2006年高考试题——数学文(全国卷1)

2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷
注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚，并
贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．本卷共12小题，每小题5分， 共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
球的表面积公式
P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）· P （B ）
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
3
3
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
k
n k
k
n n P P C k P --=)
1()(
一．选择题
（1）已知向量a 、b 满足| a |=1，| b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为
（A ）
6
π
（B ）
4
π
（C ）
3
π
（D ）
2
π
（2）设集合}2|||{},0|{2
<=<-=x x N x x x M ，则 （A ）=N M ∅ （B ）M N M =
（C ）M N M =
（D ）=N M R
（3）已知函数x
e y =的图像与函数)(x
f y =的图像关于直线x y =对称，则 （A ）∈=x e
x f x
()2(2R ） （B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ）
（C ）∈=x e x f x
(2)2(R ）
（D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ）
（4）双曲线12
2
=+y
mx
的虚轴长是实轴长的2倍，则m =
（A ）4
1-
（B ）－4 （C ）4 （D ）
4
1
（5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=
（A ）8
（B ）7 （C ）6 （D ）5
（6）函数)4
tan()(π
+=x x f 的单调增区间为 （A ）∈+
-k k k ),2
,2(π
ππ
πZ （B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ
（C ）∈+
-
k k k ),4
,43(π
πππZ
（D ）∈+
-
k k k ),43,4(πππ
πZ
（7）从圆012222=+-+-y y x x 外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为
（A ）
2
1 （B ）
5
3 （C ）
2
3 （D ）0
（8）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则
（A ）4
1 （B ）4
3 （C ）
4
2 （D ）
3
2
（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（A ）16π
（B ）20π
（C ）24π （D ）32π
（10）在10
)21(x
x -的展开式中，4
x 的系数为
（A ）－120
（B ）120 （C ）－15 （D ）15
（11）抛物线2
x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是
（A ）
3
4 （B ）
5
7 （C ）
5
8 （D ）3
（12）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A ）58cm 2 （B ）106cm 2
（C ）553cm 2
（D ）20cm 2
2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第II 卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效。

3．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上. （13）已知函数.1
21)(+-
=x
a x f 若)(x f 为奇函数，则a = .
（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 .
（15）设x y z -=2，式中变量x 、y 满足下列条件
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥-,
1,2323,
12y y x y x 则z 的最大值为 .
（16）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知}{n a 为等比数列，3
20,2423=
+=a a a . 求}{n a 的通项公式.
（18）（本小题满分12分）
△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2
cos
2cos C B A ++取得最大值，
并求出这个最大值.
（19）（本小题满分12）
A 、
B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只
小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效的概率为3
2，服用B 有效的概率为
2
1.
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
（20）（本小题满分12分）
如图，1l 、2l 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点A 、B 在1l 上，C 在
2l 上，
AM = MB = MN .
（Ⅰ）证明NB AC ⊥；
（Ⅱ）若 60=∠ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.
（21）（本小题满分14分）
设P 是椭圆
)1(12
2
2>=+a y
a
x 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的
最大值.
（22）（本小题满分12分）
设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(2
2
3
-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数， 求
a 的取值范围.
2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案
一．选择题 （1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C
（7）B
（8）B
（9）C
（10）C
（11）A
（12）B
二．填空题 （13）
2
1
（14）
3
π
（15）11 （16）2400
三．解答题 （17）解：
设等比数列||n a 的公比为q ，则q ≠0， ,2,23432q q a a q
q
a a ===
=
所以
,3
2022=
+q q
解得 .3,3
121==q q
当 ,18,3
11==a q 时
所以 .3
23
18)3
1(1811
1n
n n n a ---⨯==
⨯=
当 ,9
2,31==a q 时
所以 .3
239
23
1
--⨯=⨯=
n n n a
（18）解： 由,2
2
2
,A C B C B A -
=
+=++π
π得
所以有 .2
s i n
2
c o s
A C
B =+
2
s i n
2c o s 2
c o s
2c o s A A C B A +=++
2
s i n
22
s i n 212
A A +-=
.23)2
12
(s i n 22
+
-
-=A
当.2
32
cos
2cos ,3
,212sin
取得最大值
时即C B A A A ++=
=π
（19）解： （Ⅰ）设A 1表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2， B 1表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2，
依题意有
.943232)(,
9432312)(21=⨯=
=⨯⨯=A P A P .2121212)(.412
121)(10=⨯⨯
==
⨯
=B P B P
所求的概率为
P = P （B 0·A 1）+ P （B 0·A 2）+ P （B 1·A 2） = 9
4219441944
1⨯+⨯+⨯
.9
4=
（Ⅱ）所求的概率为
.729
604
)941(13
=
-
-=P （20）解法： （Ⅰ）由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN l 1 = M ，
可得l 2⊥平面ABN .
由已知MN ⊥l 1，AM = MB = MN ，
可知AN = NB 且AN ⊥NB 又AN 为 AC 在平面ABN 内的射影，
∴ AC ⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB ， ∴ AC = BC ，又已知∠ACB = 60°，
因此△ABC 为正三角形。

