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常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. $ y' + p(x)y = q(x) $B. $ y' = p(x)y + q(x) $C. $ y' - p(x)y = q(x) $D. $ y' + p(x)y = q(x) $ 或 $ y' - p(x)y = q(x) $答案：A4. 已知微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的一个特解是 $ y = e^x $，那么它的通解是：A. $ y = C_1e^x + C_2e^{-x} $B. $ y = C_1e^x + C_2 $C. $ y = C_1e^x + C_2e^x $D. $ y = C_1 + C_2e^{-x} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 $ y'' + y' + y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

2. 微分方程 $ y'' - 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

3. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

《常微分方程》答案_习题4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习题 6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

常微分方程课后习题答案.doc

习题2.1 1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2ydy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dxdy =yx xy y321++解：原方程为：dx dy =yy 21+31xx +yy 21+dy=31xx +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：yy -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy =-yx y x +-令xy =u 则dx dy =u+x dxdu 代入有：-112++uu du=x1dxln(u 2+1)x=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy .6. xdxdy -y+22y x -=0解：原方程为：dx dy =xy +x x ||-2)(1xy -则令xy =u dxdy =u+ xdxdu211u- du=sgnx x1dxarcsinxy =sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy =ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=xc cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dxdy +yexy 32+=0解：原方程为：dxdy =yey2e x 32 ex3-3e2y-=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =xy lnx y令xy =u ,则dxdy =u+ xdxduu+ xdxdu =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy.10.dxdy =e y x -解：原方程为：dxdy =e x e y -e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=u 2211u+du=dxarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dxdy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14: dxdy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dxdy=41dxdu -4141dx du -41=u 2+3dxdu =4 u 2+13u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dxdy =2222x -2 y x 2y+证明：令xy=u,则x dxdy +y=dxdu则dxdy =x 1dxdu -2xu ，有：u x dxdu =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

(整理)《常微分方程》试题.

常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为xC y e ln = （6分）12．解令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分）分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。

（完整版）常微分方程试题库.

1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））．（A ）上半平面）上半平面（（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面（（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解．（A ）一）一（B ）无数）无数（C ）两）两（D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有三个）有三个（（B ）无）无（（C ）有一个）有一个（（D ）有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维（（B ）1+n 维（（C ）1-n 维（（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））．（（A ）有无数个解）有无数个解（（B ）只有三个解）只有三个解（（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分（（B ）充分必要）充分必要（（C ）必要）必要（（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））．（（A ）构成一个2维线性空间维线性空间（（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间（（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））．（（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件．（A ）必要）必要（（B ）必要非充分）必要非充分（（C ）充分必要）充分必要（（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解．（A ）有一个）有一个（（B ）有两个）有两个（（C ）无）无（（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到２，２，所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出可解出 41=A ．故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)

