一次函数-二次函数和反比例函数综合题复习(答案)

一次函数，二次函数和反比例函数综合题复习（答案）

一 知识要点:

反比例函数及其基本性质

1、反比例函数的基本形式

一般地，形如x

k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k

y =还可以写成

kx y =1-

2、反比例函数中比例系数k 的几何意义

（1）过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。 （2）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

（3）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

3.反比例函数及其图象的性质 1)．函数解析式：

（） 2)．自变量的取值范围：

3)．图象： ①图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

②图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当

时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．

③对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，

）在双

曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则

（，）和（

，

）在双曲线的另一支上．

二 例题教学：

例1：一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k

y k 0x

=

≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】 A ．b 2a k =+ B ．a b k =+ C ．a b 0>> D ．a k 0>>

例2：若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2（x≤2）

4x （x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，则常数

m 的取值范围是 ▲ 。 【答案】0＜m ＜2。

【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。

【分析】分段函数y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

（x≤2）

4x （x ＞2）的图象如右图所示：

例3：已知函数23y kx 2x 2

=-+（k 是常数）

（1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；

（2）若点()M 1,k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数23

y kx 2x 2

=-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

（3）设抛物线23y kx 2x 2

=-+与x 轴交于()()12x ,0,B x A ,0两点，且12x x <，2212x x 1+=，

在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

综上所述，要使该反比例函数和二次函数都y 随着x 的增大而增大，必须k<0且1x

。

（3）存在。

∵抛物线23y kx 2x 2

=-+与x 轴有两个交点，

∴一元二次方程方程23kx 2x 02-+=的判别式()2

324k >02

∆=--⨯，解

得2k<3

。

积为

4216

。 三 巩固练习

1. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数b

y x

=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是【 】

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B

两点，若反比例函数y ＝k

x

(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是【 】

A ．2≤k ≤9

B ．2≤k ≤8

C ．2≤k ≤5

D ．5≤k ≤8

3. 已知正比例函数y =ax 与反比例函数k

y x

在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y =ax 2＋k 在坐系中的大致图象是【 】

4.如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2

k y=x

交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜

2

k x

＋b 的解集是 ▲ ．

5. 如图，直线()y kx b b >0+=与抛物线21

y x 8

=相交于A ()11x ,y ，B ()22x ,y 两点，与x

轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C ，设△OCD 的面积为S ，且kS 320+=。 （1）求b 的值；

（2）求证：点()12y ,y 在反比例函数64

y x

=

的图象上；