泛函分析初步
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p p n 1 n 1 q
p
N，使得当 n N 时，恒有 xn 1
q n N N 1 n 1
x
q
n
xn , q p
p q n N p
xn xn xn
n 1 n N
lq l p lq
23
专题：强收敛与弱收敛
i 1 p
Wj
0 。
返回
1 子空间的交W1 W2 2 子空间的和Wsum 3 Wsum是直和 W1
1
Wp 是W 的子空间; Wp 是W 的子空间;
p
分解唯一, Wsum。
§2.3 距离空间
（度量空间，Metric Space）
了实值映射： 返回 • 距离空间：W≠ ，称W为距离空间，指在W中定义
a
x t dt
p
1/ p
b
a
y t dt
p
1/ p
即： x t y t p x t p y t p ，（第三条公理）
21
总结 1
• 线性空间：集合对加法、数乘封闭 • 线性子空间：子集对加法、数乘封闭；直和及定理 • 距离空间：
24
§2.4.2 Banach空间
ED
完备性
W , W , , 1 p , 完备。 • Banach空间： 完备的赋范线性空间。
•
n
,
n
, l 是Banach空间。
p
欧氏距离
x t ，则完备。 • 在 C a, b 中，取范数 x max a x b
p
x t x t
b a p
p
dt ，p方可积连续函数
p
赋范： x t
b
a
x t dt
1/ p
, 1 p ，
返回
则 Minkovski不等式为（ 1 p ）：
b
a
x t y t dt
p
1/ p
b
,
: W W R （包括0元），
（正定性） （交换性） , （三角不等式）
X, Y, Z W 满足以下三条公理： i. , 0, 且 , 0
ii. iii.
则
参见
, ,
, ,
,
称为W上的距离， W , 为度量空间。
7
三公理
例子：
• 例1：数域
§2.4.1 赋范线性空间
脉络提示：
§2.1 线性空间
§2.2 线性子空间 §2.3 距离空间
§2.4.2 Banach 空间
本节重要内容：
·两个M氏不等式
·Hö lder不等式 ·两个包含定理
14
§2.4 Banach空间
§2.5 Hilbert空间 §2.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开
§2.4.1 赋范线性空间
• 定理：在 W , 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。 总结：研究点列的轨迹，点迹收敛情况。 10
柯西序列：
• 柯西序列（Cauchy Sequence）
设 xn N
n 1
是 W , 中的点列，若对 ，对n, m N，有 xn , xm 是 W , 中的柯西序列。
0, ，
N
范数举例：
在
n
n 维实空间：
范数：广义长度
• 例1：n 维实数空间（有限维空间）
中， x1 , x2 ,
n
p
, xn
T 1/ p
n
，n 维实数空间
赋范： 特别地： p 2, p ,
2
p xi i 1
n 1 2
, 1 p
2 xi i 1
反例: W , 是度量空间，若取 若 0，有 , 0 1；但 即 , 0 , 0 ，亦即 :
。
0
即：不满足范数第(ii)条公理。W , W,
。
16
结论：度量空间不一定必然是赋范空间！它可以是。
,
1 2
称为欧氏范数；
返回
17
max xi ，i，称为无穷范数。
• 例2：离散时间序列空间 l（无穷维空间）
定义：l 赋范:
p
xn n 1
p
x
i 1
p
i
, 1 p
p xi i 1
1/ p
, 1 p ，p 方可和
/ 域上（一维实数/复数空间）
x, y
x
y
• 例2：函数空间
C a, b （连续时间函数空间）
x, y x, y
b a
x t
y t dt y t
8
max x t
• 例3：向量空间（n维实空间，也称欧氏空间）
x1
n
y1 、 yn xi yi yi
n 1 n
， xn
n i=1
即： 1
例2： 有理数集Q 中 的近似值构成的柯西列不收敛于Q。 例3： 1
n n 1
不是柯西序列。
W , 中任意收敛序列都是柯西序列； W , 中的柯西序列未必收敛到 W , 上。
12
距离空间的完备性：
• 完备度量空间——Complete Metric Space
返回 Banach 空间
W, ρ 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列
