几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】

毕业论文文献综述

数学与应用数学

几类三阶常微分方程的通解公式

一、前言部分

数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。

塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。

二、主题部分

有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特

解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。

文献[3]针对自由项为几类常见类型的三阶常系数非齐次线性微分方程，得到了求此类微分方程的特解公式，使求三阶常系数非齐次线性微分方程的特解更加简易。其主要结果如下：

定理1 设有三阶常系数非齐次线性微分方程

()''''''x m y py qy dy P x e λ+++= (1)

对应的齐次方程的特征方程记为

320r pr qr d +++= (2)

若令()3

2

f r r pr qr d =+++，且()x

y H x e λ=为微分方程(1)的解, 其中()H x 为多项式

函数, 则()H x 需满足下列恒等式

()()()()()()()()''

''

'''''2

m f f H x f H x H x H x P x λλλ+++=

定理2 设有三阶常系数非齐次线性微分方程(1),则方程(1) 的特解形式可写为

()*k x m y x Q x e λ=,

其中()0

m

j

m j j Q x b x

==

∑且

(1)当λ不是特征根时, 则0k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()()()()()'''

1231

[1123]2j j j j j f b a j f b j j b j b f λλλ+++⎡⎤

=-+-++++⎢⎥⎣⎦

(2)当λ是单特征根时, 则1k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()

()()''2

3'1

22312j j j j a f b j b j j b f j λλ++⎡⎤=-+-++⎢⎥+⎣⎦

(3)当λ是二重特征根时, 则2k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()3''2

3(1)2j j j a b j b f j j λ+⎡⎤=-+⎢

⎥++⎣⎦

(4)当λ是三重特征根时, 则3k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()

(1)23j

j a b j j j =

+++

其中,,1,1,0j m m =-L ；而1230m m m b b b +++===。

文献[4-5]通过将高阶微分方程转化为微分方程组，并结合二阶微分方程组的刘维尔公式，获得了三阶微分方程的通解公式，其主要结果如下：

对于有解()() , x x αβ的三阶变系数齐次线性微分方程

()()()0y p x y q x y r x y '''+"+'+=，

通过变量代换可以转化为微分方程组

'

1

12'''''''

212'''''

312''(1),,1(),z r z q z z r z q z z r z q z a αααα

αααα⎧=⋅++⎪⎪

⎪=⋅+⎨⎪

⎪=⋅+⋅⎪⎩

该方程组的前两项构成新的二元方程组，再由刘维尔公式及必要的积分运算,最终可得出方程的通解。

文献[6-10]在原有教材的基础上研究了一类三阶常系数非其次线性微分方程特解的简便公式，而且利用该公式可容易地在计算机上编程计算。其主要结果如下：

定理3 设有三阶常系数非齐次线性微分方程

()323210x y py qy ry A x A x A x A e α'''+"+'+=+++ (3)

及对应的齐次微分方程的特征方程

320p q r ρρρ+++=，

设3

2

()F p q r ρρρρ=+++，记3

2

()F F p q r αααα==+++，

2()32F F p q ααα'='=++， 1

()32

e F p αα=

"=+，则 (1) 当α不是特征方程的根时，令

331

a A F =，'232231F a A A F F =-+，'2'132132

6(())21F eF F a A A A F F F -=-+，'3'2'2'0321

04326(()2)2(())1

F eFF F F eF F a A A A A F F F F

-+--=+-+，