数学分析第十章 定积分的应用

和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
微元法的一般步骤
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x为 积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表 示为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x) 与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量 U 的微元且 记作 dU ，即dU f ( x)dx；
要想得到一个定积分表达式，只要求出被积
表达式 f ( x)dx, 这就是定积分的微元法
2 定积分的微元法
当所求量U 符合下列条件
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关的
量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
例 1 计算由曲线 y2 x 和直线 x 2y 3 0 所围成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 x x 2y 3 0
(1,1), (9,3).
x2y3 0
A2 A1
y2 x
1
1
4
A1
[
0
x (
x )]dx 2 0
xdx 3
9
A2
(
1
x x 3)dx 28
2
面积表示为定积分要通过如下步骤：
（1）把区间[a, b]分成n个长度为xi的小区间，相
应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi .
a2
(1 2cos cos2 )d
3）以所求量U 的微元 f ( x)dx为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
x x y2y2 yyxx2 2
面积微元 dA ( x x2 )dx
1
A 0 (
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
注 被积函数为上-下，上为y2 x 下为 y x2
四 极坐标下的面积公式
设由曲线 r r( ) 及射线
、 围成一曲边扇形，
求其面积．这里， r( )
A
b
a
f
(
x)dx
穿针法或微元法
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
被积函数上-下、右-左
例 2 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
两曲线的交点解，方程组
y y
2x x2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
A
lim
T 0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx a
n
比较
lim
T 0
i 1
f (i )xi
与 b a
f
( x)dx
两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
n
lim
对应 b
T 0 i1
a
而使f (i )xi 对应f ( x)dx
数学分析第十章 定积分的应用
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来 分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的 不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且 微元法解决问题的定积分的分析方法。
§1 平面图形的面积
一 积分 b f (x)dx的几何意义 a
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x
轴与两条直线 x a、
x b所围成的平面图形
的面积。
b
b
A a f (x)dx a ydx
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
y
a
A1
0
y=f(x)
A3
A2
bx
则A
b a
f (x) dx
b a
y dx
A1 A2 A3
二 由y f (x), y g(x)及x a, x b所围 平面图形的面积
在[ , ]上连续，
d
r r( )
面积微元 dA 1 [r( )]2 d
2 曲边扇形的面积
o
x
A 1[r( )]2 d. 2
例 3 求心形线r a(1 cos )所围平面图形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
若f (x) g(x), x [a,b]
则A
b a
f
(
x)dx
b a
g
(
Байду номын сангаас
x)dx
b a
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
y y=f(x)
y=g(x)
0a
bx
一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及 两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形的面 积计算公式为
A
b a
f (x) g(x) dx.
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
微元法
1 考虑曲边梯形面积计算问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、 x b所围成。
oa
y f (x)
bx
b
A a f (x)dx
3
A
A1
A2
32 3
本题也可看成由x y2, x 2 y 3,
y 1, y 3所围成平面图形。
选y为积分变量, 则
A 3 (2y 3 y2 )dy 32
1
注3 被积函数为“右-左”
右为直线，左为抛物线
三 参数方程形式下的面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．