一、是非题第十二章常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。

()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。

()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。

()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。

()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。

6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。

()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。

()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。

( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。

()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是。

② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是。

③ x dy = y ⋅ l n y 是。

dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。

⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。

2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。

3. y ' = e -2x 的通解是。

4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。

5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。

6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。

51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。

数学系常微分方程期末试卷及答案

数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。

2.求通过点(0,1)的特解。

3.求满足初值条件y(0)=2的特解。

解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。

设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。

对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。

由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。

将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。

将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。

常微分期末考试试题和答案a#

《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。

6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程选择题及答案.docx

湖北师范学院优质课程《常微分方程》试题库及试题解答课程负责人：李必文数学系2005 年 3 月 18 日选择题（每小题 4 分）1、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x2 - 2x10(B)y'xy2(C)u2u2u(D)y x2 c (c为常数）t x2y22、下列微分方程是线性的是（）(A)y 'x2y2(B)y" y2e x(C)y"x20(D)y'- y xy 23、方程y "3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为 ()(A)y1ax2ey-2 x(B)y1(ax2bx c)e-2 x(C)y1x2 ( ax2bx c)e-2 x(D)y1x2 (ax2bx c)e-2x4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4, x(B)x,2 x, x2(C)5,cos 2 x,sin 2 x(D)1,2, x, x25、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是()(A)x y(c - e y )(B)x y(e y c)(C)y x(e x c)(D) y x(c - e y )6、下列方程中为常微分方程的是（）(A)t2 dt xdx 0(B)sin x1(C) y x 1 c (c为常数）2u2u0(D)2y2x7、下列微分方程是线性的是（）(A)y' 1y2(B)dy1(C) y '2by cx(D)dx 1 xyy ' xy408、方程y "- 2 y ' 2y(A)y1e x[( Ax(C)y1e x[( Ax(D)y1xe x[( Axe x (x cos x2sin x) 特解的形状为()B)cos x C sin x](B)y1e x [ Ax cos x C sin x] B) cosx( Cx D ) sin x]B) cos x(Cx D ) sin x]9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 1, x, x 3(B)2x 2 , x, x 2(C)1,sin 2 x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos 2 (x1)10、微分方程 ydx - xdyy 2exdx 的通解是 ()(A)y x(e x c)(B)x y( e xc)(C)x y(c - e x )(D) y( x - ) x e c11、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 2y 2 -1(B)y 'x 2y(C)2u 2u 2u(D)xy 2 c (c 为常数）2x 2y 212、下列微分方程是线性的是（）y 2y =y 3+sin xy +y =y 2cos