都收敛于W 。
• 欧氏空间 • 说明：
– 极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限。 – 如何完备化？
n
、l p、C a, b 都是完备的距离空间。
– 度量空间 W, ρ 不要求 W 是线性空间。
返回 完备性讨论
13
§2.4 巴拿赫（Banach）空间
• 强收敛：
在 W , 中， xn n1 收敛于x，指
lim xn x 0，即依范数收敛，称为强收敛。
n
(Convergence in Norm )
• 弱收Biblioteka Baidu：依泛函收敛，通常意义下的函数 收敛是弱收敛。
– 例如，Ch1之广义极限，就是一种弱收敛；
– 强收敛 弱收敛。
Chapter 2 泛函分析初步
• §2.1 线性空间
• §2.2 线性子空间 • §2.3 距离空间 • §2.4 Banach空间 • §2.5 Hilbert空间
PP2-5
P6 PP7-13 PP14-27 PP28-36
• §2.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 PP37-46
[1]《数学分析》（第二卷第4版），B.A.卓里奇，蒋铎等译
+ + 0 +
W + = + W , 使0 + W,使 = +
（加法封闭, +性） + = +
半群 （结合律） 群 （存在零元） =0（存在逆元） （交换律）
2
交换群
（加法交换群，称为Abel加群，俗称Abel群）
（接上页，定义未完） (2) 对 X,YW， , C（复数域），有：
• 赋范线性空间：设W≠ 是线性空间，若对 , X、YW， ，满足三条公理：
i. ii. iii. 0, 0 ， 0 （正定性） （正齐性） （三角不等式）
则称 为X 的范数（Norm）。定义了范数的线 性空间称为赋范线性空间，记为 W， 。
• Lp a, b , 1 p , 不完备, Riemann积分。
如扩展到Lebesgue积分 意义下则范数 x t p =
a ,b
参见 ,
三公理
15
赋范空间与度量空间的关系：
二者的差别只在于第 (ii)条公理。 由 W ,
，必有
,
，则 W， W , ；
0 ， , ， 1， , 0 1。 0
由 W , ，若 , 0 , 0 ，则 W , W ,
x t
b a
a
b
a p
x t dt , p 方可积
p
x t dt
1/ p
, 1 p
p , x t
sup x t , t a, b
也可取范数： x t
max x t
a t b
19
专题：M氏不等式
ⅵ.
ⅶ.
W
ⅷ.
ⅸ.
1
术语：W 是 P 上的线性空间。 数域
即对数乘封闭，具有性；
则W为线性空间；记为（W; P; +, •）。 例：, C ，W为复线性空间； , R，W为实线性空间。
3
说明：
1) 加法封闭 2) 数乘封闭
举例： C a, b 是线性空间。
（ii）span
– 三公理、多构、收敛、柯西列（基本列）及其收敛完 备、几种空间的度量
• 赋范线性空间：
– 正齐性、与度量空间互推关系、几种线性空间的范数 – Minkovski 不等式：
x y
p
x p y
p
M 氏不等式，是范数第三条公理在不同空间的具体形式。 22
专题：赋范线性空间 l 的包含定理
定理：l1 l 2 ... l （低次可和 高次可和） p p 其中：l xn n 1 xi , 1 p 。 i 1 证明： l , 有 xn ; q p, 考察 xn
1
i
W,
i
C, 有
N i i 1 i
W
（线性运算）
（i）C a, b 是 a, b 上连续函数的全体。
, , ,
1
2
n 2
，是由
n n
1
,
2
, ,
n
生成的
线性空间，其中 span
1
,
, ,
线性无关
i i 1
,
2
, ,
n i 1
,
2
,
,
n
P
4
线性算子：
• 线性算子：线性空间W上的算子 L 为线性 算子
特点：① 融泛函、拓扑、微分几何于一成；②汇概念、思想、方法于 一统；③ 应用范例、习题贴近现代。
[2]《现代应用数学手册—现代应用分析卷》，清华出版社
1
线性空间
§2.1 线性空间
线性算子
• 线性空间：非空集合W≠Ø ，若满足以下两条
(1) W 中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW，有
ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ.
