非欧几何(要)

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重 要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对 论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对 论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观 念，他认为时空只是在充分小的空间里以一 种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均 匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎 曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重 要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应 用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
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黎曼几何
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。 他在1851年所作的一篇论文《论几何学 作为基础的假设》中明确的提出另一种几 何学的存在，开创了几何学的一片新的广 阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在 同一平面内任何两条直线都有公共点(交 点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存 在，它的另一条公设讲：直线可以无限 延长，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
高斯的简介
C.F. Gauss是 德国著 名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学 家。他有数学王子的美 誉，并被誉为历史上最 伟大的数学家之一 。
高斯的贡献
高斯是最早指出欧几里得第五公设独 立于其他公设的人，早在1792年他就已经有 一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧 几里得第五公设不成立． 1794年高斯发现在他的这种几何中，四 边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的 差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数， 无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他 的新几何，称之为非欧几何。
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果， 它把人从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认 识从以直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代， 数学表现为人类思维的自由想象。 （2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且 对现代物理学、天文学和人类时空观念的变革都产 生深远影响。1913年，物理学家给出了罗氏几何在 相对论里的应用；1947年，人们在心理学的研究中， 发现视觉空间最好用罗氏几何来描述。
数学史
主讲：陈朝哲
非欧几何
组员：刁素兰、陈兴勇、郑茂涌、 方浩东、谢常平、 叶梦晖、 李健标
非欧几何的发展史
一、第五公设的思考探索 二、非欧几何的萌芽 三、非欧几何的产生 四、非欧几何的发展
非欧几里得几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支， 一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这 三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切 和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义 的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这 两种几何。
罗巴切夫斯基 俄国
（1792—1856 ）
罗巴切夫斯基的成就
1、《论几何学基础》，以后又有补充。
2、《平行线理论的几何研究》等一系列非欧 几何论文。由于当时还没有找到这种几何的实 际应用，所以他称他的新几何为”想象的几何 学”，““虚几何学”。
3、后来他双目失明，却以口授写出一部他的 几何的完全的新的说明，并于1855年以书名 《泛几何》出版，今天称为“罗巴切夫斯基几 何“。
非欧几何的发展
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特 拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱 等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的 直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。罗 巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界 的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉 为“几何学中的哥白尼”。
鲍耶的贡献—非欧定理
几乎在罗巴切夫斯基 创立非欧几何学的同时， 匈牙利数学家鲍耶也发现 了第五公设不可证明和非 欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭 到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲— —数学家鲍耶· 法尔卡什认为研究第五公设 是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这 种研究。但鲍耶· 雅诺什坚持为发展新的几 何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的 父亲的一本著作里，以附录的形式发表了 研究结果。
黎曼的贡献
黎曼，德国数学家，物理学家 。 黎曼可以说是最先理解非欧几何全部 意义的数学家。 他创立的黎曼几何不仅是对已经 出现的非欧几何的承认，而且显示了 创造其他非欧几何的可能性。但他的 理论仍难被同时代人理解。据说他在 哥延根大学的演讲只有年迈的高斯听 得懂。

1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥 廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去 听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二 乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改 学数学。1847年春，黎曼转到柏林大学， 投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两 年后他回到哥廷根。后开创了黎曼积分。
非欧几何的萌芽
非欧几何的产生与著名的欧几里 得第五公设密切相关，它是数学家们 为解决这个问题而进行长期努力的结 果。 非欧几何的发展源于2000多年前 的古希腊数学家的欧几里得的《几何 原本》．其中公设五是欧几里得自己 提出的。
第五公设的思考探究
“第五公设”：“若一条直线与两 直线相交，且若同侧所交两内角之 和小于两直角，则两直线无限延长 后必相交于该侧的一点”、这一公设 引起了广泛的讨论
罗巴切夫斯基定理
欧式几何： 同一直线的垂线和斜线相 交。 垂直于同一直线的两条直 线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点可以做且仅能做一个 圆。 罗氏几何： 同一直线的垂线和斜线 不一定相交。 垂直于同一直线的两条 直线，当两端延长的时 候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点，不一定能做一个圆。
数学家们主要沿2条研究途径前进： 一条途径是寻找一条更为自明的命题代替 平行公设；另一条途径是试图从其他9条 公理、公设推导出平行公设来。 沿第一条途径找到的第五公设最简单 的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔给 出的：“过直线外一点，有且只有一条直 线与原直线平行”也就是我们今天中学课 本里使用的平行公理，
古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世 纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替 代公设并不比原来的第五公设更好接受， 更“自然” 历史上第一个证明第五公设的重大 尝试是古希腊天文学家托勒玫(约公元150 年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫 的“证明”无意中假定了过直线外一点只能 作一条直线与已知直线平行，这就是普雷 菲尔公设．
罗巴切夫斯基的贡献
罗巴切夫斯基的第一篇关于非欧几 何的论文：《几何学原理及平行线定理 严格证明的摘要》。这篇首创性论文的 问世，标志着非欧几何的诞生。 这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正 统数学家的冷漠和反对。在创立和发展非欧 几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能 遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一 位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工 作。
高斯
非欧几何 的产生与发展
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
黎曼
非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相 容并且可以描述物质空间、像欧式几何 一样正确的新几何学的是高斯。但是高 斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的 打击和迫害，不敢公开发表自己的研究 成果，只是在书信中向自己的朋友表示 了自己的看法，也不敢站出来公开支持 罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗巴切夫斯基几何得来的背景
自从欧几里得提出第五公设（同一平 面内一条直线和另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直 线经无限延长后在这一侧相交以来），一些 数学家在思考第五公设能不能不作为公设， 而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明 第五公设？这就是几何发展史上最著名的， 争论了长达两千多年的关于“平行线理论” 的讨论。