x(A)(B)+6 y =1(C)(D)13、方程 y+y =2sin x 特解的形状为 ()(A) y 1 x( A cos x B sin x)(B)(C)(D)14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 0,1,t(B)e t ， 2e t ,e -t(C) (D)15、微分方程 ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是 ( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x )(C)x=y(c-e x )(D)y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x 2+y 2-z 2=0(B) yce x(C) u u(D)y=c 1 cost+c 2sint (c 1,c 2 为常数）tx17、下列微分方程是线性的是（）3x + y 2y +(1/3) y4 (A)x (t ) -x=f(t)(B)y +y=cos x(C)= y(D)=y18 、方程 yy-xx 特解的形状为( )-2 y +3 =e cos(A) y 1 Acosx B sin x(B)y 1 Ae x(C) y 1e x ( Acos x B sin x)(D)y 1Axe x cosx19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)e t ,e 2t ,e 3t(B)0,t ,t 2(C) 1 sin 2 (t1),cos( 2 2)(D) 4-t,2t-3,6t+8，t20、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是 ( )(A) x=y(ey+ c) (B) x=y(c-ey)(C) y=x(ex+c)(D)y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x 3+1=0(B) y ce x(C)u u (D)t xy 2y'e x22、下列微分方程是线性的是（）(A) y +y 2=1+x(B)y' 2 +y=cosx(C)y - 2y=2x 2(D)xdx+ydy=023、方程 yy9 y16e 3x6 '特解的形状为 ( )(A) y 1 Ae 3x(B) y 1 Ax 2 e 3x(C)y 1Axe 3x(D)y 1e 3x ( A sin 3x B cos3x)24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) xx2e x(B)22(C)1,2, x 2(D)0,e 5x4 x 2e , xe , x2,cosx, cos xx, e x25、微分方程 ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是 ()(A) y=x(c-2e x )(B)x=y(c+2e x )(C)x=y(c-2ex)(D)y=x(c+2e x )26、微分方程dyytg y的通解为（）1 dxxxy=x +cy=c xx=c x(A)cx(B) sin(C) sin(D) sinyxxysinx27、微分方程 2y y =(y ) 2的通解（）(A) ( x-c ) 2(B)c 1222(C)122(D) c12 ) 2( x -1) +c ( x +1)c +( x -c )( x -c28、微分方程 xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）(A) y=x(ex+c)(B)x=y(e y +c)(C) y=x(c-e x )(D)x=y(c-e y )29、微分方程 y -2 y-3 y =0 的通解 y为（）(A)c 1 c 2 x 3(B)c 1 xc 2 (C)c 1e xc 2 e 3x(D)c 1e x c 2 e 3 xxx 330、微分方程 y ''-3y '+2 y =2x -2 e x 的特解 y *的形式是（）(A) (ax+b)e x(B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x(D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dy x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是()dx(A) e yx1e yx 1 0(C) e yx 1(B)(D)2 yx 22x32、设 y(x) 满足微分方程 ( cos 2x)y 1 +y=tgx 且当 x=/4 时 y=0，则当 x =0 时 y =()(A) /4 (B) -/4 (C) -1 (D) 133 、已知 y=y(x) 的图形上点 M(0,1) 处的切线斜率 k=0 ，且 y(x) 满足微分方程y1 ( y') 2，则 y(x)= ( )(A) sin x(B) cosx(C)34、微分方程y -2 y -3 y =0 的通解是 y =( )shx(D)chx(A) x 3x3(B) c 1 xc 2 (C) c 1 e xc 2 e 3 x(D)c 1 exc 2 e3xx 335、设 y 1 ( x), y 2 ( x), y 3 ( x) 是线性非齐次方程 d 2 ya(x)dyb( x) yf ( x) 的特解，dx 2 dx则 y (1 c 1c 2 ) y 1 ( x) c 1 y 2 (x) c 2 y 3 ( x)(A) 是所给微分方程的通解 (B)不是所给微分方程的通解(C) 是所给微分方程的特解(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解36、设 y(x) 满足y sinx=yLny ，且 y ( /2)= e ，则 y ( /4)=（）(A) e /2(B)e -1(C)e 21(D)e 2337、微分方程 ynytgxy 2 cos x0 的通解是（）(A)arctgx c(B)1 ( arctgx c)(C)1arctgx c(D)1xxarctgxcx38、微分方程 ( 1+y 2)dx=(arctgy-x)dy的通解为（）(A)x arctgy 1ce arctgy (B) x arctgy 1 ce arctgy (C) xarctgy ce arctgyc(D)xarctgyce arctgyc39、微分方程 y4 y 21 cos2 x 的通解为 y=（）(A) e xc x 2c x c 3(B) c x 2 c x c31212(C) c 1e xc 2 x c 3(D)c 1 x 3 c 2 x 2 c 340、微分方程 y7 y6ysin x 的通解是 y =（）(A) e x 745sin x747cosx(B)c 1e x c 2 sin x c 3e xc 4 cos x (C)( cc x)e x(c c x)ex(D)(cc x) sin x (cc x) cosx41、通过坐标原点且与微分方程dy x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是( )dx(A)e yx 1(B)e yx 1 0(C)e yx 1 (D)2 yx 2 2x42、设 y(x) 满足微分方程 xy 1 +y-y 2Lnx=0 且当 y(1)=1, 则 y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43 、已知 yy(x) 满足 ( x 22xyy 2 )dx( y 22xy x 2 )dy0 ，且 y(1)1 则y12 ( )2(A)1(B) 1/2(C)2(D) 122244、微分方程 y2xy' 满足初始条件 y 01 , y' 0 3 的特解是 y=()x 2 1x x(A)x 3x 3(B)x 3 3x 1(C)x 2 x 3(D)x 23x145、微分方程 y6y' 13y 0 的通解是 y=( )(A) e 3 x ( c 1 cos2x c 2 sin 2 x) (B) e 2x (c 1 cos3x c 2 sin 3x) (C)e 3x (c 1 cos2x c 2 sin 2x)(D)e 2 x (c 1 cos3x c 2 sin 3x)46、微分方程 y'2 yc0 满足 y0 的特解 y =（）xx2(A)4 x 2x 24x 2(ln xln 2) 1(ln x ln 2)x24(B)4 x2(C)(D) x 247、微分方程 y' ytgxy 2 cosx0 的通解是（）(A)1 ( x c)cos x(B)y ( xc)cos xy1 x cos xc(D)yx cosx c(C)y48、微分方程 ( y 2-6x ) y+2y=0 的通解为（）(A) 2x-y2+cy 3=0(B) 2y-x3+cx 3=0 (C) 2x-cy2+y 3=0 (D) 2y-cx3+x 3=049、微分方程 y 4 y21cos2 x 的特解的形式是 y=（）bcos2 x50、满足微分方程 y7 y 6y(A) e x 745 sin x 747cosx (C) e 6x745sin x747cos x(B)axcos2x(D)axsin2 x bx cos2xsin x 的一个特解y* =（）(B)e x 745sin x 747cos x(D)exe 6x745 sin x 747 cosx51、初值问题 y" 4y 0, y(0) 0, y'(0) 1 的解是 y(x) （）（其中其通解为y(x)c 1 sin 2xc 2 cos2 x, c 1, c 2 为任意常数）(A)1sin 2 x(B)1sin 2x(C)1sin3 x（D ）1sin3 x323252、下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 43x 2x 1 0(B) y" y ' x 2 (C)u 2u2u(D)u v 2wtx 2 y 253、下列微分方程是线性的是（）(A) y"xy ' y x 2(B) y 'x 2 y 2 (C)y " xy 2f (x) (D)y " y 'y 354、已知 F ( x, y) 具有一阶连续偏导，且 F (x, y)( ydxxdy) 为某一函数的全微分，则（）(A)FF(B)F yF (C)x F y F y F Fxy xyx (D) x xxy y55、设 y ( x), y 2(x), y (x) 是二阶线性非齐次微分方程y" P(x) y' Q ( x) yf ( x) 的三个线13性无关解，c 1 ,c 2 是任意常数，则微分方程的解为 ( )(A) c 1 y 1 c 2 y 2 y 3(B)c 1 y 1 c 2 y 2 (1 c 1 c 2 ) y 3(C) c 1 y 1 c 2 y 2(c 1 c 2 ) y 3(D)tc 1 y 1 c 2 y 2(1 c 1 c 2 ) y 3f (x) 满足关系式 f (x)2 x dtln 2 ，则 f ( x) 为（56、若连续函数 f2）(A) e xln 2(B)e 2x ln 2 (C)e x ln 2(D) e 2 xln 257、若 y 1e 3 x , y 2 xe 3 x ，则它们所满足的微分方程为（）(A) y" 6 y' 9 y 0 (B) y" 9 y 0(C)y" 9 y 0 (D)y" 6 y' 9y 058 、设 y 1 , y 2 , y 3 是二阶线性微分方程 y" p(x) y ' q(x) yr ( x) 的三个不同的特解，且y 1 y 2 不是常数，则该方程的通解为（）y 2 y 3(A) c 1 y 1 c 2 y 2 y 3(B)c 1 ( y 1 y 2 ) c 2 ( y 2 y 3) y 1(A) a cos2x(C) asin2 x(C)c1 y1c2 y3 y2(D)c1 ( y1y2 )c2 ( y2y3 )59、设f ( x)连续，且满足方程1f tx dt nf ( x)( n N ) ，则 f (x)为（）01 n(A)cx n(B)c(c 为常数）(C) c sin nx(D)ccosnx60、设y1, y2是方程y" p( x) y 'q( x) y0 的两个特解，则y c1 y1 c2 y2（ c1,c2为任意常数）（）(A) 是此方程的通解(B) 是此方程的特解(C) 不一定是该方程的解(D) 是该方程的解61、方程( x22x) y" ( x22) y '(2 x2) y0 的通解为（）(A)y c1e x c2(B)y c1e x c2e x(C) y c1e x c2x2(D)y c1e x c2 x62、微分方程y" y 'e x1的一个特解形式为（）(A)ae x b(B)axe x bx(C)ae x bx(D)axe x b63、方程( pxy y2) dx (qxy2x2 )dy0 是全微分的充要条件是（）(A)p 4, q2(B)p4, q2(C)p4, q2(D)p4, q264、表达式[cos(x y2) ay]dx[bycos(x y2)3x]dy 是某函数的全微分，则（）(A)a 2,b2(B)a3,b2(C)a2,b3(D)a3,b365、方程y"'y "y 'y xe x是特解形式为（）(A)(ax b)e x(B)x(ax b)e x(C) x2(ax b)e x(D)e x[( ax b)cos 2x ( cx d )sin 2x]66、方程y" 2 y'y xe x的特解 y*的形式为（）(A)axe x(B)(ax b)e x(C)x(ax b)e x(D)x2 (ax b)e x67、已知y1coswx 与 y23cos