非欧几何(要)
非欧几何简介Non
非欧几何简介Non
一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何，高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。
一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。
所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。
基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。
以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。
三、第五公理/平行公理
第五公理为：
它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。
这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。
如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。
非欧几何简介
非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。
当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。
在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。
什么是非欧几何在相对论中的应用
什么是非欧几何在相对论中的应用在探索科学的浩瀚宇宙中，相对论无疑是一颗璀璨的明星，而其中非欧几何的应用则如同神秘的密码，为我们开启了理解宇宙本质的新大门。
那么，究竟什么是非欧几何，它又是如何在相对论中发挥关键作用的呢？要理解非欧几何在相对论中的应用，首先得明白什么是非欧几何。
简单来说，非欧几何是与我们熟知的欧几里得几何不同的几何体系。
在欧几里得几何中，有一些被我们视为理所当然的公理，比如“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”。
然而，非欧几何打破了这些传统的观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗氏几何和黎曼几何。
罗氏几何中，过直线外一点可以作无数条直线与已知直线平行；而在黎曼几何里，根本不存在平行线这一概念。
这些看似奇特的设定，却在描述真实世界的某些现象时，展现出了惊人的准确性。
相对论，特别是爱因斯坦的广义相对论，是对引力现象的全新理解。
在广义相对论中，引力不再被看作是一种力，而是时空弯曲的表现。
而时空的弯曲，就需要用非欧几何来进行精确的描述。
想象一下，一个巨大的天体，比如太阳，它的质量会使周围的时空发生弯曲。
在这种弯曲的时空中，物体的运动轨迹不再是欧几里得几何所描述的直线或者简单的曲线，而是遵循着非欧几何的规则。
例如，光在经过太阳附近时会发生偏转。
按照欧几里得几何的观点，光应该沿直线传播，但在广义相对论中，由于太阳造成的时空弯曲，光实际上沿着弯曲的路径前进。
这种现象的解释和计算，就离不开非欧几何的理论支持。
再比如，黑洞的存在也是相对论中非欧几何应用的一个典型例子。
黑洞是一种极度强大的引力源，其周围的时空被极度弯曲，形成了一个“事件视界”。
在这个区域内，时空的性质完全超出了欧几里得几何的范畴，必须借助非欧几何才能准确描述。
非欧几何还帮助我们理解了宇宙的膨胀。
根据观测，宇宙正在不断地膨胀，星系之间的距离在逐渐增大。
这种膨胀的宇宙模型，如果用欧几里得几何来描述，会遇到很多无法解释的难题。
但引入非欧几何后，我们可以更加合理地描述宇宙的大尺度结构和演化。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
非欧几何(要)
罗巴切夫斯基定理
欧式几何： 同一直线的垂线和斜线相 交。 垂直于同一直线的两条直 线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点可以做且仅能做一个 圆。 罗氏几何： 同一直线的垂线和斜线 不一定相交。 垂直于同一直线的两条 直线，当两端延长的时 候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点，不一定能做一个圆。
罗巴切夫斯基几何得来的背景
自从欧几里得提出第五公设（同一平 面内一条直线和另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直 线经无限延长后在这一侧相交以来），一些 数学家在思考第五公设能不能不作为公设， 而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明 第五公设？这就是几何发展史上最著名的， 争论了长达两千多年的关于“平行线理论” 的讨论。
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古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世 纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替 代公设并不比原来的第五公设更好接受， 更“自然” 历史上第一个证明第五公设的重大 尝试是古希腊天文学家托勒玫(约公元150 年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫 的“证明”无意中假定了过直线外一点只能 作一条直线与已知直线平行，这就是普雷 菲尔公设．
黎曼几何
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。 他在1851年所作的一篇论文《论几何学 作为基础的假设》中明确的提出另一种几 何学的存在，开创了几何学的一片新的广 阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在 同一平面内任何两条直线都有公共点(交 点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存 在，它的另一条公设讲：直线可以无限 延长，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
罗巴切夫斯基 俄国
（1792—1856 ）
罗巴切夫斯基的成就
1、《论几何学基础》，以后又有补充。
