数值分析作业答案

第2章 插值法

1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底

设多项式为:2

210)(x a x a a x P ++=，

所以：64

211111

1111122

2

211

200

-=-==x x x x x x A 所以f(x)的二次插值多项式为：

2

6

52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底

Lagrange 插值多项式为：

所以f(x)的二次插值多项式为：226

52337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：

Newton 所以f(x)的二次插值多项式为：2

2

6

52337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

6、在44≤≤-x 上给出x

e x

f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似

值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中.,11h x x h x x i i +=-=+- 令

634103

9-≤h e 得00658.0≤h

插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长

8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：

所以有：1!

7!

7!7)(]2,,2,2[)7(7

1

===

ξf f 15、证明两点三次Hermite 插值余项是

并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设 确定函数k(x):

当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；

当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数 显然有

在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得 在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈，

),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得

再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得 而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到 推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x

综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f x R ξ 确定误差限：

记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。

n

a

b h n k kh a x k -==+=),,1,0(, 在区间[x k ，x k+1]上有

而最值)(,16

1)1(max )()(max 4

4221

02121

sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +==

-=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：)(max 3841)()()4(4

x f h x I x f b

x a h ≤≤≤

- 16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，

0)1()1(='=p p ，1)2(=p 。

解：满足0)0()0(33='=H H ,1)1()1(33='=H H 的Hermite 插值多项式为)1,0(10==x x

设223)1()()(-+=x Ax x H x P ，令1)2(=P 得4

1

=A 于是

第3章 曲线拟合的最小二乘法

解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。故做线性模型{

}t span bt a s ,1,=Φ+=，计算离散内积有：

()61

1,15

2

==∑=j ，()7.140.59.30.39.19.00,15

=+++++==∑=j j t t

求解方程组得：

855048.7-=a ，253761.22=b

运动方程为：t s 253761

.22855048.7+-= 平方误差：[]

22

5

2

101.2)(⨯≈-=

∑=j j j

t s s

δ

用最小二乘法求形如2

bx a y +=的经验公式，并计算均方差。

解： {}

2

,1x span =Φ，计算离散内积有：

()51

1,14

2

==∑=j ，()

53274438312519,12

22224

22

=++++==∑=j j

x x 求解方程组得：

972579.0≈a ，05035.0=b

所求公式为：205035.0972579.0x y

+=