wx 是微分方程y"w2 y0 的解，则 y c1 y1c2 y2是（）(A)方程的通解(B)方程的解，但不为通解(C)方程的特解(D)不一定是方程的解68、方程y"3y ' 2 y3x2e x的特解 y*的形式为（）(A)( ax b)e x(B)(ax b) xe x(C)( ax b)ce x(D)(ax b)cxe x69、方程y"3y ' 2 y x2e 2 x(A)y ax2 e 2x(C) y x(ax2bx c)e 2 x 特解的形式为（）(B)y( ax2bx c)e 2 x(D)y x2 (ax2bx c)e 2x70、下列函数在定义域内线性无关的是（）(A)4x(B)x 2x x2(C)5cos2 x sin 2 x(D) 1 2x x271、微分方程xdy ydx y2e y dy 的通解是（）(A)x y(c e y )(B)x y(e y c)(C)y x(e x c)(D)y x(c e y )72、方程dxx y 5,dy3）dt dt x 的奇点为（(A) （ 0,0）(B) (0,5)(C) (5,5)(D)(5,0)73、（ 0,0 ）为系统dxy,dy2x 3y 的（）dt dt(A)鞍点(B)结点(C)中心(D)焦点74、方程dxdydz的首次积分是（）xz yz xy(A)xy z2c(B)x2c(C)x2yz c (D)xz x2cy75、方程x2dxz2dydz的首次积分是（）y2 2 xy2xz(A)x y zc(B)x2y2z2c (C)y(D)zc x2ycxxdx2x ydt76、系统的奇点类型为（）dyx2ydt(A)稳定结点(B)不稳定结点(C)稳定焦点(D)不稳定焦点dx3x y77、系统dt4的奇点类型为（）dy4y7 xdt(A)鞍点(B)焦点(C)中心(D)结点78、方程y"y xe x有形如（）特解(A) y Axe x(B)y1( Ax2Bx c)e x(C)y1(Ax B)e x(D)Ae x79、方程x"6x '13x e t (t25t 12) 特解形状为（）(A) x 1 ( At 2 Bt c)e t(B)x 1 ( At B) e t （ C) x 1 Ate t(D)x 1 Ae t80、方程 y"2 y' 2y (A) y 1A cosxe x(C) y 1 e x( Acos xe x cos x 的特解形状为（）(B)y 1 Asin xe xB sin x)(D)y 1 Ae x81、方程 x"2x ' 2x te t cost 的特解形状为（）(A) x 1 ( At 2Btc)e t cost(B)x 1 (At 2 Bt c)e t sin t(C)x 1 e t ( Acost B sin t )(D) x 1( At 2 Bt c)e t cost (Dt 2Et F )e t sin t82、微分方程 ( ye xe y )dx (xe ye x )dy 0 的通解为（）(A) ye xxe y c (B)ye y xe xc (C)ye x xe yc (D)ye xxe yc83、微分方程 (e x sin y 2 y sin x)dx(e x cos y 2cos x)dy0 的通解为（ (A) e x sin y 2 y cos x c (B) e x co s y 2 ycos x c (C) e x sin yycos x c(D)e x cos y2y cos x c84、微分方程 e y dxx(2 xy e y )dy 0 的通解为（）(A) xeyy2c(B)e y y2c (C)xe yxy c(D)eyx85、方程 (e x3y 2 ) dx 2xydy 0的通解为（）(A) xe x x 3 y 2 c(B)( x 22x)e x x 3 y 2 c (C) (x 22x 2)e xx 3 y 2c(D) ( x 22) e xx 3 y 2 c）y cx86、下列方程为常微分方程的是（）(A) x 2y 2z 2 0 (B)u u 2u(C) y Asin tB sin t (D) y ' Ae xx yy 287、方程 (2 xy 4e y2xy 3 y)dx ( x 2 y 4e yx 2 y 2 3x) dy 0 的积分因子为（）(A) ( x)1(B)(x) 1 (C)1 (D)1 x 2x( y)( y)y 4y 2 88、方程 e y x(2 xy e y )dy0 的积分因子为（）(A) ( x)1(B) 1 (C) 1 (D)1x 2( x)( y) ( y)xy 2y89、方程 (e x3y 2 ) dx2xydy 0 的积分因子为（）(A)( x)1(B)( x)x2(C)( y)1(D)( y)y2x y90、方程( y 1 xy)dx xdy0 的积分因子为（）(A)( x)e x(B)( x) e x(C)( y)e y(D)( y) e y91、方程(2 x2y 2 y5) dx (2 x32x)dy0 的积分因子为（(A)( x)1(B)( x)1(C)( y)1 x1x2y92、方程2 xy3dx ( x2y21)dy 0的积分因子为（）(A)( x)1(B)(x)1(C)( y)1 x x2y93、方程e x dx(e x ctgx 2 ycos y)dy0 的积分因子为（）(A)( x) sin x(B)(x)cos x(C)( y)sin y94、方程ydx(x2y2x)dy 0 的积分因子为（）(A)( x)1(B)( y)1 x2y2(D) ( x, y)1yx）1 (D)( y)1y21 (D)( y)y2 (D)( y) cos y (C)( x, y)12y2x95、方程y3dx2( x2xy2 )dy 0的积分因子为（）1(B)11(D)1(A)(C)x2 y2 2 y x2xy x96、方程6x3 3 y0 的积分因子为（）3x dx dyy y x(A)x(B)y(C)xy(D)x2 y97、下列方程中为常微分方程的是（）(A)x2 - 2x10(B)y'xy 2(C)u2u2u(D)y2c (c为常数）t x2y2x98、下列微分方程是线性的是（）(A)y 'x2y2(B)y" y2e x(C) y"x20(D)y '- y xy2选择题答案1B2C3C4A5A 6A7B8D9A10B 10B12A13A14C15D 16B17A18C19A20B 21D22C23B24A25A 26C27D28D29D30D 31A32C33D34D35D 36C37B38A39C40C 41A42B43D44B45A 46A47C48A49D50B 51B52B53A54B55B 56B57D58B59A60D 61C62D63C64B65B 66D67B68D69C70C 71B72B73B74A75B 76C77D78C79A80C 81D82C83A84B85C 86D87C88A89B90B 91B92D93C94C95D 96C97B98C。