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非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异欧氏几何球面几何过两点有唯一一条直线过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）直线直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两直线的交角两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和等于180°大于180°三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A 、B 、C 为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）三角形全等条件SSS ，SAS ，ASA SSS ，SAS ，ASA ，AAA 相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念勾股定理余弦定理正弦定理 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid ，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路大边对大角，大角对大边；三角形的性质两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形全等的条件SSS，SAS，ASA两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
非欧几何
非欧几何罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以说明：欧式几何：同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。
但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
第一篇非欧几何论几何原理
第一篇非欧几何论几何原理今天咱们来聊聊一个超级有趣又有点烧脑的东西——非欧几何。
你一听几何，可能就想起那些规规矩矩的三角形、四边形，还有什么平行公理之类的。
但是非欧几何呀，就像是几何世界里的调皮小鬼，打破了我们常规的认知。
在传统的欧几里得几何里，那可是有一套很严格的规则的。
比如说平行公理，就像一个老顽固一样，规定着在平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。
这就好像是给几何图形们划了一条不能逾越的线。
可是非欧几何呢，它就偏不这么干。
非欧几何有两种主要的类型，一种是罗氏几何，一种是黎曼几何。
罗氏几何就像是一个叛逆的少年，它觉得在自己的世界里，过直线外一点可以作不止一条直线与已知直线平行呢！这可把那些习惯了欧几里得几何的人吓了一跳。
就好比大家都觉得天空是蓝色的，突然有个人说在某个地方天空是绿色的，这多让人惊讶呀。
而黎曼几何呢，更是个奇特的存在。
它觉得在它的地盘里，根本就不存在平行线这回事。
这就像是在一个奇怪的星球上，所有的线都像是被一种神秘的力量拉扯着，根本不会平行。
这在我们习惯了欧几里得几何的大脑里，简直是难以想象的。
你可能会问啦，这些非欧几何到底有啥用呢？其实啊，它们可有用了呢！在我们的现实生活中，欧几里得几何可以很好地描述我们身边的一些平面图形，像盖房子的时候，设计一些规则的形状，欧几里得几何就很在行。
但是当我们要研究一些大尺度的东西，比如说宇宙的形状，或者是一些弯曲的空间，非欧几何就闪亮登场啦。
就拿地球来说吧，地球其实是个球体，是个弯曲的空间。
如果我们用欧几里得几何的那一套来描述地球上的距离、方向之类的，就会出现很多问题。
但是黎曼几何就可以很好地处理这种弯曲空间的情况。
它就像是专门为这种弯曲的世界量身定制的工具一样。
非欧几何的出现，也让数学家们的思维更加开阔了。
以前大家都觉得欧几里得几何就是几何的全部，就像在一个小盒子里看世界。
但是非欧几何把这个小盒子打破了，让数学家们看到了外面更广阔的天地。
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同在我们探索数学的广袤世界时，欧几里得几何是我们最初接触的重要领域之一。
然而，随着数学的发展，非欧几何的出现打破了传统的认知，为我们打开了全新的视角。
那么，究竟什么是非欧几何？它与欧几里得几何又有着怎样显著的不同呢？要理解非欧几何，我们得先回顾一下欧几里得几何。
欧几里得几何，是以古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为基础构建的几何体系。
在这个体系中，有着一系列我们熟悉的公理和定理。
比如，两点之间直线最短；三角形内角和等于 180 度；平行线永不相交等等。
欧几里得几何在很长一段时间里被认为是描述空间和形状的唯一正确方式。
它在我们日常生活中的建筑、工程、制图等方面都有着广泛的应用。
我们所熟悉的房屋结构、道路规划，都遵循着欧几里得几何的规则。
然而，非欧几何的出现挑战了这种传统观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。
罗巴切夫斯基几何中，最显著的特点是平行线不再是永不相交。
想象一下，在一个双曲平面上，过直线外一点可以画出多条与之平行的直线。
这与我们在欧几里得几何中的认知完全不同。
而且，在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。
这种几何模型在一些特殊的物理学和天文学研究中具有重要意义。
黎曼几何则是另一种非欧几何。
在黎曼几何中，没有绝对的平行线概念。
并且，三角形的内角和大于 180 度。
这种几何在广义相对论中发挥了关键作用，帮助我们理解弯曲的时空。
那么，为什么会出现非欧几何呢？这其实是数学发展的必然结果。
当人们对空间和形状的认识不断深入，发现欧几里得几何在某些情况下无法很好地描述现实世界中的现象。
比如，在研究大尺度的宇宙空间或者微观世界时，欧几里得几何的局限性就逐渐显现出来。
从数学的本质来看，欧几里得几何是基于平坦的空间假设，而非欧几何则是对弯曲空间的描述。
这就好比我们在平地上走路和在山坡上走路的感觉是不同的。
欧几里得几何就像是在平地上行走的规则，而非欧几何则是在山坡或者更复杂地形上行走的规则。
非欧几何
非欧几何19世纪，由于各国数学家对欧几里得《几何原本≮五公设(见第五公设)的怀疑和探索，出现了许多不同于欧几里得几何的几何。
通常把这些称为非欧几何。
第一非欧几何——罗巴切夫基几何，就是在对平行公设的研究中诞生的。
罗巴切夫斯基是俄国数学家，1792年生于高尔基城的一个穷职员家庭。
他从小聪明好学，才思过人，15岁时以高材生的资格进入喀山大学，毕业即获硕士学位，后留校任教，历任教授、数学—物理系系主任、校长等职。
从1816年起，罗巴切夫斯基开始像他的前人一样尝试证明第五公设，但很快发现他的证明无法逃脱循环论证的错误。
于是他改变了研究方法。
罗巴切夫斯基首先提出两个不同的假设：(1)过直线AB外一点P只能作一条直线与AB不相交；(2)过直线AB外一点P不止作一条直线与AB不相交。
如采用(1)作公理，可以导出我们熟悉的欧几里得几何。
罗巴切夫斯基从(2)出发，推导出一系列前后一贯的命题，构成了逻辑上没有矛盾，但与欧几里得几何完全不同的另外一种几何。
罗巴切夫斯称这种新的几何系统为“虚几何学”。
1826年2月23日，俄国喀山大学物理—数学系的学术会议上，罗巴切夫斯基宣读了他的论文《几何原理概述及平行线定理的严格证明》，向被称颂为“几何学经典”的欧氏几何发出了挑战：“直到今天为止，几何学中的平行线理论是不完全的。
从欧几里得时代以来，两千年徒劳无益的努力，使我怀疑在概念(指…第五公设‟)本身之中，并未包含那样的真实情况!”1829—1830年他在《喀山学报》上发表《论几何基础》，这是世界上最早的非欧几何的文献；1837年他用法文发表了《虚几何学》；1840年用德文写他影响最大的专著《平行理论的几何研究》。