∵ Rt △ANB = Rt △CNB 。

∴ NC = NA = NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，
连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角。

在Rt △NHB 中，.3
6cos 2
233
=
=
=∠AB
AB NB
HB NBH
解法二：
如图，建立空间直角坐标系M －xyz ， 令 MN = 1，
则有A （-1，0，0），B （1，0，0），N （0，1，0）。

（Ⅰ）∵MN 是l 1、l 2的公垂线，l 2⊥l 1， ∴l 2⊥ 平面ABN ， ∴l 2平行于z 轴， 故可设C （0，1，m ）
于是),0,1,1(),,1,1(-==NB m AC
,00)1(1=+-+=⋅NB AC
∴AC ⊥NB .
（Ⅱ）.||||).,1,1(),,1,1(BC AC m BC m AC =∴-==
又已知∠ABC = 60°，∴△ABC 为正三角形，AC = BC = AB = 2. 在Rt △CNB 中，NB =2，可得NC =2，故C ).2,1,0(= 连结MC ，作NH ⊥MC 于H ，设H （0，λ，λ2）（λ> 0）. ).2,1,0(),2,1,0(=--=∴MC HN λλ .3
1,021=
∴=--=⋅λλλMC HN
).3
2,
3
1,1(,),3
2,3
2,0(),3
2,
3
1
,0(-=-=∴BH BH HN H 则连结可得
,,,09
29
20H BH MC BH HN BH HN =⊥∴=-
+
=⋅ 又
∴HN ⊥平面ABC ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角. 又).0,1,1(-=BN .3
62
cos 3
234
=
⨯=
=
∠∴NBH
（21）解：
依题意可设P （0，1），O （x ，y ），则 .)1(||2
2
-+=
y x PQ
又因为Q 在椭圆上，所以 ).1(2
2
2
y a x -=
12)1(2
222
+-+-=y y y a PQ
2
2212)1(a y y a ++--= .111)11)(1(2
2
2
2
2
a a
a
y a ++--
--
-=
因为y ≤，1,>a
若a ≥a
-11,2则
≤1，当2
11a
y -=
时，;1
12
2
2
--a a a
PQ 取最大值
若.2||,1,21取最大值时则当PQ y a -=<<
（22）解：
),1(23)('2
2-+-=a ax x x f
其判别试.812121242
2
2
a a a -=+-=∆ （ⅰ）若,2
6,08122±
==-=∆a a 即
当.),()(,0)(',),3
()3
2,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a
x x
所以.2
6±=a
(ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f
所以 ,2
32
>
a
即 ).,2
6(
)2
6,(+∞-
-∞∈ a
（ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2
62
6=<
<-
x f a 令
解得 .3
23,3
232
22
1a a x a a x -+=
--=
当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.26<
a
由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<
<-
a
从而 .)26,
1[∈a
综上，a 的取值范围为),2
6,
1[),2
6[
]2
6, +∞-
∞-
即 ∈a ).,1[]2
6,(+∞--∞。