数值积分法

目录
1 基本问题 2 时域积分法的构造 3 Newmark法 4 方法特点比较
1.数值算法中的基本问题
车辆运动方程
mu&&(t) cu&(t) ku(t) p(t) [M ]u&&(t) [C]u&(t) [K ]u(t) [ p(t)]
时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）平均常加速度法； （4）线性加速度法； （5）Newmark－β法； （6）Wilson－θ法 •••••••• 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究 的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
收敛性
当Δt→0时，数值解是否 收敛于精确解
计算精度
截断误差与时间步长Δt的 关系，若误差ε∝ O(Δtn)，
则称方法具有n阶精度
稳定性
随时间步数i的增大，数 值解是否变得无穷大
计算效率 所花费的计算时间
根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法 可分为两大类：
隐式方法
逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求 解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度 的平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。
体系在ti＋1时刻的运动包括：位移、速度和加速 度，需要有三个方程（条件）求这三个量。因此， 除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条 件） 。
·
两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。
例如可以假设在t i和t i＋1时刻，即Δt时间段内， 体系的加速度为常数a，则积分(不定积分)得到体
系的速度和位移为：
也可以假设加速度a为其它形式的变化规律，例如
为线性变化：
a
u&&i
t
(u&&i1
u&&i )
则采用同样的分析步骤可以得到线性加速度法的 时域逐步积分公式。
3. Newmark-β法
Newmark-β同样将时间离散化，运动方程仅要求 在离散的时间点上满足。假设在ti时刻的运动均已 求得, 然后计算 ti+1时刻的运动。
采用等时间步长离散时， ti it, i 1, 2,3,L 。
体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。 Δt ——离散时间步长
mu&&(t) cu&(t) ku(t) p(t)
经过t时间后：
mu&&(t t) cu&(t t) ku(t t) p(t t)
算法评价准则
因此提出时域逐步积分法，即只假设在一个时间步距内 是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移 和速度为：
ui u(ti ), u&i u&(ti ), i 1, 2,L
而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不 一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满 足，这相当于放松了对运动变量的约束。
显式方法
逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立 求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成 线性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。
2.一般时域逐步积分法的构造
时域逐步积分方法是构造出根据某一时刻及其 以前时刻的运动，推算下一时刻运动的递推计算公 式。
具体情况可表述为，设体系在ti及ti以前时刻的运 动已知，求ti＋1时刻的运动（ti＝iΔt）。
kˆui1 pˆi1
u&&i1
1
t 2
(ui1
ui )
1
t
u&i
(
1
2
1)u&&i
u&i1
t
(ui1
ui )
(1
)u&i
(1
2
)u&&it
其中：
kˆ k 1 m c t2 t
p) i1
pi1
1 [
t 2
ui
1
t
u&i
(
1
2
1)u&&i ]m
[ t
ui
(
1)u&i
t 2
(
2)u&&i ]c
得到ti+1时刻的速度和位移：
ui1 ui ta
ui1
ui
tu&i
1 2
t 2a
得到Newmark-β法的两个基本递推公式：
ui1 ui (1 )tui tui1
ui1
ui
tu&i
(1 2
)t2u&&i
t 2u&&i1
解以度这 得 和两到加个如速递下度推的ti+1公计时式算刻，公的可式速：uuii11uui i(1tu&i )(12tui
u&( ) a c1
u(
)
1 2
a
2
c1
c2
其中，τ为由ti时刻起算的局部时间坐标，c1和c2为 积分常数。
u&( ) a c1
u(
)
1 2
Βιβλιοθήκη Baidu
a
2
c1
c2
积分常数c1和c2可由τ ＝0时的初值条件确定：
u&( 0) u&|tti u&i , u( 0) ui
最后得： u&( ) a u&i
tui1
)t2u&&i
t
2u&&i1
ui1
1
t 2
(ui1
ui )
1
t
ui
(
1
2
1)ui
ui1
t
(ui1
ui )
(1
)ui
(1
2
)ui t
由计算公式给出的运动满足ti+1时刻的运动控制方程：
mui1 cui1 kui1 pi1
将计算公式代入运动方程得到位移ui+1的计算公式：
它是通过对加速度的假设，以ti时刻的运动量为初 始值，通过积分得到计算ti+1时刻的运动公式。
与平均加速度法和线性加速度法不同的是，它用 不同的加速度假设条件给出速度和位移的计算公 式。
Newmark-β法假设在时 间段[ti，ti+1]内，加速度为 一常量，记为a，经过简单 积分计算可以得到速度、 位移与a之间的关系式(为得 到稳定和高精度的算法， a同时由两个控制参数表示)：
u&&i )
u&i
ui1
t 2 4
(u&&i1
u&&i )
u&it
ui
再加上t i＋1时刻的运动方程：
mu&&i1 cu&i1 kui1 pi1
可以求得t i＋1时刻的位移、速度和加速度。
以上方法也称为平均加速度法，即假设加速度为t i和t i＋1时间段内的平均值：
a
1 2
(u&&i1
u&&i )
u(
)
1 2
a
2
u&i
ui
当τ ＝ Δt ，即t ＝ t i＋1时刻，体系得运动状态为：
u&i1 at u&i
ui1
1 2
at 2
u&it
ui
u&i1 at u&i
ui1
1 2
at 2
u&it
ui
假设：t i和t i＋1时间段内的常加速度a=(üi+1+üi)/2，则
得到：
u&i1
t 2
(u&&i1