第七章量纲分析与相似理论

1
p v 2
2
dv
1 Re
3
l d
4
d
（3）写出无量纲方程
p 1 l F( , , , )0
v2 Re d d
pf(Re,dl , d)v2
2f
(Re,
) d
p2f(Re, d)d l 2 v2d l 2 v2
§7-2相似的基本概念
一、几何相似
模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例， 对应的夹角相等。
1 23
2
x5 x x x a2 b2 c2
1 23
…
x xx x n3
n
an3 bn3 cn3 1 23
x1 , x2 , x3 这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征
x1 , x2 , x3 必须相互独立
dimx1La1Tb1Mc1 dimx2La2Tb2Mc2 dimx3La3Tb3Mc3
•几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
§7-3 相似准则
一、牛顿相似准则
1.相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的 各种作用力的比尺要满足的约束关系。
2.牛顿相似准则
惯性力比尺
C I V Vm p a aC C l3C aC C l2C v 2
M:1a
L:1bc
T:2b
a 1
b2 c 1
FKm2/vR
例7-2 由实验得知：恒定有压管流的临界流速 v 与c
管径 、d流体密度 和粘度 有关，试用瑞利法求出
它们之间的关系式。
[解] 根据已知条件，有以下待定函数关系
vc f(d,,)
vc Kdabc
根据量纲和谐性有
d im v c L T 1 K L a M L 3 b M L 1 T 1 c
第七章量纲分析与相似理论
三、量纲分析法
量纲分析法：在量纲和谐性原理的基础上，形成了两种按照物 理量之间的量纲和谐性建立各物理量之间的函数关系式的方法。
1.瑞利法
若某一物理过程与 n个物理量有关，即
f(x1,x2, ,xn)0
其中一个物理量 x可i 以表示成其它物理量的指数乘积形式
x iK x 1 ax 2 bx ic 1 x id 1 x n m
（3）将 n个m基本量依次与其余量组成 个无量纲项
（4）根据量纲和谐性原理，找出各项的待定系数 a、i 、b i 。c i
（5）写出描述该物理过程的关系式
F (1 , 2 n m ) 0
例7-3 已知圆球的绕流阻力 D与流体的密度 和粘
度定理、推圆导球绕的流直阻径力公、式来。d流的流速 相关v ， 试用
压强损失：p 气体密度： 流速：v 动力粘度：
管径：dBaidu Nhomakorabea管长：l
管壁粗糙度：
试用定理推导气体管路压强损失 p 公式。
[解]
（1）取 、 v、 作d为三个基本量，求各 项
1
p
d v a1 b1 c1
2
d v a2 b2 c2
3
l
d v a3 b3 c3
4
d v a4 b4 c4
（2）根据量纲和谐性原理，略去具体计算步骤，求得各项 结果为
L:1a3bc
T:1c
M:0bc
a 1 b 1
c 1
KRecdvc
vcd
2. 定理法 (布金汉法)
若物理方程为
f(x1,x2, ,xn)0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成 为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
F (1 , 2 n m ) 0
1
x4 x x x a1 b1 c1
力的比尺
CF
Fp Fm
CI
Fp
p
l
p2 v
2 p
Fm mlm2 vm2
(Ne)p (Ne)m
无量纲数 K
待定系数 a,b,c,d m
例7-1 已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 F，与
物体的质量 、m速度 和圆v周半径 有关R，试用瑞利法推
导离心力公式。
[解] 根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式
FKm avbRc
根据量纲和谐性，有
d im F M L T 2 K M a L T 1 b L c
四、初始条件和边界条件相似
1.初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条 件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。 2.对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始 条件则失去了意义。 3.边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表 面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。
Ct
tp tm
重力加速度比尺
Cg
gp gm
1
三、动力相似
两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小 成比例 ，即
力的比尺
C FT T m pG G m pP P m pE E m pS Sm pIIm p
密度比尺 粘度比尺
C
p m
C
p m
粘性力 T
重力
G
压力
P
弹性力 E
表面张力 S
惯性力 I
[解] （1）建立函数关系式
f(D ,,,d,v )0
（2）选取 、 d、 为v 三个基本量，求各 项。
1
D
d v a1 b1 c1
2
d v a2 b2 c2
根据量纲和谐性原理
1 L T 2 M M L 3 a 1 L b 1 L T 1 c 1
L:13a1b1c1 T:2c1
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 a3 b3 c3
表征流体物性：密度 、粘度 等
表征几何特性: 管径 d、管长 等l
表征运动特性：速度v、重力加速度 g等
定理法的运用步骤：
（1）找出对物理过程有影响的 n个物理量，写成函数形式。所
谓有影响的物理量是指对研究的物理过程起作用的各种独立因 素
（2）选出 m个相互独立的基本量，一般取 m个3
M :1 a1
a1 1
b1 2 c1 2
1
D
d 2v2
同理
2
dv
Re1
（3）写出无量纲方程
D F(
d2v2
,Re1)
0
D f(R e )d 2 v 2 f(R e )8d 4 2 2 v 2 C d A 2 v 2
例7-4 根据实验，某气体管流现象的物理方程为
f( p ,,v ,,d ,l, ) 0
Cl
lp lm
p m
长度比尺 C l
面积比尺 体积比尺
CA
Ap Am
lp2 lm2
Cl2
CV
Vp Vm
l3p lm3
Cl3
二、运动相似
两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小
成比例，即
Cu
up um
速度比尺 加速度比尺
Cv
vp vm
Cu
Cl Ct
Ca
ap am
Cl2 Ct
时间比尺