计算电磁学 第9讲 有限元法
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信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@sdu.edu.cn
第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.2
有 限 元 思 想
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分 析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是 RayleighRitz-Galerkin法的推广。 有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型 数学模型——边值问题，首先转化为相应的变分问题 变分问题， 即泛函求极值问题 泛函求极值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离 散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元 的代数方程组，求解该方程组，从而获得边值问题的数 值解。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.12
微分、差分、变分的区别 ∆y = f (x +∆x) − f (x) = f ′(x)∆x + O(∆x) dy = f ′(x)dx 设函数y=f(x), 则： 差分∆y是同一函数自变量的改变所引起的函数值 的改变。 微分dy是同一函数自变量的改变所引起的函数值 改变的线性主部，并忽略了相对线性主部是高阶 的无穷小量。 变分δy反映的是整个函数f(x)的改变。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
最简泛函的变分问题：
x2
No.17
设函数 y(x)稍有变化，记作 y + δy ， δ y 称之为 y(x) 的变分，它反映了整 个函数的变化量。这样泛函 J[ y]的值也应随之变动，相应于变分 δy 的泛函 增量为
a private 1998 and comprises of approximately 40 people based in a 1800 sqm facility in Brisbane Australia.
Email:kongfm@sdu.edu.cn
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 商用软件
2 x2 1 + y ′ dx = min J [ y ( x)] = ∫ x1 2 gy y ( x1 ) = 0 y ( x2 ) = y2
(2)
泛函的极值（max 或 min）问题就称为变分问题。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.14
J = J [ y ( x)]不仅取决于积分端点 x1 和 x 2 ，而且取决于 y = y(x)的选
取。 J 取决于 y ( x) ，所以 J 是函数 y(x)的函数，称之为 y(x)的泛函，记 作 J[ y(x)]。 于是所述之最速降线问题，在数学上就归结为研究泛函 J[y(x)]的 极值问题，即
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.6
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.7
主要特点 可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合。 从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使 微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法 的发展。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.13
在微积分学形成初期， 以数学物理问题为背景， 与多元函数的极值 问题相对应，已在几何、力学上提出了若干个求解泛函极值的问题。 如图中的质点最速降线问题所述，质点 A 从定点 (x1, y1) 自由下滑到 定点 B ( x 2 , y 2 ) ，试求使滑行时间最短的质点下滑轨道 y = y(x)。 滑行弧段 ds 所需时间为
第九讲 有限元法 第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.1
发 展 史
有限单元的思想最早由 Courant 于 1943 年提出，而有限元 法 （ Finite Element Method ， 简 称 FEM ） 这 个 名 称 由 Clough(克拉夫)于1960年在其著作中首先提出。 以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的 普遍性，已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中 的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土 壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。 1965年Winslow首次将有限元法应用于电气工程问题。 1969年Silvester将有限元推广应用于时谐电磁场问题。
(5)
= δ J + δ 2J + δ 3J +⋯ ≈ δ J
式中作为泛函增量 ∆J 的线性主部为
δJ = ∫
x2 x1
∂F ∂F ′ ∂y δ y + ∂y ′ δ y dx
(6)
δJ 称为泛函 J[ y]的一次变分（简称变分） 。
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1 + y ′ 2 dx ds sec αdx dt = = = v 2 gy 2 gy
ds
O
A(x1, y1)
dx
x
滑行总时间为
J [ y ( x)] = T [ y ( x)] = ∫ dt = ∫
0
T
x2
1 + y ′2 2 gy
B(x2, y2) y
x1
dx
（ 1）
最速降线问题
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程 最简泛函的变分问题：
No.18
令变分问题的解为 y=y(x)，且设极值解 y=y(x)稍有变动 y+δy， 且令
δy=εຫໍສະໝຸດ Baidu(x)
式中:
（7）
(1)ε为任意给定的微量实参数， ε值就确定了 y=y(x, ε)函数族中的 某一曲线，进而确定泛函 J[y(x, ε)]; (2)η(x)是定义于区间[x1,x2]且满足η(x1)=η(x2)=0 齐次边界条件的 可微函数。
No.15
对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 x、单个函数 y ( x) 及其导数 y′( x) 的已知函数
J [ y ] = ∫ F ( x, y , y ′)dx
x1 x2
(3)
式中 F 为 x 、 y 和 y′ 的已知函数 。 ．．．． 泛函 J [ y]的自变量不是一般的自变量， 而是一个或几个函数所属的 函数族 y(x)。 在端点 x1 和 x2 上分别等于给定值的无数个 函数 y( x) 中，仅有一个 ．．．
No.16