则称 xn
n 1
• 例子： xn , xm xm xn
m , n
lim xm
xn
0
点列“抱团”靠近，无限靠近，靠到哪里呢？ 11 如果靠到W上，则柯西序列收敛于W。
关于柯西序列的例子：
例1： 1 1
n n n
n 1 n n 1
, W
0,1 ，
X
Y ，X , Y W
是柯西列，但 lim = W n 1 n 不收敛于W。
, , ,
max xi
i
xi
i 1
yi
2
2
（欧氏距离）
9
距离空间的收敛：
• 收敛： W , 中的点列 xn
x0是 xn lim xn
n n 1 n 1
收敛于 x0
W
的极限
xn , x0 0，当n x0 W，才叫做点列收敛。 注意：只有当 x0
p
p yi i 1
, p 1
即：
p
p
，即范数的第三条公理。
等号成立条件:
yi i 1 xi i 1
20
（ 二者线性相关，对应项成比例： ）
• 连续函数空间C[a,b]上的Minkovski不等式：
对x t C a, b L a, b
对于 p ，
sup xi ，i
注意：sup为上确界；supp为支撑。
18
• 例3：连续时间信号空间C[a, b]（无穷维空间）
x t C a, b ，若 x t dt ，1 p
b p
令：L a, b
p
则： x t
p
• 离散序列空间 l p 上的Minkovski不等式：
设：正定序列 xi , yi 0, i, p 则： ( xi yi ) i 1
1/ p p x i , i 1 1/ p p y i , i 1 1/ p
p xi i 1
N N
L
i 1
i
i i 1
i
L
i
（向
i
i
和 i 施以L 算子操作）
5
§2.2 线性子空间
V上加法、 数乘封闭
• 线性子空间：设 ≠V W，V是W的线性子 空间 , V , , C，有 V • 直和：W的线性子空间W1 , ,Wp 的和
Wi , i 1, , p 为 Wi 的直和, 当Wi 记为：W1 W2 Wp。 • 定理：
p
N，使得当 n N 时，恒有 xn 1
q n N N 1 n 1
x
q
n
xn , q p
p q n N p
xn xn xn
n 1 n N
lq l p lq
23
专题：强收敛与弱收敛
i 1 p
Wj
0 。
返回
1 子空间的交W1 W2 2 子空间的和Wsum 3 Wsum是直和 W1
1
Wp 是W 的子空间; Wp 是W 的子空间;
p
分解唯一, Wsum。
§2.3 距离空间
（度量空间，Metric Space）
了实值映射： 返回 • 距离空间：W≠ ，称W为距离空间，指在W中定义
a
x t dt
p
1/ p
b
a
y t dt
p
1/ p
即： x t y t p x t p y t p ，（第三条公理）
21
总结 1
• 线性空间：集合对加法、数乘封闭 • 线性子空间：子集对加法、数乘封闭；直和及定理 • 距离空间：
24
§2.4.2 Banach空间
ED
完备性
W , W , , 1 p , 完备。 • Banach空间： 完备的赋范线性空间。
•
n
,
n
, l 是Banach空间。
p
欧氏距离
x t ，则完备。 • 在 C a, b 中，取范数 x max a x b
p
x t x t
b a p
p
dt ，p方可积连续函数
p
赋范： x t
b
a
x t dt
1/ p
, 1 p ，
返回
则 Minkovski不等式为（ 1 p ）：
b
a
x t y t dt
p
1/ p
b
,
: W W R （包括0元），
（正定性） （交换性） , （三角不等式）
X, Y, Z W 满足以下三条公理： i. , 0, 且 , 0
ii. iii.