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。

1.方程 x 3 d2x 10 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ，能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设常系数方程 yy*2 xxx，则此方程的系数ye x 的一个特解 y ( x) eexe，， .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t ).8. 方程组 x '2 0．0 x 的基解矩阵为59. 可用变换将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2．求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。

3. 求解方程 x2( )dt dt4．用比较系数法解方程 . .5．求方程y y sin x 的通解.6．考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程，并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ，求dXA X7．设 A，，试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇怪的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解，试用逐渐迫近法证明：在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解，那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。

常微分方程课后习题答案.doc

习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dyx y解：令p dxdy =，则422p x xp y +=，两边对x 求导，得dxdp px xpdxdp xp p 3244222+++=()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dx dpxxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21py px -=-=；从02=+p dxdp x得 222,c pc y pc x +==，0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c p c y p c x ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy =，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp p p 21+=pp dxdp 21-=，解之得 ()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、21⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx dy dxdy xy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c, 得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c, 得到奇解 042=+y y . 5、022=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy xdx dy 解：令p dxdy =，则22p xp y +=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp xp p 222++=22--=x pdpdx ，解之得 232-+-=cpp x ，所以 1231-+-=cpp y ，可知此方程没有奇解. 6、0123=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方21⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy dxdy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21ccx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy =，则()21p p x y =+=，两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ，所以 ()212+-+=-p e p c y p ，可知此方程没有奇解. 8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()xa x dx dy 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xa x dxdy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232axx y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解. 9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dyx y解：令p dxdy =，则3312p p x y -+=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp p 22-+=212pp dxdp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123，且 322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dydx dyx y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c, 得方程的奇解()0412=++y x .（二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222xxxy -=+-=，经检验得，42xy -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c解：对c 求导，得 yxc x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--yxy yx，即044=+y x ，经检验得044=+y x 是原方程的包络. 3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2y x c +=,代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络.4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-，它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y x X '-=，y x y Y '-=，按条件有 a y x y y y x ='-+'-，化简得y y a y x y '-'-'=1，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线cac cx y --=1，它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x c ac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.11. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有()()≠t y t x 常数或()()t x t y 常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。

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第十二章常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数 y 3sin x4 cos x 是微分方程 yy 0 的解。

( O )4．函数 yx 2 e x 是微分方程 y2 yy 0 的解。

( X)5 ．微分方程 xyln x0 的通解是y1 ln x2 C ( C 为任意常数 ) 。

2( O )6． y sin y 是一阶线性微分方程。

( X )7． y x 3 y 3 xy 不是一阶线性微分方程。

( O )8． y 2y5y0 的特征方程为 r 22r 50 。

( O )9．dy1 xy 2xy 2 是可分离变量的微分方程。

( O)dx二、填空题1．在横线上填上方程的名称① y 3 ln xdx xdy0 是可分离变量微分方程。

② xy 2 x dxy x 2 y dy0 是可分离变量微分方程。

③ x dyy ln y是齐次方程。

dxx④ xy y x 2 sin x 是一阶线性微分方程。

⑤ y y2y0 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2． y sin xyxcos x 的通解中应含3个独立常数。