泛函变分问题的经典解法有两种，一种称之为直接解法，另一 类是间接解法。 直接解法是直接把泛函的极值问题近似地转化为一般多元 函数的极值问题，用有限维子空间中的函数去逼近无穷维 空间中的极值函数，从而近似求得泛函的极值。 间接解法是将变分问题转化为尤拉方程（微分方程）的定 解问题，即边值问题来求解。
y(x)能使定积分 J[y]达到极小值，此函数 y ( x) 称为极值函数。
因此，变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数 y ( x) ， 即分析研究泛函的极值问题。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 主要特点 离散化过程保持了明显的物理意义。
No.3
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。 因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计 算公式，可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前 提要素。
最 小 势 能 原 理
一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统 就会趋向于稳定平衡。
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.5
主要特点 优异的解题能力 与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出优 点： 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制； 不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的； 不必单独处理第二、三类边界条件； 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度 和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值 计算精度。
∆J = J[ y + δ y] − J[ y] = ∫ [F ( x, y + δ y, y′ + δ y′) − F ( x, y, y′)]dx
x1 x2
J [ y ] = ∫ F ( x, y , y ′)dx = min
x1
(4)
将(4)式由多元函数的泰勒公式展开
∆J = ∫ ∂F ∂F 1 ∂2 F ∂2F ∂2 F 2 {[ δ y + δ y′] + [ 2 (δ y ) + 2 δ yδ y′ + 2 (δ y′) 2 ] + ⋯}dx 2 ∂y ∂y′ ∂y ∂y′ ∂y∂y′
最小势能原理就是说当一个体系的 势能最小时，系统会处于稳定平衡 状态。 汤姆逊定理 : 处于介质中一 个固定的带电导体系统，其 表面上电荷的分布，应使合 成的静电场具有最小的静电 能量。
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.4
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程 最简泛函的变分问题：
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第九讲 有限元法
No.10
9.1 有限元概述
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 商用软件
No.11
HFSS以其无以伦比的仿真精度和可靠性，快捷的仿真速度，方便易用的 操作界面，稳定成熟的自适应网格剖分技术使其成为高频结构设计的首 选工具和行业标准，已经广泛地应用于航空、航天、电子、半导体、计 算机、通信等多个领域，帮助工程师们高效地设计各种高频结构： 射频和微波器件设计 电真空器件设计 天线、 天线、天线罩及天线阵设计仿真 目标特性研究和RCS仿真 高速互连结构设计 光电器件仿真设计 电磁兼容分析
No.9
COMSOL Multiphysics是一款大型的高级数值仿真软件。COMSOL 公司 于1986 年在瑞典成立，目前已在全球多个国家和地区成立分公司及办事 机构。 COMSOL Multiphysics起源于MATLAB的Toolbox ，最初命名为 Toolbox 1.0。后来改名为Femlab 1.0，这个名字也一直沿用到Femlab 3.1。 从2003年3.2a版本开始，正式命名为COMSOL Multiphysics。 COMSOL Multiphysics以其独特的软件设计理念，成功地实现了任意多 物理场、直接、双向实时耦合，在全球领先的数值仿真领域里得到广泛 的应用。在全球各著名高校，COMSOL Multiphysic已经成为教授有限元 方法以及多物理场耦合分析的标准工具。
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 商用软件
No.8
EM Solution是求解电气机器的磁场、涡电流、电磁力的通用 的、标准的、三维有限元电磁场仿真软件，应用范围包括： 1. 机电系统和电力电子系统仿真 2. 电流传导分析 3. 低频交流和瞬态磁场分析 4. 静电场分析 EM Solutions is company founded in 5. 电机与磁性器件分析设计
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.2
有 限 元 思 想
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分 析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是 RayleighRitz-Galerkin法的推广。 有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型 数学模型——边值问题，首先转化为相应的变分问题 变分问题， 即泛函求极值问题 泛函求极值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离 散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元 的代数方程组，求解该方程组，从而获得边值问题的数 值解。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.12
微分、差分、变分的区别 ∆y = f (x +∆x) − f (x) = f ′(x)∆x + O(∆x) dy = f ′(x)dx 设函数y=f(x), 则： 差分∆y是同一函数自变量的改变所引起的函数值 的改变。 微分dy是同一函数自变量的改变所引起的函数值 改变的线性主部，并忽略了相对线性主部是高阶 的无穷小量。 变分δy反映的是整个函数f(x)的改变。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
最简泛函的变分问题：
x2
No.17
设函数 y(x)稍有变化，记作 y + δy ， δ y 称之为 y(x) 的变分，它反映了整 个函数的变化量。这样泛函 J[ y]的值也应随之变动，相应于变分 δy 的泛函 增量为
a private 1998 and comprises of approximately 40 people based in a 1800 sqm facility in Brisbane Australia.