则
参见
, ,
, ,
,
称为W上的距离， W , 为度量空间。
7
三公理
例子：
• 例1：数域
§2.4.1 赋范线性空间
脉络提示：
§2.1 线性空间
§2.2 线性子空间 §2.3 距离空间
§2.4.2 Banach 空间
本节重要内容：
·两个M氏不等式
·Hö lder不等式 ·两个包含定理
14
§2.4 Banach空间
§2.5 Hilbert空间 §2.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开
§2.4.1 赋范线性空间
• 定理：在 W , 中，每个收敛点列有唯一的 极限点。 总结：研究点列的轨迹，点迹收敛情况。 10
柯西序列：
• 柯西序列（Cauchy Sequence）
设 xn N
n 1
是 W , 中的点列，若对 ，对n, m N，有 xn , xm 是 W , 中的柯西序列。
0, ，
N
范数举例：
在
n
n 维实空间：
范数：广义长度
• 例1：n 维实数空间（有限维空间）
中， x1 , x2 ,
n
p
, xn
T 1/ p
n
，n 维实数空间
赋范： 特别地： p 2, p ,
2
p xi i 1
n 1 2
, 1 p
2 xi i 1
反例: W , 是度量空间，若取 若 0，有 , 0 1；但 即 , 0 , 0 ，亦即 :
。
0
即：不满足范数第(ii)条公理。W , W,
。
16
结论：度量空间不一定必然是赋范空间！它可以是。
,
1 2
称为欧氏范数；
返回
17
max xi ，i，称为无穷范数。
• 例2：离散时间序列空间 l（无穷维空间）
定义：l 赋范:
p
xn n 1
p
x
i 1
p
i
, 1 p
p xi i 1
1/ p
, 1 p ，p 方可和
/ 域上（一维实数/复数空间）
x, y
x
y
• 例2：函数空间
C a, b （连续时间函数空间）
x, y x, y
b a
x t
y t dt y t
8
max x t
• 例3：向量空间（n维实空间，也称欧氏空间）
x1
n
y1 、 yn xi yi yi
n 1 n
， xn
n i=1
即： 1
例2： 有理数集Q 中 的近似值构成的柯西列不收敛于Q。 例3： 1
n n 1
不是柯西序列。
W , 中任意收敛序列都是柯西序列； W , 中的柯西序列未必收敛到 W , 上。
12
距离空间的完备性：
• 完备度量空间——Complete Metric Space
返回 Banach 空间
W, ρ 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列
都收敛于W 。
• 欧氏空间 • 说明：
– 极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限。 – 如何完备化？
n
、l p、C a, b 都是完备的距离空间。
– 度量空间 W, ρ 不要求 W 是线性空间。
返回 完备性讨论
13
§2.4 巴拿赫（Banach）空间
• 强收敛：
在 W , 中， xn n1 收敛于x，指
lim xn x 0，即依范数收敛，称为强收敛。
n
(Convergence in Norm )
• 弱收Biblioteka Baidu：依泛函收敛，通常意义下的函数 收敛是弱收敛。
– 例如，Ch1之广义极限，就是一种弱收敛；
– 强收敛 弱收敛。
Chapter 2 泛函分析初步
• §2.1 线性空间
• §2.2 线性子空间 • §2.3 距离空间 • §2.4 Banach空间 • §2.5 Hilbert空间
PP2-5
P6 PP7-13 PP14-27 PP28-36
• §2.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 PP37-46
[1]《数学分析》（第二卷第4版），B.A.卓里奇，蒋铎等译
+ + 0 +
W + = + W , 使0 + W,使 = +
（加法封闭, +性） + = +
半群 （结合律） 群 （存在零元） =0（存在逆元） （交换律）
2
交换群
（加法交换群，称为Abel加群，俗称Abel群）
（接上页，定义未完） (2) 对 X,YW， , C（复数域），有：
• 赋范线性空间：设W≠ 是线性空间，若对 , X、YW， ，满足三条公理：
i. ii. iii. 0, 0 ， 0 （正定性） （正齐性） （三角不等式）
则称 为X 的范数（Norm）。定义了范数的线 性空间称为赋范线性空间，记为 W， 。
• Lp a, b , 1 p , 不完备, Riemann积分。
如扩展到Lebesgue积分 意义下则范数 x t p =
a ,b
参见 ,
三公理
15
赋范空间与度量空间的关系：
二者的差别只在于第 (ii)条公理。 由 W ,
，必有
,
，则 W， W , ；
0 ， , ， 1， , 0 1。 0
由 W , ，若 , 0 , 0 ，则 W , W ,
x t
b a
a
b
a p
x t dt , p 方可积
p
x t dt
1/ p
, 1 p
p , x t
sup x t , t a, b
也可取范数： x t
max x t
a t b
19
专题：M氏不等式
ⅵ.