但由于罗巴切夫斯基的新学说背离了几千年的传统思想，动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威，也违反了人们的“常识”，因此，他的学说一发表，就遭到社会上的攻击、侮辱和谩骂。
科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”，有人在杂志上谩骂罗巴切夫斯基是“疯子”。
非欧几何的基本特点
非欧几何的基本特点非欧几何是对传统欧几何的扩展与挑战，主要研究那些不遵循欧几里得第五公设（平行公设）的几何结构。
这种几何体系的提出，对数学、物理、哲学等领域产生了深远影响。
本文将从非欧几何的定义、基本特点、主要分支及其应用等方面进行详细探讨。
非欧几何的定义非欧几何是指不满足欧几里得几何中“通过平面上某一点，且不在直线上，可以画一条唯一的平行线”的公设的几何。
它建立了一种新颖的空间观念，揭示了在不同公理体系下，几何形状和性质可以发生剧变。
例如，在非欧几何中，平行线不是唯一的，因此形成了全新的数学结构和思维模式。
基本特点1. 平行公设的替代非欧几何最显著的特点就是对平行公设的替代。
在欧几里得几何中，只允许存在一条平行线通过一点，而在非欧几何中，这一限制被打破：超球面几何: 在球面上，任何两条直线（大圆）相交，因此不存在平行线。
双曲几何: 在双曲面上，对于一个给定点，可以画出无限多条不相交于该点的直线。
这种对平行线多样性的探索，使得非欧几何成为数学研究的重要领域。
2. 三角形和内角和单位三角形内角和在不同的非欧空间中表现出截然不同的特性：球面几何: 三角形内角和大于180度。
如在极地附近，三角形可以有较大的内角，例如近乎183度。
双曲几何: 三角形内角和小于180度。
例如，通过适当设定，可以构造出一个仅有90度内角和的小三角形。
以上特性使得研究三角形成为了非欧几何的重要内容，不同形式下三角形性质的变化为其提供了丰富的研究方向。
3. 空间结构与距离概念在非欧几何中，空间结构和距离的定义也与传统意义上有所不同。
例如：在球面几何中，距离通常由弧长来测量，而不是在平面上的直线距离。
在双曲空间中，随着空间维度增加，其距离测量也呈现出复杂化。
这些变化推动了对于“空间”的全新理解，特别是在较高维度情况下，更加复杂的距离计算有助于推动其他学科之间的相互交融，如物理学中的相对论模型等。
4. 曼哈顿几何曼哈顿几何是一种以城市街道网络为基础而发展的理论。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
2-1非欧几何
把球面上的大圆叫做“直线”
每两条“直线”都相交。 由“直线”围成的三角形内角和 大于180度。
且有：
其中S是三角形面积，R是圆球半径。 内角和与180度的差与面积成正比。
罗氏几何模型——双曲几何
把双曲面上的曲线叫做“直线”
一条直线外有无数条平行线。 三角形内角和小于180度。
且有：Leabharlann 欧几里得公理方法：
演绎推理
定义、 公设（公理）
几何定理
原始定义
点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度；
直线是同其上各点看齐的线；
图形是被一些边界所包含的那种东西。
五条公设
从一点到另一点可作一条直线； 直线可以无限延长； 已知一点和一距离，可以改点为中心，以该距离为 半径作一圆； 所有的直角彼此相等； 若一直线与其他两直线相交，以至该直线一侧的两 内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后必 相交于该侧。
另辟蹊径
到19世纪，数学家开始从反面入手想问题了。如果假设第 五公设不成立，最终能导出矛盾，就等于用反证法证明了 第五公设。如果永远得不出矛盾，就将发展出另一套几何 系统！
柳暗花明
俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利的波尔约和高斯几乎同时 各自独立地发现了这另一种几何学。
轩然大波
一方面，大家认为只有一种真实的几何，那就是欧几 里得几何。如果欧氏几何是真的，那么另外的几何就 应该是假的。 另一方面，反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中 推出矛盾。恰恰相反，数学家利用在欧氏几何之内构 造模型的办法，证明了如果欧氏几何内部无矛盾，非 欧几何也无矛盾。
其中S是三角形面积，c是某个正的 常数。 内角和与180度的差与面积成正比。
非欧几何
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是 一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言： 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直 线与已知直线不相交。 作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新 几何学的定理。 罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而 它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论， 这个理论就是一种新的几何学-——非欧几里得几何学。
1733年，意大利数学家萨凯里：《欧几里得无懈可击》 锐角？直角？钝角？
萨凯里四边形 锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一 给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等
无逻辑矛盾，但不合乎情理。
• 1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel） 在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际 上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不 符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是 否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学 家。
在非欧几何的三位发 明人中，罗巴切夫斯 基最早、最系统地发 表了自己的研究成果， 并且也最坚定地宣传 和捍卫自己的新思想。 “几何学中的哥白尼”
Н. И. Лобачевский 1792-1856
罗氏几何满足如下公理 • • • • •
π(α)
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统 天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没 有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解 析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人 们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数 学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
