高层建筑结构动力时程响应分析的状态空间迭代法_沈小璞

图1
三 、 工程实例及结构分析比较
(一)工程概况 某市金三角商城大厦 , 占地面积为 13200m2 , 总建筑面积为 36150m2 。 主楼地面以上 24 层(包括塔楼 2 层 , 设备层 1 层), 地面以下 1 层 , 裙房及临街商业楼为 3 ～ 5 层 。 主楼总高度为 81.3m , 地下室一层高度为 4.5m 。 首层 , 标准层和剖面 、立面见图 2 所示 。 其主楼主要用于宾 馆 、办公及商场等(见表 1)。 根据工程地质勘探报告所提供的数据 , 地基为 Ⅱ类场地土 , 地震 设防烈度为 7 度 , 基本风压 W 0 =0.35kPa , 基本雪压 S0 =0.41kP a 。 主楼结构采用钢筋混凝土芯筒-框架结构体系 。这种结构体系的特点是 , 将所有服务性用房和 公用设施都集中布置于楼层平面的核心部位 。在楼层中心形成一个较大服务性面积 , 沿着该服务 面积的周围设置钢筋混凝土墙体 , 因而在楼层平面中心形成一个体量较大的竖向墙筒, 即所谓的芯 筒。芯筒是一个立体构件 , 具有很大的抗推刚度和强度 , 可以作为结构的主要抗侧力构件 , 承担绝 大部分的水平荷载 。在楼层平面的外围 ,可以设置主要是承担重力荷载的框架 , 从而形成一个由筒 和框架共同组成的芯筒-框架结构体系 。结构主要构件尺寸及材料见表 2 。
对 i 时刻,
∫ {qi(ti )}= e[ D] ti{X(0)}+ ti e[ D](t i-τ){F(τ)}dτ 0
对 i +1 时刻
∫ {qi+1(ti +1)}= e[ D] ti+1{X (0)}+ e t i+1 [ D] (t i+1-τ){F (τ)}dτ 0
这样 , 对于取步长为 Δt , 任一时刻的结构动力响应量可以写成
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图2
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层次 层高(m)
用途
地下室
4.5
变配电房 空调机房
主楼用途概况
1～ 3 层 4.8
商场 、餐厅 舞厅 、洽谈
4 ～ 11 层 3.3 客房
12 ～ 22 层 3.3 办公
23 层 4.0 音响机房
表1 24 层 4.0 电梯机房
主要构件尺寸及材料强度(尺寸单位 :mm)
表2
层次
-1 ～ 3 层
根据指数矩阵定义 , e[ D] Δt 可以展开成幂级数 :
e[ D] Δt =[ I] +[ D] Δt +21![ D] 2 Δt 2 +31![ D] 3 Δt 3 +… 它对于具有常元素的[ D] 矩阵和给定的 Δt 都是一致收敛[ 1] 。
(三)状态空间迭代法的计算步骤
(16)
1.将时间段划分为一系列很小的时间间隔 , 每个间隔的长度 , 称为步长 。 可任意选择 , 但 通常是等间隔的 , 记为 Δt 。
{X i(ti )}
4.由第 i +1 时间间编隔 译的初始值{qi(ti)}= …… 代入式(14)求该时间间隔的末端 {X﹒ i(ti )}
值,
{X i +1(t i +1)}
{qi +1(t i +1)}=
……
14
{X﹒ i +1(t i +1)}
5.由动力方程式(3)求得{X¨i +1(t)}。
300 ×800 400 ×600
300 ×800 400 ×600
300 ×800 400 ×600
300 ×800 400 ×600
墙
350
300
300
300
250
250
各层楼板均采用现浇钢筋混凝土板 , 各层板厚见表 3 。
各层楼板厚度
各层顶板 地下室 板厚(mm) 200
1～ 2 层 100
将状态空间理论应用到高层建筑结构动力时程响应问题中去 , 对方程(1)引入状态变量 , 建立 状态方程 , 在此基础上提出状态空间迭代算法 。 该方法的特点是 , 对结构系统的描述 , 采用了
状态空间理论的表达式 , 其形式简单 , 物理概念清晰 , 易于编制程序在计算机上实现计算 , 需要
内存少 , 计算时间短 , 效率高 , 计算精度好等 , 对高层建筑结构的动力时程响应计算是十分有效
[ K ] =[ M ] -1[ K ]
对于
{P(t)}=[ M] -1{P(t)}
对于地震作用情况
(2) (3)
(4)
{P(t)}=-{X¨g(t)}
现在考虑式(3), 引入状态变量
{X (t)}
{q(t)}=
矩阵
{X﹒ (t)}
则式(3)可以改写为
{﹒q(t )}=[ D] {q(t )}+{F(t )}
(1)
式中 [ M] 、[ C] 、[ K ] ———分别为质量矩阵 、阻尼矩阵 、刚度矩阵 , 当结构为弹性时 , 取
[ K ] 为常量 , 当结构为弹塑性时 , 取[ K] 为变量 ;
{X¨(t )}、{X﹒ (t)}、{X(t )}———分别为结构的加速度 、速度和位移反应列阵 ;
{X¨g(t)}———地面运动加速度 。
式中
.
