高中数学2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根式

,被开方数是
.
【解析】根据根式的概念可知,2是根指数,m+1是被开方数.
答案:2 m+1
【知识探究】 知识点 根式与根式的性质 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:如何确定实数a的n次实数方根的个数? 问题2: n an 与( n a )n有什么区别?
【总结提升】 1.对根式的三点认识 (1)n的取值范围是n∈N*且n>1. (2)当n为大于1的奇数时, n a 对任意a∈R都有意义,它表示a在实数 范围内有唯一的一个n次方根. (3)当n为大于1的偶数时, n a 只有当a≥0时有意义,当a<0时无意 义. n a (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是- n a .
【补偿训练】1.求下列各式的值：
13 23 .2 92 .3(5 2)5.4 x2 2xy y2 . 【解析】(1) 3 23 2.
2 92 9 9.
3(5 2)5 2.
4
x2 2xy y2
x
y2
xy
x y, x y 0, x y, x y＜0.
2.化简求值：
(1) 3.14 2＋ 3.14 2 . (2) 4 m n4＋3 m n3 . 【解析】(1) 3.14 2＋ 3.14 2
答案：1
【防范措施】化简根式的三个关注点
(1)首先要确定变量的取值范围，即保证根式有意义，如分母不为0，
偶次实数方根的被开方数不小于0.
(2)其次化简根式必须为恒等变形，比如n∈N*，n≥2,当n为奇数时，
n an =a;当n为偶数时， n an =|a|.只有当a≥0,才有 n an =a.
(3)常见的等价变形有：
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)若将本例原式改为
1
1
4 (2 5)4 (4 2 5 )4
还能求出值吗？
【解析】不能，此式中的
(4
1 的被开方数2-
2 5 )4
＜0，5式子无意义.
2.(变换条件、改变问法)将本例改为：求 5 2 6＋ 7 4 3 的值， 则结果如何.
【解析】原式= 3 2 6 2 4 4 3 3
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:错误的根本原因是化简偶次根式 6 x 不2是6 恒等变形.忽视了条件
1≤x≤2的限制.
【自我矫正】因为x∈［1,2］,所以 ( 4 x 1)4 6 (x2 4x 4)3
( 4 x 1)4 6 x 26 x 1 x 2 x 1 2 x 1.
【解析】1.(1)因为(±4)2=16,所以16的平方根为±4. -27的5次方根为5 27. (2)因为x3=6,所以x=3 6. 答案:(1)±4 5 27(2) 3 6 2.要使 4 x 有2意义,则需x-2≥0,即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2,+∞).
【方法技巧】n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只 有一个. (2)根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定: ①当n为偶数时,为非负实数; ②当n为奇数时, n a 的符号与a的符号一致.
x 2n 2n
=|x|(n∈N*),
x2 x
=x(x≠0)等.
a<0
x不存在
2.根式
(1)定义:式子_n__a _叫做根式,这里n叫做_根__指__数__,a叫做_被__开__方__数__.
(2)性质:(n>1,且n∈N*)
①( n a )n=_a_.
②n
an
_a_, n为奇数， __a_，n为偶数.
【即时小测】 1.思考下列问题: (1) 3 8 是根式吗?根式一定是无理式吗? 提示:是根式,根式不一定是无理式. (2) n an =a对任意实数a都成立吗? 提示:不都成立.当n为不小于3的正奇数时,a为任意实数,等式 n a=n a恒成立;当n为正偶数时, n=a|na|.
2.对 n an 与( n a )n两式的理解
(1)( n a )n：当n为大于1的奇数时，( n a )n对任意a∈R都有意义，
且( n a )n=a，当n为大于1的偶数时，( n a )n只有当a≥0时才有意
义，且( n a )n=a(a≥0)．
(2) n an ：对任意a∈R都有意义，且当n为大于1的奇数时，
2.以下说法正确的是( ) A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.0的n次方根是0(n∈N*) D.a的n次方根是 n a 【解析】选C.A,B,D选项中,没有指明n的奇偶性,D中a的正负也没有 说明,故不正确.
3.81的4次方根是
.
【解析】81的4次方根是±3.
答案:±3
4.根式 m 1 的根指数是
n
an
=a；当n为大于1的偶数时，n
an
a
a，a 0, a, a＜0.