第五公设（平行公设）
• 第五公设：若一直线落在两直线上所 构成的同旁内角和小于两直角，那么 把两直线无限延长，它们将在同旁内 角和小于两直角的一侧相交。
非欧几何PPt
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高斯的生平
C.F,Gauss 是德国著名数学家、物理 学家、天文学家、大地测量学家。他有 数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟 大的数学家天赋，据载他9岁时，用很 短的时间计算出了小学老师布置的任务： 对自然数从1到100的求和。但是据更 为精细的数学史书记载，高斯所解的并 不止1架到100那么简单，而是 81297+81095+….+100899（公差198， 项数100）的一个等差数列。
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非欧几何的诞生
欧几里得第五公理是说：过已知直线外 一点，有且只有一条直线与已知直线平 行。 19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在 否定第五公理的同时，假设其反面之一： “过已知直线外一点，可作多于一条的 直线与已知直线平行”，得到了一系列 定理，并且认为他得到了一门新的几何 学。这是过去2000年以来的重大突破。
非欧几何
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非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里 得几何是一门大的数学分支，一般来讲， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何，至于通常意义的 非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何 这两种几何。
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非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容 并且可以描述物质空间、像欧式几何一 样正确的新几何学的是高斯。但是高斯 害怕这种理论会遭到当时教会力量的打 击和迫害不敢公开发表了自己的看法， 也是在书信中向自己的看法，也不敢站 出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们 的新理论。
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2012-6-1 7
并不神秘的非欧几何，它究竟讲的是什么？今天带你搞懂
并不神秘的非欧几何，它究竟讲的是什么？今天带你搞懂欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言)科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,欧洲数学2000年发展史，几乎有四分之三的时间里欧氏几何一统天下，对科学和哲学的影响极其深远。
直到魏尔斯特拉斯发起的分析算术化运动使代数从欧氏几何中完全脱离以及非欧几何的诞生才结束了欧氏几何的统治地位。
其中，非欧几何的诞生影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展，今天我们就来谈一下非欧几何与发展。
欧氏几何第五公设问题掀起的风波欧几里得的《几何原本》标志着非欧几何的诞生，在《几何原本》里，欧几里得给出了 23 条定义、5条公理、5条公设，由此推证出48个命题。
公理是指在任何数学学科里都适用的不需要证明的基本原理，公设则是几何学里的不需要证明的基本原理。
近代数学则对此不再区分，都称“公理”。
这五大公设中，由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，所以引起后人的不断研究和探讨。
因为前四条公设都可以用《几何原本》中的其余公设、公理和推论证明，而人们始终相信欧氏几何是物理空间的正确理想化，所以众多数学家就尝试用前4个公设、5个公理以及由它们推证出的命题来证明第五公设，然而都没有成功。
第五公设难题：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
论证的不成功引发了数学家的疑义，数学界由此开始了对“第五公设难题”的讨论。
数学家还尝试用更简单、明畅的语言来叙述这条公设，从而更好地理解它并解决它，古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就曾经试图重现陈述它，然而这些替代性陈述效果并不比原来的文字更好。
直到 18 世纪普莱菲尔才算总结出一个比较简单的替代性公设：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。
（我们中学教材就常用这个叙述形式来替代第五公设。
）从公元前三世纪一直到公元十八世纪期间，近2000 年的时光过去，整个数学体系已经初具雏形。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
怎么通俗地描述非欧几何？
怎么通俗地描述非欧几何？
非欧几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的(椭圆几何)，而今的学科体系一般都统称黎曼几何。
它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
而黎曼几何则是假设直线外过一点没有直线与之平行。
直观上来说，就是空间的截面曲率不同，罗氏几何的小于0，欧式空间等于0，黎曼几何的大于0。
非欧几何的产生与发展，在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结，它引起了人们对数学本质的深入探讨，深刻影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展。
但值得注意的是，非欧几何与欧式几何没有谁对谁错的问题，他们只是不同的公理体系下的不同几何学，有各自适用的范围，只是非欧几何可能更适合去描述我们所在的这个真实世界。
非欧几何
对非欧几何的认识摘要：本文简单的介绍了公理化体系中的基本概念，对非欧几何的产生进行了阐述。
介绍了两种非欧几何——罗氏几何，黎氏几何.即罗氏几何在欧氏几何公理化体系的基础上对平行公理进行修改，改为：过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线平行，从而推出一个新的几何体系。
而黎氏几何则在此基础上将平行公理修改为：平面上任何两条直线都相交或者说平面上不存在平行直线。
本文还对非欧几何诞生的意义及应用进行了探讨。
关键字：公理化体系非欧几何罗氏几何黎氏几何引言为了研究非欧几何，必须对公理化体系有较清楚地认识，所以本文从公理化体系着手，简单介绍公理化体系的概念，由公理化体系引出“第五公设问题”再由此引出非欧几何的产生.非欧几何所包含的内容是本文重点要讨论的问题，即第三部分内容：简介非欧几何的主要内容.最后简单介绍非欧几何产生的几何意义及应用以结束本文。