3． ye 2 x 的通解是 1e 2x C 1 x C 2 。

4 14． ysin 2x cos x 的通解是cos x C 1 x C 2 。

sin 2x4 5． xy 2x 2 y 2 x 3 yx 4 1是 3阶微分方程。

6．微分方程 y y y 60 是2阶微分方程。

7．y 1所满足的微分方程是 y y 20 。

x8．y 2y的通解为 y Cx 2。

x9．dxdy0 的通解为 x 2y2 C 。

y x10．dy2 y5y C x 1 2。

x 1 2，其对应的齐次方程的通解为dx x1x211．方程xy1x 2y0 的通解为y Cxe 2。

12．3 阶微分方程y x3的通解为 y1x 6C1 x C 2 x C 3。

120三、选择题1．微分方程xyy x y3y 4 y0 的阶数是( D )。

A．3 B ．4 C ．5 D ． 22 ．微分方程y x 2 y x5 1 的通解中应含的独立常数的个数为( A ) 。

A．3 B ．5 C ．4 D ． 23．下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0 的解( B )。

A．y 2x B ．y x2 C ．y2x D．yx24．微分方程y3y 3的一个特解是( B)。

A．y x3 1 B． y x 2 3 C ．y x C 2 D ．y C 1 x3 5．函数 y cos x 是下列哪个微分方程的解 ( C ) 。

A．y y0 B ．y 2y0 C ．y n y 0 D． y y cos x6．y C1e x C 2 e x是方程 y y0 的( A )，其中 C1， C 2为任意常数。

A．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对7．y y 满足 y |x 0 2 的特解是( B ) 。

A．y e x 1 B． y 2e xxD ．y 3 e x C ．y 2 e28．微分方程y y sin x 的一个特解具有形式( C )。

A．y* a sin x B． y * a cos xC．y*x a sin x bcos x D． y* a cos x b sin x9．下列微分方程中， ( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。

A ． y 2 y 0B． y xy 3 y 2C ． 5y 4x 0D ． y 2y 1 010．微分方程 yy0 满足初始条件 y 0 1的特解为 ( A )。

A ． e xB ． e x1 C ． e x1 D ．2 e x11．在下列函数中，能够是微分方程yy0 的解的函数是 ( C )。

A ． y1 B ． yx C ． ysin xD ． ye x12 ．过点 1,3 且切线斜率为 2x 的曲线方程 yy x 应满足的关系是( C ) 。

A ． y2x B ． y 2x C ．y 2x ，y 1 3 D ． y 2x ， y 1 313．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。

A ．dyy eB ． dy k xa by ( k , a , b 是常数 )dxxdxC ．dysin yxD． y xyy 2 e xdx14．方程 y 2y 0 的通解是 ( C )。

A ． y sin xB ． y 4 e 2 xC ． yCe 2 x D ． ye x15．微分方程dxdy 0 满足 y |x 3 4 的特解是 ( A )。

yxA ． 2225．． 2 2D ．227xyB 3x 4yC C x yCxy16．微分方程 dy1 y0 的通解是 y ( B)。

A ．CdxxC ．1B ． CxCD ． x Cxx17．微分方程 yy0 的解为 ( B ) 。

A ． e xB ． e xC ． e x e xD ． e x18．下列函数中，为微分方程xdx ydy0的通解是 ( B ) 。

A ． x y CB ． x 2 y 2CC ． Cx y 0D ． Cx 2y 019．微分方程2 ydy dx0的通解为 ( A )。

A．y2x C B ．y x C C ．y x C D ．y x C 20．微分方程cos ydy sin xdx 的通解是( D )。

A．sin x cos y C B． cos y sin x CC．cos x sin y C D． cos x sin y C21．y e x的通解为y( C )。

A．e x B ．e x C ．e x C1 x C2 D ．e x C1 x C222．按照微分方程通解定义，y sin x 的通解是( A)。

A．sin x C1 x C 2B． sin x C1 C 2C．sin x C1 x C 2D． sin x C1C2四、解答题1．验证函数y C e 3 x e 2 x( C为任意常数)是方程dye 2 x3y 的通解，dx并求出满足初始条件 y |x0 的特解。