数值 [
D]
=
[ 0] -[ K ]
[ I] -[ C]
{0} ;{F(t )}=
{P(t )}
式(7)就称为状态方程 。
(二)计算格式
(5) (6) (7) (8)
对于某一段时间里 , 可划分为许多时间间隔 Δt , 在任意一时刻 t i =i Δt (i =0 , 1 , 2 , …)的 结构动力响应量为 :
{X 0(t 0)}
由第 1 时间间隔开始 , 从 2i3=0 时的初始值{q0(t 0)}= … … (在结构地震反应分析 {X﹒ 0(t 0)}
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中一般取{q0(t 0)}={0}或以静荷载的反应作为初始值)。计算 i =1 时的{q1(t 1)}, 即第 1 时 间间隔的末端值 , 然后 , 又将此末端值作为下一时间间隔的初始值 。 重复以上步骤 , 可得到整 个运动的全过程 。根据式(14), 可以进行迭代计算 。
因此 , 状态空间迭代法一般计算格式为
(13)
{qi +1(t i +1)}=[ Υ] {qi(ti )}+[ Q] {F(t i)}
(14)
式中
[
Υ]
∞
=∑ i =0
([
D i
] τ)i !
,
[
Q]
∞
=∑ i =0
([ D] τ)i (i +1)!
(15)
式(14)就称为状态空间迭代法计算式 。 e[ D] Δt 指数矩阵的求法有很多种 , 本文采用幂级数法 ,
一般说来 , Δt 取得越小 , 计算精度越高 , 计算工作量也就越大 。 通常为了保证足够的精 度 , 应取 Δt ≤0 .1 T , T 为结构的自振周期 。但若荷载 P(t )变化特别快 , 而且非常复杂 , 是由 许多谐波分量组成的 , 则应取 Δt ≤0 .1 T p , T p 为荷载 P(t )的卓越周期 , 即其频谱分量中起主 要作用的谐波分量的周期 。如条件许可或对计算精度的要求很高时 , 则应取 Δt ≤0.1 T e , T e 为 P(t )中不可忽略的谐波分量的最小周期 。 对于地震作用来说 , 一般取 Δt ≤0.02s , 大约相 当于 0.05 T p ～ 0.1 T p , T p 为地震运动的卓越周期 。
关键词 :高层建筑 、动力时程分析 、状态空间迭代法
一 、 引 言
高层建筑结构的动力时程分析对于了解地震作用全过程的每一瞬间结构的变形及内力状
况 , 确定结构薄弱层位置 , 用变形来控制结构的破坏 , 都具有非常重要的意义 。
对于高层建筑结构振动体系的运动微分方程为
[ M] {X¨(t )}+[ C] {X﹒ (t)}+[ K] {X (t)}=-[ M] {X¨g(t )}
时 , 需要解高阶线性代数方程组 , 这是相当繁琐的事 。 并且在计算中 , 都有一个积分收敛条件
问题 , 否则将影响计算精度 , 甚至数值解有可能发散 。 近年来 , 现代控制论中的状态空间理论[ 1 , 2] 逐步推广到其他一些学科领域 , 如固体力学 、
复合材料力学 、弹性力学 、结构动力学等 。 钟万勰教授[ 3] 提出了结构动力学方程的精细时程 积分法 , 沈鹏程教授[ 4] 提出了基于状态空间理论的多变量样条元法和动力响应问题等 。 本文
(一)状态空间方程
对于多自由度弹塑性体系 , 受任意动力荷载的运动微分方程为
[ M ] {X¨(t )}+[ C] {X﹒ (t )}+[ K] {X (t)}={P(t)}
或
{X¨(t )}+[ C] {X﹒ (t )}+[ K] {X (t )}={P(t)}
式中
[ C] =[ M] -1[ C]
DO I :10.14006/j .jzjgxb .1998.05.002 第 19 卷第 5 期
建 筑 结 构 学 报
1998 年 10 月