1 简单叙述公理化体系及其产生人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的研究和发现，推动了几何学不断向前发展.德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上在他1898年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系，这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体系.希尔伯特不仅提出了建立一个公理体系所应遵循的原则就是在一个几何公理体系中采取哪些公理，应该包含多少条公理，应考虑如下三个方面的问题：第一、和谐性（共存性）在一个公理体系中，各条公理应该是不矛盾的，他们和谐而共存在同一系统中，这显然是必要条件.给定一组公理，具体挑选一组事物，使这组公理得到满足，就是说给这组公理做了一个实现或解.实现这些公理的对象的集合，构成这一公理的一个模型，而这一公理体系若能以某种方法用模型来实现，那么这个公理体系就是和谐的.第二、独立性，公理体系中的每一条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引申出来的.如果公理体系中有一个公理可以从其余的公理中推导出来，它就不是独立的，可以把它从公理体系中挪走，减少一个公理.但是应当注意，一种几何可以用不同的公理体系作为基础，因此去掉多余的公理后，一般说来，可以得到不同的最少个数的体系，因此最少个数的公理体系不是唯一的.第三、完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题.设一个∑，如果在∑和的'∑对象之间能够建立这样的一一对应，使得公理体系具有两个模型∑和'∑中元素之间的相互关系或命题总是'∑中相应元素间的相互关系或命题相对应，则称这两个模型是同构的，如果一个公理体系中的各个模型是同构的，那么这个公理体系就称它为完备的.这种用公理系统来定义几何学的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里德在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法.公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理化理论中，由于涉及的对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，指专门研究抽象的对象之间的关系、性质.从公理法的角度看，我们可以任意的用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物间满足公理中的结合关系，顺序关系，合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，则构成了几何学.这里的几何学研究对象更加广泛，几何学的含义比欧几里德时代更为抽象.2 欧氏几何公理化体系及第五公设问题欧氏几何的公理体系不止一组，当各组彼此是等价的.在欧氏几何的所有公理体系中，希尔伯特系统概念和陈述最简单，如下所述：第一组、结合公理公理1 通过任意给定的两点有一直线.公理2 通过任意给定的两点至多有一直线.公理3 每一直线上至少有两点，至多有三点不共线.公理4 通过任意给定不共线的三点有一平面，每平面上至少有一点.公理5 通过任意给定不共线的三点，至多有一平面.公理6 若一直线上的两点在一平面上，则这一直线上的每一点都不在这平面上.公理7 若平面上有一公共点，则至少还有一公共点.公理8 至少有四点不同在一平面上.第二组、顺序公理公理1 若点B 在两点A 、C 之间，则A 、B 、C 是一直线上的不同点，且B 也在C 、A 之间.公理2 对于任意两点A 、B 直线AB 上至少有一点C 存在，使得B 在A 、C 之间.公理3 在共线的三点中，一点在其它两点之间的情况不多于一次.公理4 设A 、B 、C 是不共线的三点，L 是平面ABC 上部通过A 、B 、C 中任何一点的直线，若直线L 通过线段AB 的一个点，则直线L 要通过线段AC 或BC 的内点.第三组、合同公理公理1若A 、B 是直线L 上的两点，A ′是同一或另一直线L ′上的点，则在L ′上点A ′给定的一侧有一点且仅有一点B ′使线段A ′B ′合同于或等于线段AB ，且对于每一线段AB 要求AB 合同BA.公理2 线段A ′B ′及A 〞B 〞都与同一线段AB 合同，则A ′B ′与A 〞B 〞合同.公理3 设AB 与BC 是直线L 上没有公共内点的两线段，而A ′B ′和B ′C ′是同一或另一直线L ′上的两线段，也没有公共内点.若AB ≡A ′B ′及BC ≡B ′C ′，则AC ≡A ′C ′ .公理 4 在平面π上给定了AOB ∠，在同一或另一平面'π上给定一直线'L ，且在以'L 为边缘的半平面'H 上有射线''AO 在'L 上，则过点'O 在半平面'H 内有唯一的射线 ''B O 使得AOB B O A ∠=∠'''公理5 在ABC ∆与'''C B A ∆之间，若AB ≡A ′B ′，AC ≡A ′C ′，∠B ′A ′C ′=∠BAC ，则AOB B O A ∠=∠'''第四组、连续公理公理1 设AB 与CD 是任意两线段，在直线AB 上存在着有限个点n A A A 21使得1A 在2A 和A 之间，2A 在 1A 和3A 之间，等等.且线段n n A A A A AA 1211, ，与线段CD 合同，最后使得点B 在点A 和n A 之间.公理2 设直线L 上有由线段组成的一个无穷序列11B A ，22B A 其中在后的每一线段都包含在前一个内部，并且任意给定一线段，总有一个自然数n 使得线段n n B A 比它小，那么在直线L 上存在一点X 落在每条线段11B A ， 22B A 的内部.第五组、平行公理设有一直线及线外一点，在这直线和这点确定的平面上，经过这点最多有一条直线与该直线平行.以上便是欧氏几何公理体系的全部内容，由此便可推到处欧氏几何的全部内容.了解了欧氏几何的公理化体系，现在回过头来谈谈欧几里德的第五.欧氏几何公理化体系中的五个公设是：○1给定两点，可以连接一线段. ○2线段可以无限延长. ○3给定一点为中心和通过任意一点可以作一圆. ○4所有直角彼此相等. ○5如果一条直线与两条直线相交，并且在同一侧所交出的两角之和小于两个直角，这两条直线无限延长后，必在该侧相交.长期以来，人们对欧氏几何公理系统中前四个公设没有异议，而对第五公设特别注意，这是因为:第一，它没有其他公理那样简单，第二，可能连欧几里德本人也曾试着证明过第五公设，因为欧氏《几何原本》中前二十八个命题都未曾利用过第五公设，似乎是欧几里德本人也推迟使用它.第五公设能不能从欧氏表中挪走，用其余的公设、公理将它作为定理证出来，便是著名的“第五公设问题”.人们在假设平行公理不成立的时候，自然想到做出与“过已知直线外一点，可作一条也只可作一条直线与已知直线平行”相悖的假设.如假设“过已知直线外一点，可作出多于一条的直线平行于已知直线”，然后，人们总是在这一假定下希望通过一长串的推理，从中得出两个相互矛盾的命题，但都以失败而告终.德国的高斯是真正预见到非欧几何的第一人，1792年，当他15岁时，已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽．以后相继得到许多这方面的重要结果．但他动摇徘徊了25年之久，直到1817年才牢固树立起坚定信念．不幸的是，由于康德的唯心主义空间学说和在 数学界占统治地位的所谓现实空间只能是欧氏空间这旧传统观念，给高斯以很大的精神压力，因而毕其一生关于此问题也没有发表什么见解．匈牙利的J-波尔约是预见到非欧几何的第二人，他在青年时代就醉心于第五公设的证明．不顾父亲的劝告，坚持研究，终于建立了非欧几何．1823年11月3日，他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界．”当他父亲把J-波尔约的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合．”J-波尔约看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，怀疑高斯剽窃他的成果．从此消沉下去，不再研究这一问题．只有俄国的罗巴切夫斯基无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号．他试图证明第五公设，并在独立的在完成一个个推论被严密论证后发现了一个新的几何体系，之后他不顾来自各方面的嘲讽和压力，忠实的捍卫着这一伟大的理论成果，并于1826年2月23日在喀山大学数理系做了《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》的报告上宣读了他关于非欧几何的研究工作.我们称这一天文非欧几何的诞生日.3 简介非欧几何的主要内容非欧几何是一门大的数学分支，一般说来，它有广义、狭义和通常意义三个方面不同的含义.所谓广义的非欧几何时泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，而狭义的几何学只是指罗氏几何而言，通常意义上的非欧几何，就是指罗氏几何和黎氏几何这两种几何.下面重点阐述罗氏几何和黎氏几何.罗氏几何罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点至少可以做两条直线和已知直线平行”来替代，其他公理相同.故罗氏几何公理可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，过直线外一点，至少可以做两条直线和已知直线平行.这五组公理推出一个新的几何体系，又称为双曲形几何，其模型可描述为：在欧氏平面上取一个圆∆，在圆∆内作为非欧平面，圆内任意一点P 称为非欧点，圆的边界点用∆∂表示，∂垂直的圆弧或直线段称为非欧直线.由此∂上的点是非欧平面上的无穷远点，在∆内与∆所有过原点的直线都是非欧直线，两条非欧直线间的夹角，由交点处两圆弧切线间的夹角来度量，此即在圆内建立了一个无限的非欧平面.如图所示：其中，非欧直线L与∆∂的交点是A、B，过L外一点Z作两条非欧直线分别与之相切于A、B两点，此两条直线为过Z点与L平行的非欧直线.由于平行公理不同经过演绎推理引出一连串新的不同于欧氏几何的几何命题，且因为罗氏几何除了第五组平行公理之外，其余四条公理全部采用欧氏几何的公理，故凡不涉及到平行公理的几何命题在欧氏几何中成立，在罗氏几何中同样正确，在欧氏几何中凡涉及到平行公理的命题在罗氏几何中均不成立.例如,欧氏几何中同一直线的垂线和斜线相交；垂直于同一直线的两条直线互相平行；存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点可以做且仅可以做一个圆；而罗氏几何中，同一直线的垂线和斜线不一定相交；垂直于同一直线的两条直线，当两端延长时可以离散到无穷；不存在相似的多边形；过不同在一条直线上的三点，不一定可以做一个圆.同时，在这个新的几何中一些与平行公理有关的命题被新的定理代替，如：三角形的内角和小于180°；两三角形若三组对应角分别相等则两三角形必然全等.黎氏几何欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理，顺序公理，连续公理及合同公理都是相同的，其不同之处在于平行公理.欧氏几何讲：“过直线外一点犹且只有一条直线与已知直线平行”，罗氏几何中：“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”，而黎氏几何则提出：“过直线外一点，不能做出直线与已知直线平行”.这与前面四条公理结合即形成另一种新的非欧几何体系，称之为黎氏几何.因为黎曼几何公理化体系同欧氏几何的公理化体系也仅在第五组平行公理上有所不同，故黎氏几何的公理化体系可表述为：第一组：结合公理；第二组：顺序公理；第三组：合同公理；第四组：连续公理；（前四组公理如前所述欧氏几何公理体系）第五组：平行公理，即平面上任何两条直线都相交，或者平面上不存在相交直线.黎曼提出的非欧几何又称为椭圆几何，如图所示：首先，对图形的基本对象点、直线、平面作如下约定：第一，点：把欧氏球面上对径的两点同一起来，看成一点，这个约定点称为黎曼几何的点.第二，直线：把欧氏球面上对径点合一后，得到的大圆约定为黎曼几何中的直线.第三，平面：把对径点合一后的欧氏球面约定为黎曼几何中的平面.上图中，A点为一黎曼点.大圆APA是一条封闭的黎曼直线.其模型又可描述为：若将球面上的大圆视为直线，那么球面上的几何中任何两条直线都相交，而且存在两个交点.亦即，黎曼于1851年所作论文《论几何学作为基础的假设》中明确提出的一条基本规定：同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）.其实际意义可认为是：赤道为一大圆，所有的纬线也都是大圆，它们均为与赤道垂直的，且交于南北极，有两个交点.我们可以推导出在该模型上三角形的内角和必然大于180°；一条直线的所有垂线都相交于一点.同时，黎曼几何学中不承认有平行直线的存在，另一基本规定是：直线可以无限延长，但总长度有限，故我们可以将黎氏几何的模型看作一个经适当修改的球面.4 探讨非欧几何的产生所具有的几何意义及其应用非欧几何产生的几何意义首先，随着几何学的不断发展，非欧几何的产生引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，对几何学的研究对象由性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何学的发展进入了一个以抽象为特征的新阶段.其次，几何学本身也从其传统的束缚中被解放出来，并在这基础上发现了大批有趣的几何，如：非阿基米德几何，非笛沙格几何，非黎曼几何，有限几何，等等.非欧几何的产生，也引发了一些重要的数学分支的产生，数学家们围绕着几何的基础问题，几何的真实性问题或者几何的应用可靠性问题的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，如数的概念，分析基础，数学基础，数理逻辑，等.非欧几何的应用我们知道，非欧几何的出现不仅仅影响了人们的价值观，思维方式，世界观及人类的文化，更重要的是非欧几何对一般难以把握的，据一般生活更远的实际中得到了广泛的应用.比如，近代的黎曼几何在相对论中有重要的应用.广义相对论中，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里是一种近似均匀的，而整个时空是不均匀的.物理学里广义相对论中的空间几何即是黎曼几何.在日常生活中，就是说在我们所处的这个不大不小，不远不近的空间里，欧氏几何是适用的；延伸到宇宙空间中或者原子核世界里，罗氏几何更加适用；在地表研究航海，航空等实际问题则更多的需要用到黎曼几何.