人教版高中数学-必修4(R-B版)过关测试 模块过关测试卷

必修4模块过关测试卷
（150分，120分钟）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.若角β的终边经过点P （a ，2a ）（a ≠0)，则cos β等于（ ）
A.±
5 B.5 C.±5 D.- 5
2.〈云南昆明质检〉已知sin10°=k ，则sin70°等于（ ） A.1-k 2 B.2k 2-1 C.1-2k 2 D.1+2k 2
3.〈辽宁五校第二次联考〉若θ∈（2
π
,π）,等
于（ ）
A.sinθ-cosθ
B.cosθ-sinθ
C.±(sinθ-cosθ)
D.sinθ+cosθ 4.已知α∈（π,32π）且sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=-45,则tan 2
α
的值 是（ ）
A.3
B.2
C.-2
D.-3
5.要得到y=3sin （2x-3π
）的图象，只要将y=3sin2x 的图象（ ） A.向左平移3π个单位长度 B.向左平移6π
个单位长度
C.向右平移3π个单位长度
D.向右平移6
π
个单位长度
6.〈河南郑州二模〉若cos 2θ =35,sin 2θ =-4
5
,则角θ的终边所在的直线为（ ）
A.7x+24y=0
B.7x-24y=0
C.24x+7y=0
D.24x-7y=0 7.函数y=cos 2x-sinx 的值域是（ ）
A.［-1，1］
B.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.［0，2］
D.514
⎡⎥-⎤
⎢⎣
⎦
， 8.〈河北教学质量检测〉已知平面向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),若｜a ｜=2，｜b ｜=3，a ·b=-6.则
11
22
x y x y ++的值为（ ）
A.
23 B.- 23 C.56 D.-56
9.已知向量a=(1,1)，b=（2，n ），若｜a+b ｜=a ·b,则n 等于（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 10.若函数f(x+2)=(),0,,0,
tanx x lg x x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜则f 24π⎛⎫
⎪⎝⎭+·f(-98)等于（ ）
A.-
12 B. 1
2
C.-2
D.2 11.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tanA,tanB 是方程3x 2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC 是（ ）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
12.已知函数f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x ＜3时，f(x)的图象如图1所示，则不等式f(x)·cosx ＜0的解集是（ ）
图1
A.（-3，-2π）∪(0, 1)∪（2π
,3） B.（-2π,-1）∪(0,1)∪（2
π
,3）
C.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)
D.（-3,-
2
π
）∪(0,1)∪(1,3) 二、填空题（每题4分，共16分）
13.已知向量m=
）
,p=(若m ∥p,则sinx ·cosx 的值为________. 14.已知a=(6,2),b=（-4,-1
2
）,直线l 经过点A （3，-1）,且与向量a+2b 垂直，则直线l 的方程为_________.
15.若动直线x=a 与函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 的图象分别交于M,N 两点，则
｜MN｜的最大值为___________-.
16.如图2所示，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-3,2),则·
AD AC=_________.
图2
三、解答题（17~20题每题12分，21，22题每题13分，共74分）
17.〈豫南九校大联考〉如图3所示，在△ABO中，OC=1
4
OA，OD=
1
2
OB,AD与BC
相交于点M，设OA=a,OB=b.
(1)试用a和b表示向量OM；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE=λOA,OF=
μOB,当EF为AD时，λ=1，μ=1
2
,此时
1
λ
+
3
μ
=7,当EF为CB时，λ=
1
4
,μ=1,此时
1
λ
+
3
μ
=7,有人得出如下结论：不论E、F在线段AC、BD上如何变动，1
λ
+
3
μ
=7总成立.试问这
个结论对吗？为什么？
图3
18.〈广东江门、佛山4月模拟〉在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（-1，3）.
（1）若OA⊥OB，求tanα的值；
（2）若B点的横坐标为4
5
，求S△AOB.
19.(1)已知｜a｜=4,｜b｜=3,且（a+2b）·(a-3b)=0,求a·b;
(2)已知a与b的夹角为120°，且｜a｜=4,｜b｜=2.如果a+kb与5a+b互相垂直，求实数k 的值.
20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x ∈R,A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜
2
)的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0,2）和（x 0+ 3π,-2）.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在区间（3π,5π）上的对称轴方程.
21.〈皖南八校第三次联考〉已知函数f(x)=sinx ·cosx-(cos 2x-sin 2x)，x ∈R. (1)试说明函数f(x)的图象是由函数y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （2）若函数g(x)=()12
()f x x R π
+∈，试写出函数g(x)的单调区间.
