时刻出现在 r 点的几率，这是一个确定的数，所以 r r 的单值函数且有限。 要求 ψ (r , t ) 应是 (r , t ) 的单值函数且有限。
(6)
nπ αn = 2a
（n为奇数） 为奇数）
(7)
(6)和(7)两式统一写成 (6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
2µ E α = 2 h
2
n = 1,2,3, L
（8）
n2π 2 h2 本征能量： 本征能量： En = 8µ a 2
（9）
11
一维无限深势阱（ §2.6 一维无限深势阱（续4）
（3）写出定态波函数 即得到对应第 n 个 本征值 En 的定态波 函数
∞
4.求解定态问题的步骤 4.求解定态问题的步骤
r r Ψ n ( r , t ) = Cnψ n (r ) e
−
i En t h
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
波函数 薛定谔方程
玻尔在解释氢原子光谱时就提出了定态的概念雏形.定态也是量子力
学中最重要的概念之一，本节就从薛定谔方程出发，对定态的性质做一些
概括性的讨论.
若势能V(r)与时间无关，则可以设
Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)
（15- 41）
把式（15- 41）代入式（15- 40）,得到
波函数 薛定谔方程
两边同除以Ψ(r)f(t)，就可以分离变量，即
波函数 薛定谔方程
薛定谔方程描述微观粒子运动的一般方程，自然也可以描 15- 36
解，由式（15- 36）可得
（15- 37）
波函数 薛定谔方程
由式（15- 35）可得
波函数 薛定谔方程
（1）这并不是薛定谔方程的证明，薛定谔方程是量子力学的基本 假定，是对大量实验观测结果的概括，它和经典力学中的牛顿三定律一 样，是不能被证明的.
波函数 薛定谔方程
图15- 13 无限深方势阱中的波函数
波函数 薛定谔方程
图15- 14所示为 无限深方势阱中的粒 子分布密度Ψ2(x).容 易看出，当n→∞时， 粒子分布密度会趋于 均匀，即在大量粒子 数条件下，量子力学 将回到经典情况.
图15- 14 无限深方势阱中的粒子分布密度
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波函数 薛定谔方程
若定态波函数能够满足归一化条件，即
则在无限远处，定态波函数必然迅速趋于0，即粒子不可能出现 在无穷远处，也就是粒子被限制在有限的范围内运动，这种状态就称 为束缚态，否则就称为游离态.
波函数 薛定谔方程
在经典情况下，粒子当然也不能出现在阱外，这一点与量子 力学的解并无区别.若是经典粒子，在阱内各处的势场都为零， 因此粒子在阱内均匀分布.在量子力学情况下，容易解得粒子出 现在各处的概率并不相同，随着位置的变化而变化，即粒子分布 是不均匀的.此外，在经典情况下，粒子的能量可以取任意的有 限值，即粒子的能量是可以连续变化的，但在量子力学情况下， 粒子的能量只能取一系列分立值，即能级是量子化的.图15-13所 示为无限深方势阱中的波函数Ψ(x).
波函数和薛定谔方程
d ∫ ρd τ = −∫∫ J (r , t )⋅ dS → 0 dt V S
物理量
d f ( x) dt = ∫ f ( x) ∂ρ ( x, t ) ∂t
显然， J (r , t )⋅ dS 具有通量的物理含义。 对于任意物理量的 f ( x) ，有
dx
进一步，有
d f ( x) dt = −∫ f ( x ) ∂J x ( x , t ) dx ∂x
J (r , t ) 为三维矢量。
连续性
依据连续性方程，显然有
+∞ ∂ d +∞ 2 J x ( x, t ) dx ψ dx = −∫ −∞ ∂x dt ∫−∞
连续性方程的积分形式为
∫
V
∂ρ d τ = −∫∫∫ ∇⋅ J (r , t ) d 3 r ∂t V
= −J x ( x, t ) −∞ = J x (−∞, t ) − J x (+∞, t )
波函数和薛定谔方程
物理系
统计性诠释
牛顿方程
υ= dx dt F = ma
m
F ( x, t )
x (t )
∂V d2x m 2 =− ∂x dt x0 = x (0)
x (t ) = ?
薛定谔方程
与经典力学中牛顿方程的地位类似； 2 ∂ψ ∂ 2ψ ψ ( x, t ) 为粒子的波函数； =− +U ψ i ∂t 2m ∂x 2 波函数遵从薛定谔方程，决定性地演化。 ψ0 = ψ ( x, 0)
( j ) = ( j + 1) − j
归一化
我们回到波函数的统计解释上来， 显然的，粒子必然存在于全空间，
则对于任意的正数 ε，总存在 X > 0 ， 当 x > X 时，恒有
波函数与薛定谔方程
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + − − − + cnψn = ∑cnψn
c1, c2 ,− − −cn为 意 数 任 常
n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例 1、子弹通过双缝的射击实验 （经典） 经典） 、
a
子弹
P 1 P 2
b
P
P = P + P概 叠 率 加 1 2
等项. 等项
(二),方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 二 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质 方程应具有粒子各种状态都能满足的普适性质. 各项系数只能为普适衡量 如 和表示粒子一般属性的量,如 和表示粒子一般属性的量 各项系数只能为普适衡量,如h,和表示粒子一般属性的量 如 普适衡量 m 等,而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、动量等 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量、 而不能包含仅只表征某特殊状态的量如能量 动量等.