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 商用软件
2 x2 1 + y ′ dx = min J [ y ( x)] = ∫ x1 2 gy y ( x1 ) = 0 y ( x2 ) = y2
(2)
泛函的极值（max 或 min）问题就称为变分问题。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.14
J = J [ y ( x)]不仅取决于积分端点 x1 和 x 2 ，而且取决于 y = y(x)的选
取。 J 取决于 y ( x) ，所以 J 是函数 y(x)的函数，称之为 y(x)的泛函，记 作 J[ y(x)]。 于是所述之最速降线问题，在数学上就归结为研究泛函 J[y(x)]的 极值问题，即
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.6
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.7
主要特点 可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合。 从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使 微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法 的发展。
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程
No.13
在微积分学形成初期， 以数学物理问题为背景， 与多元函数的极值 问题相对应，已在几何、力学上提出了若干个求解泛函极值的问题。 如图中的质点最速降线问题所述，质点 A 从定点 (x1, y1) 自由下滑到 定点 B ( x 2 , y 2 ) ，试求使滑行时间最短的质点下滑轨道 y = y(x)。 滑行弧段 ds 所需时间为
第九讲 有限元法 第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.1
发 展 史
有限单元的思想最早由 Courant 于 1943 年提出，而有限元 法 （ Finite Element Method ， 简 称 FEM ） 这 个 名 称 由 Clough(克拉夫)于1960年在其著作中首先提出。 以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的 普遍性，已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中 的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土 壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。 1965年Winslow首次将有限元法应用于电气工程问题。 1969年Silvester将有限元推广应用于时谐电磁场问题。
(5)
= δ J + δ 2J + δ 3J +⋯ ≈ δ J
式中作为泛函增量 ∆J 的线性主部为
δJ = ∫
x2 x1
∂F ∂F ′ ∂y δ y + ∂y ′ δ y dx
(6)
δJ 称为泛函 J[ y]的一次变分（简称变分） 。
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1 + y ′ 2 dx ds sec αdx dt = = = v 2 gy 2 gy
ds
O
A(x1, y1)
dx
x
滑行总时间为
J [ y ( x)] = T [ y ( x)] = ∫ dt = ∫
0
T
x2
1 + y ′2 2 gy
B(x2, y2) y
x1
dx
（ 1）
最速降线问题
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第九讲 有限元法 9.2 有限元数学基础： 有限元数学基础：变分原理与尤拉方程 最简泛函的变分问题：
No.18
令变分问题的解为 y=y(x)，且设极值解 y=y(x)稍有变动 y+δy， 且令
δy=εຫໍສະໝຸດ Baidu(x)
式中:
（7）
(1)ε为任意给定的微量实参数， ε值就确定了 y=y(x, ε)函数族中的 某一曲线，进而确定泛函 J[y(x, ε)]; (2)η(x)是定义于区间[x1,x2]且满足η(x1)=η(x2)=0 齐次边界条件的 可微函数。
No.15
对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 x、单个函数 y ( x) 及其导数 y′( x) 的已知函数
J [ y ] = ∫ F ( x, y , y ′)dx
x1 x2
(3)
式中 F 为 x 、 y 和 y′ 的已知函数 。 ．．．． 泛函 J [ y]的自变量不是一般的自变量， 而是一个或几个函数所属的 函数族 y(x)。 在端点 x1 和 x2 上分别等于给定值的无数个 函数 y( x) 中，仅有一个 ．．．
No.16