2．求微分方程x y 2 1 dx y 1x2dy 0 的通解和特解。

y |x01解： 1 y2 C ， 2x2y 211 x2 3．求微分方程dyy tany的通解。

ydx x x Cx 。

解： sinxy x y4．求微分方程y x 的特解。

y |x 12解： y 22x 2 ln x 2 。

5．求微分方程y y cos x e sin x的通解。

解： y e sin x x C6．求微分方程dyy sin x 的通解。

1dx xx cos x C解： y sin xx77．求微分方程x 1 y 2 y x 1 20的特解。

y |x 0 1解： y23x 1 231x 1 2 38．求微分方程y2y x满足初始条件 x0 ，y1， y 3 的特解。

x21解： y x 33x 19．求微分方程y 2 yy 满足初始条件x0 ，y1， y 2 的特解。

解： arctan y x或 y tan x4410 ．验证二元方程x2xy y 2 C 所确定的函数为微分方程x 2 y y2x y 的解。

11．求微分方程e x y e x dx e x y e y dy0 的通解。

解： e x 1 e y1C12．求dyy tan x secx ， y |x 00 的特解。

dx解： yx cos x13．验证y1cos x ， y2sin x 都是 y2 y 0 的解，并写出该方程的通解。

14．求微分方程y2y x2的通解。

x解： y Cx 2x 2 ln x15．求微分方程y 1 y e x0 满足初始条件 y 10 的特解。

x解： y e xex x16．求微分方程dyx 2y x 1 3的通解。

dx1解： y x 1 2x 1 2C217．求微分方程x dx y dy 0 满足条件 y 01的特解。

1y1x解： 2 y3x3 3 y 2x2518．求微分方程y y 2 y0的通解。

解： y C1e x C2 e 2 x19．求微分方程y 2 y 5 y0的通解。

解： y e x C1 cos 2x C 2 sin 2x20．求微分方程y 4 y 4 y0的通解。

解： y C1 C 2 x e 2 x21．试求y x 的经过点M 0,1且在此点与直线 y x1相切的积分曲线。

112解： y x 3x162(B)一、是非题1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。

( X )2．若y1x，y2x都是 y P x y Q x的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关，则通解可表为 y x y1x C y1x y2x 。

( O)3．函数y e 1x e 2x是微分方程 y12y 1 2 y 0 的解。

(O ) 4．曲线在点x, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是 y x 2 C ( C是任意常数)。

( X )5 ．微分方程y e2 x y，满足初始条件y |x00 的特解为 e y 1e2 x1。

2(X )二、填空题1．y1cos x 与 y2 sin x 是方程 y y0 的两个解，则该方程的通解为y C1 cos x C 2 sin x 。

2．微分方程y 2 y3y0的通解为 y C1e x C 2 e3 x。

3．微分方程y 2 y y0 的通解为 y C1 C 2 x e x。

4．微分方程y e2 x的通解是 y 1 e2 x C1 x2 C 2 x C3。

85．微分方程y y' 的通解是 y C1e x C 2。

6．微分方程dy2xy 的通解是y C e x 2。

dx三、选择题1．微分方程y 4 y 4 y0的两个线性无关解是 (C)。

A．e2x与2 e2x B ．e2 x与x e2 x C ．e2 x与x e2x D ．e2 x与4 e2x2 ．下列方程中，不是全微分方程的为 ( C )。

A．3x26xy 2 dx6x 2 y4y 2 dy0 B ．e y dx x e y 2 y dy 0C．y x 2 y dx x 2dy0D．x 2y dx xdy03．下列函数中，哪个函数是微分方程s t g 的解(C)。

A． s gt B ．s gt 2 C ．s 1 gt2 D ．s 1 gt222 4．下列函数中，是微分方程y7 y12 y 0的解 (C)。

A．y x3 B ．y x2 C ．y e3 x D ．y e2 x5．方程1x2y xy0 的通解是( D )。

A．C1x2B ．CC．13 D ．1x2Cx y Cxe2y yx2y x126．微分方程y ln xdx x ln ydy 满足 y |x1 1 的特解是( A)。