ⅶ.
W
ⅷ.
ⅸ.
1
术语：W 是 P 上的线性空间。 数域
即对数乘封闭，具有性；
则W为线性空间；记为（W; P; +, •）。 例：, C ，W为复线性空间； , R，W为实线性空间。
3
说明：
1) 加法封闭 2) 数乘封闭
举例： C a, b 是线性空间。
（ii）span
– 三公理、多构、收敛、柯西列（基本列）及其收敛完 备、几种空间的度量
• 赋范线性空间：
– 正齐性、与度量空间互推关系、几种线性空间的范数 – Minkovski 不等式：
x y
p
x p y
p
M 氏不等式，是范数第三条公理在不同空间的具体形式。 22
专题：赋范线性空间 l 的包含定理
定理：l1 l 2 ... l （低次可和 高次可和） p p 其中：l xn n 1 xi , 1 p 。 i 1 证明： l , 有 xn ; q p, 考察 xn
1
i
W,
i
C, 有
N i i 1 i
W
（线性运算）
（i）C a, b 是 a, b 上连续函数的全体。
, , ,
1
2
n 2
，是由
n n
1
,
2
, ,
n
生成的
线性空间，其中 span
1
,
, ,
线性无关
i i 1
,
2
, ,
n i 1
,
2
,
,
n
P
4
线性算子：
• 线性算子：线性空间W上的算子 L 为线性 算子
特点：① 融泛函、拓扑、微分几何于一成；②汇概念、思想、方法于 一统；③ 应用范例、习题贴近现代。
[2]《现代应用数学手册—现代应用分析卷》，清华出版社
1
线性空间
§2.1 线性空间
线性算子
• 线性空间：非空集合W≠Ø ，若满足以下两条
(1) W 中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW，有
ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ.
则称 xn
n 1
• 例子： xn , xm xm xn
m , n
lim xm
xn
0
点列“抱团”靠近，无限靠近，靠到哪里呢？ 11 如果靠到W上，则柯西序列收敛于W。
关于柯西序列的例子：
例1： 1 1
n n n
n 1 n n 1
, W
0,1 ，
X
Y ，X , Y W
是柯西列，但 lim = W n 1 n 不收敛于W。
, , ,
max xi
i
xi
i 1
yi
2
2
（欧氏距离）
9
距离空间的收敛：
• 收敛： W , 中的点列 xn
x0是 xn lim xn
n n 1 n 1
收敛于 x0
W
的极限
xn , x0 0，当n x0 W，才叫做点列收敛。 注意：只有当 x0
p
p yi i 1
, p 1
即：
p
p
，即范数的第三条公理。
等号成立条件:
yi i 1 xi i 1
20
（ 二者线性相关，对应项成比例： ）
• 连续函数空间C[a,b]上的Minkovski不等式：
对x t C a, b L a, b
对于 p ，
sup xi ，i
注意：sup为上确界；supp为支撑。
18
• 例3：连续时间信号空间C[a, b]（无穷维空间）
x t C a, b ，若 x t dt ，1 p
b p
令：L a, b
p
则： x t
p
• 离散序列空间 l p 上的Minkovski不等式：
设：正定序列 xi , yi 0, i, p 则： ( xi yi ) i 1
1/ p p x i , i 1 1/ p p y i , i 1 1/ p
p xi i 1
N N
L
i 1
i
i i 1
i
L
i
（向
i
i
和 i 施以L 算子操作）
5
§2.2 线性子空间
V上加法、 数乘封闭
• 线性子空间：设 ≠V W，V是W的线性子 空间 , V , , C，有 V • 直和：W的线性子空间W1 , ,Wp 的和
Wi , i 1, , p 为 Wi 的直和, 当Wi 记为：W1 W2 Wp。 • 定理：