22.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC =13OA +
2
3
OB .
(1)求证：A ，B ，C 三点共线；
（2）已知A （1，cosx ）,B （1+sinx,cosx ）,x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,f(x)=OA ·OC -(2m 2+23)·AB 的最小值为1
2
，求实数m 的值.
必修4模块过关测试卷
一、1.A 点拨：由三角函数的定义可知，cos β=
=故选A. 2.C 点拨：sin70°=cos20°=1-2sin210°=1-2k 2.
3.A 点拨：原式
｜sin θ-cos θ｜.∵θ∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,∴sin θ-cos θ＞0.故原式=sin θ-cos θ.
4.C 点拨：原式=sin ［(α+β)-β］=sin α=-
45,又α∈3,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,∴cos α=-35,∴tan 2α =
1sin cos α
α+ =4
53
15
-
-=-2.故选C.
5.D 点拨：∵y=3sin 23x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
=3sin2 6x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，∴只需将y=3sin2x 的图象向右平移
6
π
个单位长度即可.
6.D 点拨：依题意得tan 2θ =-43,则tan θ=22212tan
tan θ
θ-=2423413⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=247,因此角θ的终边所在的直线方程为y=
24
7
x,即24x-7y=0.选D. 7.D 点拨：y=cos 2x-sinx=1-sin 2x-sinx=- 2
12sinx ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ +54.
又sinx ∈［-1,1］.所以当sinx=-
12时,ymax=5
4
， 当sinx=1时,ymin=-1,∴y ∈51,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
. 8.B 点拨：由已知得a=（x 1,y 1）,b=(x 2,y 2)反向，且3a+2b=0，即3(x 1,y 1)+2(x 2,y 2)=(0,0),解得x 1=-
23x 2,y 1=-2
3
y 2.故1122x y x y ++=-23.
9.D 点拨：由题意a+b=(3,1+n),a ·b=2+n.∵｜a+b ｜=a ·b,
=2+n ，解得n=3.
10.D 点拨：由f(x+2)= ()()()00tanx x lg x x ⎧≥-⎪⎨⎪⎩＜，得 f 24π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ =1,f(-98)=f(-100+2)=lg100=2.∴f
24π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
·f(-98)=1×2=2.
11.A 点拨：由根与系数的关系得5,3
1,
3tanA tanB tanAtanB ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以tan(A+B)= 1tanA tanB tanAtanB +-
=5
3113
-=52.在△ABC 中，tanC=tan ［π-(A+B)］=-tan(A+B)=- 5
2＜0,所以C 是钝角，则△
ABC 是钝角三角形.
12.B 点拨：根据奇函数的图象关于原点对称的性质，把f(x)在(-3,0)上的图象也画出来，把y=cosx 的图象画出来.结合图象可知：f(x)·cosx ＜0f(x)与cosx 异号.当f(x)＞0且cosx
＜0时，x ∈,32π⎛⎫
⎪⎝⎭,当f(x)＜0且cosx ＞0时，x ∈(0,1)∪,12π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.所以f(x)·cosx ＜0的解集为,12π⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪(0,1)∪,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 二、13.
2
5
点拨：∵m ∥p,33∴tanx=2, ∴sinxcosx= 22sinxcosx sin x cos x + = 2
1tanx tan x +=2
5
. 14.2x-y-7=0
15.2点拨：设直线x=a 与f(x)=sinx 的图象的交点为M （a,y 1）,直线x=a 与g(x)=cosx 的图象的交点为N （a,y 2）,则｜MN ｜=｜y 1-y 2｜=｜sina-cosa ｜24a π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
2. 16.3点拨：设AC 与BD 交于点O ，则AD = AO + OD =
12AC +1
2
BD =112⎛⎫ ⎪⎝⎭，
+312⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，=（-1，2），又AC =（1，2）.∴AD ·AC =-1+4=3. 三、17.解：（1）设OM =ma+nb,则AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1) OA +nb, AD =
OD - OA =12OB - OA =-a+1
2
b.