高层建筑结构动力时程响应分析的 状态空间迭代法①
沈小璞 肖 卓
(安徽建筑工业学院 合肥 230022)
【提要】 本文把现代控制理论中的状态空间理论应用到高层 建筑结构 动力响应分 析中 , 提出 了状态空间迭代法分析高层建筑结构动力响应问题 。 根据结构动 力方程 , 引入位移 与速度为 状态 变量 , 导出状态方程 , 给出非齐次状态方程的解 , 进而建立 状态空间迭 代百度文库算格 式 。 文中结合 工程 实例 , 采用 状态空间迭 代法进行 结构动力时 程响应分 析 , 其 计算结果表 明 , 具 有较高的精 度 , 特 别 对多自由度体系的多输入 、多输出等问题的动力 响应解法 , 效率较高 。
4～ 5 层
6～ 7 层
8 ～ 13 层
14 ～ 15 层
16 ～ 24 层
混凝土强度 柱
C40 1000 ×1000
C40 900 ×900
C40 800 ×800
C35 800 ×800
C35 700 ×700
C30 700 ×700
梁
300 ×800 400 ×600
300 ×800 400 ×600
3 层 4 ～ 11 层 12 层 13 ～ 21 层
120
100
120
100
22 层 120
23 ～ 24 层 150
表3 芯筒板
120
(二)计算结果分析与比较
在地震反应时程分析中选用 El Cent ro(NS)波(图 3)作为输入波 , 其输入地面最大加速度
峰值为 35g , 场地特征周期 T g =0 .3s 。 在确定加速度峰值后 , 各时刻地震波的幅值可按下式 进行调整 :
2.在每个时间间隔 Δt 内 , 将[ M] 、[ C] 、[ K ] 及{P(t)}均视为常数 。 例如 , 对 i +1 时间间隔则令[ M] 、[ C] 、[ K ] 及{P(t)}均等于该时间间隔的初始值 , 记为 [ M i] 、[ Ci ] 、[ K i ] 及{Pi(t )}。 3.根据式(8), 形成[ Di] 、[ Fi (t)] , 由式(15)计算其[ Υi] [ Qi ] 。
① 安徽省教委自然科学基金资助
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的 。 在计算过程中 , 不需要求解线性代数方程组 , 也不必对矩阵求逆和对方程的解耦处理 , 只 需作矩阵相乘运算 。 特别对多自由度体系的多输入 、多输出等问题的动力响应求解 , 效率较 高 。 因此 , 该方法有实用价值和发展前景 。
二 、 结构动力时程分析的状态空间迭代法
∫ {qi +1(ti +1)}= e[ D] Δt{qi(ti )}+ Δt e[ D] (Δt -τ){F(τ)}dτ 0
(9) (10) (11)
9
设 i =0 , 则
{q1(t 1)}=e[ D] Δt{q(0)}+[ Q] {F(t 1)}
(12)
式中
∫ [ Q] = Δt e[ D] (Δt-τ)dτ=(e[ D] Δt -[ I] )[ D] -1 0
其方程(1)的数值积分 , 目前已有很多种数值算法 , 如线性加速度法 , New mark-β 法(r = 0 .5 ～ 0 .55 , β =0 .25 ～ 0 .275), Wilson-θ法(θ=1 .37 ～ 1 .4), 这些方法在高层建筑结构动力时
程分析中是常见的响应解法 。 一般说来 , 在实际工作问题中 , 其规模都比较大 。 采用上述方法
若对于质量 、刚度保持同一常数的结构 , 可先由式(8)形成[ D ] 、{F (t)}, 然而由式(15)算 出[ Υ] [ Q] , 这在整个运动过程中都保持同一常数值 。
若考虑对于变质量 、变刚度 , 可稍加变动即可 。 根据以上计算方法和步骤 , 编制了相应的 计算程序框图 , 如图 1 所示 。