参考文献[1]郑崇友、王汇淳等编著几何学引论 [M] 北京高等教育出版社 1994[2]朱德祥编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年9月[3]傅章秀编几何基础 [M] 北京北京师范大学出版社 1984[4]梅向明、刘增贤编高等几何 [M] 北京高等教育出版社 1983[5]方德植陈亦培编射影几何 [M] 北京高等教育出版社 1983年2月[6]姚俊凡编高等几何讲义 [M] 贵州贵州人民出版社 1981Carries out official duties the physics and chemistry system tolookat the non- European geometryAuthor：HUANG Xiaolin Supervisor：XU TianchangAbstract：In this paper,basic conceptions in the system of Axiomatizing are briefly introduced and some statements of the generation of non-Euclidean geometries are given.Two forms of the non-Euclidean geometries: Lobachevskian geometry and Ricmmanian geometry will be discussed.The Lobachevskian geometry is a new geometry which is given by changing the parallel postulate in the system of Axiomatizing of Euclidean geometries to : through one point beyond a given line ,there are at least two lines parallel to the given line.In the Ricmmanian geometry,the parallel postulate is changed to: two arbitrary lines in a surface always intersect or there exist no parallel lines.Furthermore,the significance of the generation of non-Euclidean geometries is studied in this paper.Key words：system of Axiomatizing; non-Euclidean geometries;Lobachevskian geometry; Ricmmanian geometry.。
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近代黎曼几何在广义相对论里得到了重 要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对 论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对 论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观 念，他认为时空只是在充分小的空间里以一 种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均 匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎 曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重 要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应 用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
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黎曼几何
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。 他在1851年所作的一篇论文《论几何学 作为基础的假设》中明确的提出另一种几 何学的存在，开创了几何学的一片新的广 阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在 同一平面内任何两条直线都有公共点(交 点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存 在，它的另一条公设讲：直线可以无限 延长，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
高斯的简介
C.F. Gauss是 德国著 名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学 家。他有数学王子的美 誉，并被誉为历史上最 伟大的数学家之一 。
高斯的贡献
高斯是最早指出欧几里得第五公设独 立于其他公设的人，早在1792年他就已经有 一种思想，去建立一种逻辑几何学，其中欧 几里得第五公设不成立． 1794年高斯发现在他的这种几何中，四 边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的 差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数， 无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他 的新几何，称之为非欧几何。
非欧几何的意义：
（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果， 它把人从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认 识从以直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代， 数学表现为人类思维的自由想象。 （2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且 对现代物理学、天文学和人类时空观念的变革都产 生深远影响。1913年，物理学家给出了罗氏几何在 相对论里的应用；1947年，人们在心理学的研究中， 发现视觉空间最好用罗氏几何来描述。
数学史
主讲：陈朝哲
非欧几何
组员：刁素兰、陈兴勇、郑茂涌、 方浩东、谢常平、 叶梦晖、 李健标
非欧几何的发展史
一、第五公设的思考探索 二、非欧几何的萌芽 三、非欧几何的产生 四、非欧几何的发展
非欧几里得几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支， 一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这 三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切 和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义 的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这 两种几何。
