基本求导公式

基本求导公式 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

这是基本求导公式，只能根据导数的定义来求。导数的定义就是给X一个增Δx，求出ΔY,然后求ΔY/Δx的极限（当Δx→0时）。函数是Y=X^nΔY=(X+Δx)^n-X^n把(X+Δx)^n展开（按n为正整数），展开式写起来很麻烦，我给你叙述一下，你应能理解。展开式中，第一项是X^n，最末项是（Δx)^n，中间的项中，X是降幂，Δx是升幂，系数是前后对称，如n=2，系数是1，2，1；n=3，系数是1，3，3，1；等等。注意，n是几，第二项的系数就是几。只需考虑展开式中的前两项。第一项是X^n，它将会与ΔY=(X+Δx)^n-X^n中的-X^n项抵消。第二项是[nX^(n-1)]*Δx,其后的项中，Δx的方次都比1大。现在来考虑比值ΔY/Δx，前边说过，第一项已消失，第二项除以Δx后为[nX^(n-1)]，其后各项除以Δx后都还剩有Δx因子。因此，当Δx→0取极限时，就只剩下[nX^(n-1)]，其后的项都成为0了。这就是你要证的求导公式。（顺便说一下，上述是以n为正整数来证明的，n为任意实数时也是成立的。）(X+Δx)^n的展开式在纸上写起来也并不太麻烦，只是在这里写起来，为避免误会，需加的括号太多，就显得麻烦了。第一项系数是1，第二项系数是n,第三项系数是[n(n-1)]/(1*2)

10～12是利用函数的商的求导法则。如(secx)'＝secx*tanx。(secx)'＝(1/cosx)'＝－(cosx)'/(cosx)^2＝sinx/(cosx)^2＝secx*tanx 13～16是利用反函数的求导法则：y＝f(x)的反函数是x＝g(y)，则dx/dy＝1/(dy/dx)。如(arcsinx)'＝1/√(1－x^2)。y＝arcsin x的反函数是x＝siny。已知dx/dy＝(siny)'＝cosy＝√(1－x^2)。所以dy/dx＝1/(dx/dy)＝1/√(1－x^2)。即(arcsinx)'＝1/√(1－x ^2)

f(x)=c,则f'(x)=0f(x)=x^n,则f'(x)=nx^n-1f(x)=sinx,则f'(x)=cosxf(x)=cosx,则f'(x)=-sinxf(x)=a^x,则f'(x)=a^xlna(a>0)f(x)=e^x,则f'(x)=e^xf(x)=logax,则f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1)

f(x)=lnx,则f'(x)=1/x

四、基本求导法则与导数公式

１.基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作

用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如

下：

基本初等函数求导公式

(1)

)

(='

C

(2)

1

)

(-

='μ

μμx

x

(3)

x

x cos

)

(sin='

(4)

x

x sin

)

(cos-

=

'

(5)

x

x2

sec

)

(tan='

(6)

x

x2

csc

)

(cot-

='

(7)

x

x

x tan

sec

)

(sec=

'

(8)

x

x

x cot

csc

)

(csc-

='

(9)(10)(e)e

x x

'=

(11)(12)

x

x

1

)

(ln='

，

(13) 211)(arcsin x x -='

(14) 211)(arccos x x --=' (15) 21(arctan )1x x '=+ (16) 21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则

设)(x u u =，)(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)(

（2） u C Cu '=')(C

（3） v u v u uv '+'=')(

（4） 反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为

dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=

上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．

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