或
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px) h
？
24
∂ψ ∂2ψ ∂ψ 原则： 一 波函数满足叠加原理 可有 原则： (一),波函数满足叠加原理 ,可有 ∂x , ∂x2 , ∂t ,− − − −
等项, 等项 不能含
∂ψ ψ2 , ,− − − − ∂x
2
光子在某处出现的概率和 光子在某处出现的概率和 概率 该处光振幅 平方成正比 振幅的 该处光振幅的平方成正比
4
自由电子的波函数
ψ ( x, y , z , t ) = ψ 0 e
v v i ( p⋅r − Et ) / h
ψ (r , t ) = ψ 02
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第五章波函数与薛定谔方程§5 - 1 波函数的统计诠释一概率波（1）电子双缝衍射和概率波( a )( b )图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样●入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。
●单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。
●实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果。
●实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数ψ正是为描写粒子的这种行为而)(r引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。
●在量子力学中，波函数)(rψ是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。
●在经典物理学中并不存在与波函数ψ对应的物理量。
在经典概念下，)(r当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。
( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用)(r ψ描述，则衍射图样的强度分布用)(r ψ的模方描述 )()(*)(2r r r ψψψ= (5.1)其中：ψ*( r )是ψ ( r )的复共轭。
衍射波强度|ψ ( r ) |2是刻画电子出现在r点附近的概率大小的一个量，即x∆∆2)(r∆yzψ(5.2)表示在r点处的体积元z y x∆∆∆中找到粒子的概率。
这就是波函数的概率诠释量子力学的基本原理之一。
结论：波函数ψ( r )：是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。
ρ(r)= |ψ ( r ) |2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元中找到粒子的概率。
二波函数的性质在一般情况下，ψ作为可以接受的波函数，从物理上往往要求ψ是有限、连续和单值的。
( 1 ) 统计诠释对波函数提出的要求● 在空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值。
一般情况下，这意味着要求)(r ψ取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处ψ()r → ∞ . 例如，即使0r r =是)(r ψ的孤立奇点，V 0是包围r 0点0V在内的任何有限体积，则按统计诠释，只要 ⎰=032d )(V r r ψ有限值 (5.3)就是物理上可接受的，其中z y x r d d d d 3=. 如取r 0 = 0，V 0是半径为r 的小球，则式(5. 3)相当于要求：当r → 0时， 0)(23→r ψr. (5. 4)如果在r → 0时,波函数具有s r /1∝ψ的形式，则要求2/3<s .● 波函数的归一化条件波函数ψ描述的粒子在空间各点的概率的总和为1 1d )(32)total (=⎰r r ψ,(5. 5)这时的波函数为归一化的波函数。
如果某波函数)(r A ψ尚未归一化 )0(d )(32>=⎰A r A r ψ,则有 ⎰=1d )(132A r A r ψ, (5. 6) 式中的A 1称为波函数)(r A ψ的归一化因子。
归一化的波函数对应的概率密度是相对概率而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数。
● 波函数有一个常数因子的不确定性。
重要的是相对概率分布。
如果C 是常数(可以是复数)，则ψ ( r )和C ψ ( r )所描述的相对概率分布是完全相同的。
因为在空间任意两点r 1和r 2处，总有22212221)()()()(r r r r ψψψψ=C C .(5. 7)这就是说，C ψ ( r )与ψ ( r )所描写的是同一个概率波。
在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。
一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。
经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。
●波函数相位的不确定性如果ψ ( r )是归一化的波函数，ψ( r ) ＝αi eψ( r) （对于任意的实常数α）●2)(rψ单值保证概率密度在任意时刻t都是确定的。
( 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的要求具体的物理情况,对波函数ψ 提出要求：ψ 是连续的。
例1、 波函数)(r ψ及其各阶导数的连续性问题在势场)(r V 中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为),()(),(d d 2),(i 222t x x V t x x m t x t ψψψ+-=∂∂ηη. (一维)在一维情况下，当势函数)(x V 是x 的连续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数)("x ψ是存在的，这就要求波函数)(x ψ及其一阶导数)('xψ是x的连续函数。
