抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析

抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一

种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大

多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之

间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要

求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.

一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形

用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据

两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动

点可能会重合在一起.

例1如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴

相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC．

(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC

的形状；

(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的

速度向点B运动；同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒

1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达

端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒,

当t为何值时,PA=QA？

图1

(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M

为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,

请说明理由．

【分析】(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解

析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；

(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出

Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可；

(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.

【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x轴,y轴分别交于A,B两点, ∴A(5,0),B(0,10).

∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx,

∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),

∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,5

6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

∴抛物线解析式为y=

16x 2﹣56

x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),

∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25,

∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．

(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,

由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,

在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,

,AC OA PA QA =⎧⎨=⎩

∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ, ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=

103

, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,

∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52

, ∵A(5,0),B(0,10), ∴

AB=5如图3,设点M(52

,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1

=2

=∴M 1(52

,202+),M 2(52

,202-). ②当AM=AB 时, ∴(

52)2+m 2=125, ∴m 3

=2, m 4=

﹣2, x

图2

∴M3(5

2

,

2

),M4(5

2

,

﹣

2

).

③当MA=MB时,

∴(5

2

﹣5)2+m2=(

5

2

)2+(10﹣m)2, ∴m=5,

∴M5(5

2

,5),此时点M恰为线段AB的中点,构不成三角形,舍去.

∴综合上所述点M的坐标为：

M1(5

2

,20

2

+

2

(5

2

,20

2

-

3

(5

2

,

2

),M4(5

2

,

﹣

2

)

【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．

二.由抛物线上的动点产生的直角三角形

对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.

例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛

物线y=mx2+nx相交于

A(1,3两点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在,求出点D的坐标；若不存在,说明理由；

(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B 重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BC N、S△P MN满足S△B C N=2S△PMN,

求出MN

NC

的值,并求出此时点M的坐标．

【分析】(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线

解析式；

(2)分D在x轴上和y轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D的坐标

表示出AD、BD，列出关于d的方程,即可求得D点的坐标；

(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BC N=2S△P M N,可用PF表示出a的值,从而

图4