直线系方程

一 直线系方程
直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。

直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。

直线系方程的几种类型：
一、平行直线系方程在解题中的应用
与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.
【例1】求平行于直线02=--y x 且与它的距离为22的直线方程。

二、垂直直线系方程在解题中的应用
与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。

【例2】求经过两条直线01032=+-y x 和0242=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程。

三、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.
【例3】求过点(14)P -，的直线且与点(2,3)的距离为1的直线方程．
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.
四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.
【例4】 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.
五、求直线系方程过定点问题
【例5】 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.
【例6】 已知m 为实数，直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点，求出定点坐标。

【例7】已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈
求证：不论λ取何值，点P 到直线l
【巩固训练】
1、 求过点A(1，-4)且与直线0532=++y x 平行直线方程。

2、 求过点A(2,1)，且与直线0102=-+y x 垂直的直线方程。

3、 经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线
0734=--y x 的直线方程。

4、 经过直线32+=x y 和023=+-y x 的交点，且垂直于第一条直线的直线方程。

( 0112=-+y x )
5 求证：m 为任意实数时，直线5)12()1(-=-+-m y m x m 过恒定点，求出该定点坐标。

6 当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过的定点为______。

二 直线中的几类对称问题
预习：
1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；
关于y 轴的对称点的坐标为 ；
关于（0，0）的对称点的坐标为 ；
关于y x =的对称点的坐标为 ；
关于y x =-的对称点的坐标为 .
2.直线220(0)Ax By C A B ++=+≠
关于x 轴的对称的直线方程为 ；
关于y 轴的对称的直线方程为 ；
关于（0，0）的对称的直线方程为 ；
关于y x =的对称的直线方程为 ；
关于y x =-的对称的直线方程为 .
新课
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.
总结：
(1)关于点(a,b)对称的问题
点),(00y x A 关于点),(b a M 的对称点是)2,2(00y b x a A --'
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
总结：
点),(00y x A 关于a x =的对称点是),2(00y x a A -'
点),(00y x A 关于b y =的对称点是)2,(00y b x A -'
点),(00y x A 关于)0,(,0:不同时为b a c by ax l =++对称的点为点）（2
200022000)(2,)(2b a c by ax b y b a c by ax a x A +++-+++-
' 三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
总结：
曲线0
-
2(=
2,
-y
b
f
a
x
)
a
(=
,
)
y
x
(b
,
f关于点)
M的对称曲线是0
特别的，曲线0
-
(=
)
x
f
,
-y
(=
,
)
y
x
f关于原点的对称直线是0
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”(未学)，或是转化为点关于直线对称问题.
例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
总结：
曲线0),(=y x f 关于a x =的对称的对称曲线是0),2(=-y x a f 曲线0),(=y x f 关于b y =对称曲线是0)2,(=-y b x f
曲线0),(=y x f ),(00y x A 关于)0,(,0:不同时为b a c by ax l =++对称曲线为0)(2,)(22222=+++-+++-）（b
a c by ax
b y b a
c by ax a x f 特别的，曲线0),(=y x f 关于x y =的对称曲线为0),(=x y f
曲线0),(=y x f 关于x y -=的对称曲线为0),(=--x y f
曲线0),(=y x f 关于直线b x y +=的对称曲线为0),(=+-b x b y f 课后训练
1、直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是
.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=
2、（北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限， 则直线l 的倾斜角的取值范围是
.A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3、（全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为
.A 12y x =- .B 12
y x = .C 2y x =- .D 2y x =
4、 (安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为
.A 210x y -+= .B 210x y --= .C 10x y +-= .D 210x y +-=
5、求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标。