罗巴切夫斯基 俄国
（1792—1856 ）
罗巴切夫斯基的成就
1、《论几何学基础》，以后又有补充。
2、《平行线理论的几何研究》等一系列非欧 几何论文。由于当时还没有找到这种几何的实 际应用，所以他称他的新几何为”想象的几何 学”，““虚几何学”。
3、后来他双目失明，却以口授写出一部他的 几何的完全的新的说明，并于1855年以书名 《泛几何》出版，今天称为“罗巴切夫斯基几 何“。
非欧几何的发展
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特 拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱 等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的 直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。罗 巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界 的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉 为“几何学中的哥白尼”。
鲍耶的贡献—非欧定理
几乎在罗巴切夫斯基 创立非欧几何学的同时， 匈牙利数学家鲍耶也发现 了第五公设不可证明和非 欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭 到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲— —数学家鲍耶· 法尔卡什认为研究第五公设 是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这 种研究。但鲍耶· 雅诺什坚持为发展新的几 何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的 父亲的一本著作里，以附录的形式发表了 研究结果。
黎曼的贡献
黎曼，德国数学家，物理学家 。 黎曼可以说是最先理解非欧几何全部 意义的数学家。 他创立的黎曼几何不仅是对已经 出现的非欧几何的承认，而且显示了 创造其他非欧几何的可能性。但他的 理论仍难被同时代人理解。据说他在 哥延根大学的演讲只有年迈的高斯听 得懂。
1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥 廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去 听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二 乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改 学数学。1847年春，黎曼转到柏林大学， 投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两 年后他回到哥廷根。后开创了黎曼积分。
非欧几何的萌芽
非欧几何的产生与著名的欧几里 得第五公设密切相关，它是数学家们 为解决这个问题而进行长期努力的结 果。 非欧几何的发展源于2000多年前 的古希腊数学家的欧几里得的《几何 原本》．其中公设五是欧几里得自己 提出的。
第五公设的思考探究
“第五公设”：“若一条直线与两 直线相交，且若同侧所交两内角之 和小于两直角，则两直线无限延长 后必相交于该侧的一点”、这一公设 引起了广泛的讨论
罗巴切夫斯基定理
欧式几何： 同一直线的垂线和斜线相 交。 垂直于同一直线的两条直 线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点可以做且仅能做一个 圆。 罗氏几何： 同一直线的垂线和斜线 不一定相交。 垂直于同一直线的两条 直线，当两端延长的时 候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三 点，不一定能做一个圆。
数学家们主要沿2条研究途径前进： 一条途径是寻找一条更为自明的命题代替 平行公设；另一条途径是试图从其他9条 公理、公设推导出平行公设来。 沿第一条途径找到的第五公设最简单 的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔给 出的：“过直线外一点，有且只有一条直 线与原直线平行”也就是我们今天中学课 本里使用的平行公理，
古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世 纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替 代公设并不比原来的第五公设更好接受， 更“自然” 历史上第一个证明第五公设的重大 尝试是古希腊天文学家托勒玫(约公元150 年)做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫 的“证明”无意中假定了过直线外一点只能 作一条直线与已知直线平行，这就是普雷 菲尔公设．
罗巴切夫斯基的贡献
罗巴切夫斯基的第一篇关于非欧几 何的论文：《几何学原理及平行线定理 严格证明的摘要》。这篇首创性论文的 问世，标志着非欧几何的诞生。 这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正 统数学家的冷漠和反对。在创立和发展非欧 几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能 遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一 位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工 作。
高斯
非欧几何 的产生与发展
罗巴切夫斯基
J·鲍耶
黎曼
非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相 容并且可以描述物质空间、像欧式几何 一样正确的新几何学的是高斯。但是高 斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的 打击和迫害，不敢公开发表自己的研究 成果，只是在书信中向自己的朋友表示 了自己的看法，也不敢站出来公开支持 罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗巴切夫斯基几何得来的背景
自从欧几里得提出第五公设（同一平 面内一条直线和另外两条直线相交，若在某 一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直 线经无限延长后在这一侧相交以来），一些 数学家在思考第五公设能不能不作为公设， 而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明 第五公设？这就是几何发展史上最著名的， 争论了长达两千多年的关于“平行线理论” 的讨论。