即使是在有限的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数)(xψ及其一阶导数)('xψ仍是x的连续函数。
应该从薛定谔方程出发，根据势场)(r V 的性质来决定波函数)(rψ及其各阶导数的连续性问题。
例2、波函数)(rψ的束缚态边条件在金属和原子中的电子等许多实际情况下，粒子的运动被限制在一定的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。
对于束缚态就要求波函数ψ( r )在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件。
总之，从物理上讲，态函数 ( r )应当是位置r的连续函数，否则就会在不连续点上发生解释上的不确定性。
( 3 ) 初值条件和边界条件从物理上看，仅有运动方程还不足以确定物体的运动：运动方程＋起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一个微分方程有无穷多个解，表现在其通解中含有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界情况等则是确定这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解 + 初值条件 + 边界条件量子力学的定解问题: 求一个微分方程的解满足一定初值条件和边界条件的问题。
三 概率的基本概念及运算( 1 ) 随机事件的概率概率:反映随机事件发生可能性的大小。
当观测次数N 趋于无穷时，事件A 发生的概率 N N P N A A lim ∞→=. (5.8)( 2 )中不可能同时发生设A 和B 是两个互斥事件，在N 次观测中，事件A 出现N A 次，事件B 出现N B 次，则事件A 或者事件B 出现的概率为B A B A B A lim P P N N N P N +=+=∞→+, (5.9)即两个互斥事件中任意一个出现的概率等于两个事件出现的概率之和.概率的归一化条件(全部互斥事件出现的概率为1) 1=∑ii P ,(5.10)它表明，在一次观测中，全部互斥事件中总有一个是要发生的。
( 3 ) 独立事件概率的乘法定理设A 和B 是两个独立事件，在N 次观测中，事件A 出现N A 次，事件B 出现N B 次，则事件A 和事件B 同时出现(记为A ⋅ B )的概率 B A A B A A B A B A lim limP P N N N N N N P N N ⋅=⋅==⋅∞→⋅∞→⋅.(5. 11)( 4 )统计平均值和涨落一个变量以一定的概率取各种可能值设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ,,,21Λ，如果在N 次同样的实验或观测中，测得随机变量X 取上述各值的次数分别为n N N N ,,,21Λ，则随机变量X 的统计平均值为∑∑==≡∞→i i i i i i N P x N N x X X lim . (5. 12)对于连续型的随机变量Y，其统计平均值为⎰=≡yyyYY d)(ρ,(5. 13)上述积分遍及Y的取值范围],[21yy。
随机变量X的涨落或均方偏差(为了描述随机变量X 在其统计平均值X上下起伏的平均幅度)22222222222()()(2)=(2)=22()()i i i iii i i i iii i i i ii i ix x X x X x X Px P X x P X Px P X x P X PX X X∆=-=-+-+-+=-+∑∑∑∑∑22()X X=-(5. 14)§5 - 2 力学量的统计不确定性一 不确定性原理海森伯提出的不确定性原理（uncertainty principle ）：如果测量一个粒子的位置的不确定范围是∆x ，则同时测量其动量也有一个不确定范围∆p x ，两者的乘积不可能小于2/η，即x p x ∆⋅∆≥ 2η. (5. 15)为不确定关系(uncertainty relation)。
● 电子和其他物质粒子的衍射实验已经表明，粒子束所通过的圆孔或单缝越窄小，则所产生的衍射图样的中心极大区就越大。
说明：测量粒子的位置的精确度越高，测量粒子的动量的精确度就越低。
●一维自由空间中运动的粒子，如果具有完全确定的动量p x(即平面波)，则在任意给定的时刻t，粒子在空间的每一点x上的概率密度都相同。
说明：如果粒子的动量p x完全确定，它的位置x就完全不确定。
●比较：在经典力学中，一个粒子的位置和动量是可以同时确定的，而且一旦知道了某一时刻粒子的位置和动量，则在一般情况下，任意时刻粒子的位置和动量原则上都可以精确地预言。
不确定关系(uncertainty relation)对能量和时间：体系处于某一状态，如果时间有一段∆t不确定，则能量也有一个∆E不确定。
有关系E∆⋅∆≥tη.2(5. 16)●粒子的平均寿命：一个粒子在能量状态E附近的停留时间∆t●粒子的能级宽度：在∆t时间内粒子的能量状态不完全确定，它有一个弥散∆E≥t∆2/η●只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的，即只有当∞∆t时，才有0=→∆E.●量子力学对认识论的启示：不可能做具有绝对确定性的断言，而只能做具有某种可能性的断言。
对于微观粒子，我们只能给出在空间一定范围内找到粒子的概率，而不能确定哪一个粒子一定在什么地方。
二动量分布概率( 1 ) 动量空间中的波函数)(p●经典力学描述物质运动状态的力学量：坐标、动量、角动量、动能和势能。
决定论的方式起作用。
● 量子力学波函数ψ以概率论的方式描述微观粒子的运动状态。
尽管波函数本身不是力学量，但各种力学量的取值及其变化却取决于波函数。
例、If ψ ＝ η/ i e r p ⋅C （一单色平面波），该粒子在空间各处的概率密度＝| ψ( r ) |2 ＝ |C |2，相应的粒子动量＝λ/h p =（确定）.例、 在一般情况下，波函数ψ是一个由许多单色平面波叠加而成的波包，相应的动量也有一个分布。