∵A 、M 、D 三点共线，∴AM 与AD 共线. 故存在实数t,使得AM =t AD ,
即（m-1）a+nb=t- 12a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴(m-1)a+nb=-ta+
2
t b ， ∴12
m t t
n -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，，消去t 得m-1=-2n ，即m+2n=1①. ∵CM = OM - OC =ma+nb-
1
4
a= 14m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ a+nb ，
CB = OB - OC =b-
14a=-1
4
a+b. 又C 、M 、B 三点共线，∴CM 与CB 共线. 同理可得4m+n=1②. 联立①②解方程组得m=17,n=37
. 故OM =
17a+3
7
b. (2)结论是对的.理由如下： ∵EM = OM - OE =
17a+37b-λa=17λ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
a+37b, EF = OF - OE =μOB -λOA =-λa+μb ，
又∵EF 与EM 共线，∴存在常数k ，使得EM =k EF . 即17λ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
a+37b=k(-λa+μb)=-λka+μkb.
∴1
737
k k λλμ-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，
消去k 得17-λ=-37λμ.
整理得
1
λ +3μ
=7. 点拨：第（1）问利用平面向量基本定理，设OM =ma+nb.再利用A 、D 、M 三点共线，C 、M 、B 三点共线得出m 、n 的方程组解出m 、n 的值.第（2）问利用E 、M 、F 三点共线，
设EM =k EF ,得出与k 无关的结论1λ +3μ
=7. 18.解：（1）由题意可知OA =（-1，3）, OB =（cos α,sin α）.
由OA ⊥OB 得OA ·OB =0,
∴-cos α+3sin α=0,∴tan α=13
. (2)由题意得直线AO 的方程为3x+y=0.
则sin α
=35,即B 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 则点B 到直线AO 的距离
. 又｜OA ｜
∴S △AOB =12｜OA ｜·
d=12
10=32
. 19.解：（1）∵（a+2b ）·(a-3b)=a 2-a ·b-6b 2=｜a ｜2-a ·b-6｜b ｜2=16-a ·b-54=0,∴a ·b=-38.
(2)由题意得a ·b=｜a ｜· ｜b ｜·cos120°=4×2×-12⎛⎫ ⎪⎝⎭
=-4.∵a+kb 与5a+b 互相垂直,∴(a+kb)·（5a+b ）=0,即5a 2+（5k+1）a ·b+kb 2=0,∴5｜a ｜2+(5k+1)·（-4）+k ｜b ｜2=0.即5×16-(20k+4)+4k=0,∴k=194. 20.解：（1）由已知得A=2，
2T =（x 0+3π）-x 0=3π，解得T=6π,所以ω=13,即f(x)=2sin 13x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
,把点（0，1）的坐标代入上式得2sin φ=1,sin φ=12,由｜φ｜＜2π,解得φ= 6
π.故所求函数的解析式为f(x)=2sin 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (x ∈R). (2)由36x π+=k π+ 2
π (k ∈Z)，得x=3k π+π.令3π＜3k π+π＜5π,则23＜k ＜43 (k ∈Z),所以k=1.故所求对称轴方程为x=4π.
21.
解：（1）∵2x-sin 2x)
26x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
, ∴函数f （x ）的图象可由y=sinx 的图象按如下方式变换得到： ①将函数y=sinx 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=sin 6x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的图象； ②将函数y=sin 6x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12
（纵坐标不变），得到函数y=sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的图象； ③将函数y=sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数f(x)=2sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
(x ∈R)的图象. （2）由（1）知，f(x)=2sin 26x π⎛
⎫
- ⎪⎝⎭ (x ∈R),则g(x)= 12f x π⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭ =2｜sin2x ｜(x ∈R), 所以函数g(x)的单调递增区间是,224k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ (k ∈Z); 单调递减区间是k π2+π4,k π2+π2(k ∈Z).
22.(1)证明：∵OC =1
3OA +23OB ,∴13OC -13OA =23OB -23OC ,∴AC =2 CB ,又∵AC 与CB 有公共点C ，∴A ，B ，C 三点共线.
（2）解：∵OA =（1，cosx ）, OB =（1+sinx,cosx ）, ∴OA ·OC = OA ·1233OA OB ⎛⎫+
⎪⎝⎭ =213OA +2·3OA OB =-sin 2x+23
sinx+2. ∵AB = OB - OA =(sinx,0),x ∈0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴｜AB ｜=｜sinx ｜=sinx. ∴f(x)= OA ·OC -2223m ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
·｜AB ｜=-sin 2x-2m 2sinx+2=-(sinx+m 2)2+m 4+2.
又∵x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,∴sinx ∈［0,1］, ∴当sinx=1时，f(x)有最小值-2m 2+1,此时-2m 2+1=12,解得m=±12
.。