如：3 33 3，32 3 3.
【题型探究】
类型一 n次方根的概念问题
【典例】1.(1)16的平方根是
,-27的5次方根是
.
(2)已知x3=6,则x=
.
2.若 4 x 2 有意义,求实数x的取值范围.
【解题探究】1.典例1(1)中16的平方根有几个?-27的5次方根有几个? 提示:有两个,一个. 2.典例1(2)若xn=a,则x的值是什么? 提示:x的值是a的n次方根. 3.典例2中 n a (n为偶数)成立的条件是什么? 提示:若n为偶数,则 n成a 立的条件是a≥0.
【变式训练】用根式表示下列各式中的x:
(1)已知x6=2013,则x=
.
(2)已知x5=-2013,则x=
.
【解析】(1)由于6为偶数,所以x=± 6 2 013. (2)由于5为奇数,所以 x 5 2 013 5 2 013.
答案: 1 6 2 0132 5 2 013
类型二 根式的化简与求值
x2
6x
9
2x 2, 3＜x＜1, 4,1 x＜3.
【补偿训练】当3＜x＜5时，化简 x 32 4 2 x4 =______. 【解析】由于3＜x＜5,所以 x 32 4 2 x4
=|x-3|+|2-x|=x-3+x-2=2x-5.
答案：2x-5
易错案例 有限制条件的根式化简 【典例】已知x∈［1,2］,化简 ( 4 x 1)4 6 (x2 4x 4)3 =_______.
( 3)2 2 6 ( 2)2＋ 22 4 3 ( 3)2 ( 3 2)2＋ (2 3)2 | 3＋ 2 |＋| 2 3 | 3＋ 2＋2 3 2＋2.
【方法技巧】根式化简或求值的注意点 (1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次 根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. (2)对于根式的运算还要注意变式,整体代换,以及平方差、立方差和 完全平方、完全立方公式的运用,做到化繁为简,必要时进行讨论.
提示：应特别注意符号问题，即
x2
x, x 0, x, x＜0.
2.典例2中由代数式 2x 1＋ 2 x 有意义，能得到什么结论？
提示：借助代数式有意义可确定x的取值范围，即
2x 1 0, 2 x 0,
可得
:
1 2
x
2.
【解析】1.因为x＜0，所以x＋|x|＋ x2
x
=x-x＋ x =x -1.
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根 式
【知识提炼】 1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么_x_叫做a的_n_次__方__根__,其中n>1,且n∈N*
n是奇数 个数
n是偶数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为__n _a_
a<0
x<0
a>0 x有两个值,且互为相反数,记为__n_a__
xx
答案：-1
2.由 2x 1＋有2意 x义，则
22xx100.,即
1 2
x
2.
故 4x2 4x 1＋24 x 24 2x 12＋2 4 x 24 2x 1＋2 x 2 2x 1＋22 x 3.
【方法技巧】有限制条件的根式化简的步骤
【变式训练】设-3<x<3,化简 x2 2x 1 x2 6x 9.
【典例】化简:
1 1.
3 (2 5)3 ( 3 2 5 )3
【解题探究】典例中对于分母中含以分母的有理化因式,分母有理化.
【解析】 1
1
11
3 (2 5)3 (3 2 5 )3 2 5 2 5
5 2 ( 5 2) 4.
=|3.14-π|＋|3.14＋π|=2π.
(2)原式=|m-n|＋(m-n)=02,mm＜nn.,m n,
类型三 有限制条件的根式运算
【典例】1.若x＜0，则x＋|x|＋ x2 =______.
x
2.若代数式 2x 1＋ 2 x 有意义，化简 4x2 4x 1＋24 x 24 .
【解题探究】1.典例1中对于式子 x2 化简时应注意什么？
【解析】原式= x 12 =x|x3-12|-|x+3|.
因为-3<x<3,所以-4<x-1<2,0<x+3<6.
当-4<x-1<0,即-3<x<1时,
|x-1|-|x+3|=1-x-(x+3)=-2x-2;
当0≤x-1<2,即1≤x<3时,
|x-1|-|x+3|=x-1-(x+3)=-4.
所以 x2 2x 1