泛函变分问题的经典解法有两种，一种称之为直接解法，另一 类是间接解法。 直接解法是直接把泛函的极值问题近似地转化为一般多元 函数的极值问题，用有限维子空间中的函数去逼近无穷维 空间中的极值函数，从而近似求得泛函的极值。 间接解法是将变分问题转化为尤拉方程（微分方程）的定 解问题，即边值问题来求解。
y(x)能使定积分 J[y]达到极小值，此函数 y ( x) 称为极值函数。
因此，变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数 y ( x) ， 即分析研究泛函的极值问题。
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 主要特点 离散化过程保持了明显的物理意义。
No.3
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。 因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计 算公式，可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前 提要素。
最 小 势 能 原 理
一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统 就会趋向于稳定平衡。
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第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.5
主要特点 优异的解题能力 与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出优 点： 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制； 不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的； 不必单独处理第二、三类边界条件； 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度 和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值 计算精度。
∆J = J[ y + δ y] − J[ y] = ∫ [F ( x, y + δ y, y′ + δ y′) − F ( x, y, y′)]dx
x1 x2
J [ y ] = ∫ F ( x, y , y ′)dx = min
x1
(4)
将(4)式由多元函数的泰勒公式展开
∆J = ∫ ∂F ∂F 1 ∂2 F ∂2F ∂2 F 2 {[ δ y + δ y′] + [ 2 (δ y ) + 2 δ yδ y′ + 2 (δ y′) 2 ] + ⋯}dx 2 ∂y ∂y′ ∂y ∂y′ ∂y∂y′
最小势能原理就是说当一个体系的 势能最小时，系统会处于稳定平衡 状态。 汤姆逊定理 : 处于介质中一 个固定的带电导体系统，其 表面上电荷的分布，应使合 成的静电场具有最小的静电 能量。
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No.4
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No.11
HFSS以其无以伦比的仿真精度和可靠性，快捷的仿真速度，方便易用的 操作界面，稳定成熟的自适应网格剖分技术使其成为高频结构设计的首 选工具和行业标准，已经广泛地应用于航空、航天、电子、半导体、计 算机、通信等多个领域，帮助工程师们高效地设计各种高频结构： 射频和微波器件设计 电真空器件设计 天线、 天线、天线罩及天线阵设计仿真 目标特性研究和RCS仿真 高速互连结构设计 光电器件仿真设计 电磁兼容分析
No.9
COMSOL Multiphysics是一款大型的高级数值仿真软件。COMSOL 公司 于1986 年在瑞典成立，目前已在全球多个国家和地区成立分公司及办事 机构。 COMSOL Multiphysics起源于MATLAB的Toolbox ，最初命名为 Toolbox 1.0。后来改名为Femlab 1.0，这个名字也一直沿用到Femlab 3.1。 从2003年3.2a版本开始，正式命名为COMSOL Multiphysics。 COMSOL Multiphysics以其独特的软件设计理念，成功地实现了任意多 物理场、直接、双向实时耦合，在全球领先的数值仿真领域里得到广泛 的应用。在全球各著名高校，COMSOL Multiphysic已经成为教授有限元 方法以及多物理场耦合分析的标准工具。
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No.8
EM Solution是求解电气机器的磁场、涡电流、电磁力的通用 的、标准的、三维有限元电磁场仿真软件，应用范围包括： 1. 机电系统和电力电子系统仿真 2. 电流传导分析 3. 低频交流和瞬态磁场分析 4. 静电场分析 EM Solutions is company founded in 5. 电机与磁性器件分析设计