3-4 互易定理

3.4 互易定理
1. 互易定理的内容
互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。

这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。

互易定理的示意图如图1所示。

u 1i 2
u 2
i 12
12
u u i i =
图1 互易定理示意图
根据互易定理和图1，
12
12
(u u i i =激励）（互换位置后的激励）
（响应）（互换位置后的响应） （1）
由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。

这是互易定理的一种特殊情况。

由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。

由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。

不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。

2. 互易定理的证明
在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。

特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。

电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。

下面我们来证明特勒根定理1。

假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则
1111111111111()02222b
n n n n n n n
n
k k
pq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）
由式（2）即证明了特勒根定理1。

式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。

式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。

至于为什么出现二分之一，你自己画一个电路，仔细琢磨一下就能明白。

这是特勒根定理1证明过程中最不容易理解的一步。

式（2）中第二个等号是应用了KVL ，即pq
p q u u u =−。

式（2）中第三个等号是利用了求和符号∑的特性。

式（2）中第四个等号是应用了KCL ，即1
0n
pq q i ==∑和1
0n
pq p i ==∑。

由特勒根定理1的证明过程可以看出，最关键的是应用了KCL 和KVL ，也就是说，只要满足KCL 和KVL ，特勒根定理1就一定成立。

下面我们来证明特勒根定理2。

特勒根定理2的内容是，如果有两个结构相同的电路，并且两个电路中同一位置的支路电压、电流参考方向全部相同，再假定每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则一个电路所有支路的电压乘以另一个电路相对应的所有支路的支路电流的乘积之和，一定等于另一个电路所有支路的电压乘以与这一个电路相对应的所有支路的支路电流的乘积之和。

这么拗口的描述实在令人莫名其妙。

为了直观一点，我们给出一个特勒根定理2的示意图，如图2所示。

u
11221122ˆˆˆ0;0
u i u i
u i u i +=+=2
1ˆu
图2 特勒根定理2示意图
由特勒根定理2示意图可见，特勒根定理2可以通俗一点描述为“我的电压乘以你的电流，乘积之和等于零；你的电压乘以我的电流，乘积之和等于零”。

描述变简单了，可是还是感觉莫名其妙，因此只有通过证明才能令人信服。

特勒根定理2的证明过程与特勒根定理1的证明过程类似，因此此处不再详述。

特勒根定理2显然看不出什么物理意义，在实际电路分析中也几乎用不上。

特勒根定理
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2的主要作用是为了引出一个推论，并进而由这个推论证明互易定理。

接下来我们就介绍特勒根定理2的推论及其证明过程。

特勒根定理2推论：如果两个电路具有相同的结构，电压、电流参考方向相同，并且有相同的纯电阻网络（结构相同，阻值也相同），假定电流参考方向都从电压参考方向正极流入，则除了纯电阻网络之外，一个电路的支路电压乘以另一个电路对应的支路电流，各支路电压电流乘积之和等于另一个电路的支路电压乘以这个电路对应的支路电流的各支路电压电流乘积之和。

只看文字描述很难理解特勒根定理2的推论，为此我们给出示意图，如图3所示。

u
1i 2
u 2i x y y x u i u i +=
图3 特勒根定理2推论示意图
由特勒根定理2推论示意图可见，特勒根定理2推论可以通俗一点描述为“我的一部分电压乘以你的一部分电流等于你的一部分电压乘以我的一部分电流”。

当然了，这同样令人莫名其妙，下面我们来证明一下。

为了使证明过程尽可能直观，我们以图3电路为例。

根据特勒根定理2和图3所示电路可得 12ˆ0x y k k u i u i u i ++=∑
（3）
21ˆ0y x k k u i u i u i ++=∑
（4）
式（3）和式（4）中的求和指的是纯电阻网络部分的支路电压电流乘积求和。

根据欧姆定律，纯电阻网络满足
ˆˆ;k k k k
k k u R i u R i == （5）
将式（5）代入式（3）和式（4），两式相减并整理可得
1221x y y x u i u i u i u i +=+
（6）
式（6）即特勒根定理2的推论。

最后我们来证明一下互易定理。

观察图3会发现，0x u =，0y u =，代入（6）可得
1221u i u i =
（7）
由式（7）可得
12
12u u i i =
（8）
式（8）即图1所示的互易定理。

至此，我们费了九牛二虎之力，终于证明了互易定理。

不过这种付出是值得的，因为互易定理真的很奇妙，如果不加证明，我们很难想象得到。

3. 互易定理的三种形式
互易定理的内容中提到了激励和响应，根据激励和响应的不同，互易定理总计有三种形式。

互易定理的第一种形式，即图1所示的形式。

图1中的激励为电压源，响应为短路电流。

互易定理的第二种形式，如图4所示。

图4中的激励为电流源，响应为开路电压。

响应响应
12
12
i i u u =
图4 互易定理形式二示意图
互易定理的第三种形式，如图5所示。

图5中的激励有电压源和电流源，响应有开路电压和短路电流。

1
u 响应响应
12
x y
u i u i =
图5 互易定理形式三示意图
4. 问与答
问：前面提到了互易定理有三种形式，那么，有没有第四种形式，甚至更多种形式？为什么？
答：
没有第四种形式，互易定理有且仅有三种形式。

没有第四种形式的原因在于找不到第四
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种形式。

至于为什么找不到第四种形式，只要将互易定理的三种形式都证明一下就明白了。

问：特勒根定理及其推论都假定电流参考方向从电压参考方向正极流入，可是参考方向可以任意指定，如果指定的参考方向不满足前面的假定，可不可以？会产生什么影响。

答：
可以。

如果电流参考方向从电压参考方向负极流入，则需要在电压电流乘积之前加一个负号。

问：互易定理有三种形式，经常忘，或者容易混淆，怎么办？
答：
如果是分析实际电路，那么不需要记三种形式，查书即可。

如果是为了考试，那只好考前背一下了。

问：互易定理的题目经常做错，特别是求出来的结果正负号经常出错，怎么办？
答：
要把互易定理的三种形式都记住并吃透，是一件很不容易的事情。

任何一个小的环节出问题，都会导致结果出错。

解决的办法是不使用互易定理，而是使用特勒根定理2的推论。

由于互易定理其实就是由特勒根定理2的推论推导出来的，因此凡是能够用互易定理解决的问题，全部都可以用特勒根定理2的推论解决。

使用特勒根定理2推论的好处是正负号不容易出错，只要记住电流从电压正极流入，则乘积取正，从负极流入，则乘积取负即可。

问：互易定理的题目感觉很难，常常不知从何处着手，怎么办？
答：
互易定理的题目求解需要很大的技巧，所以感觉难很正常。

下面我们以一个电路为例，来讲解一下互易定理解题的技巧是什么。

互易定理例题：图6中N为纯电阻网络，求图中的U。

图6 互易定理例题电路
互易定理解题的第一步是确定激励和响应，这也是最关键的一步。

激励必须是电压源和电流源，这很容易确定。

最难确定的是响应。

响应只有两种可能：开路电压和短路电流。

可是从图6中很难看出响应在哪里。

为了看出响应在哪里，我们需要应用第一个技巧——“无中生有”！
我们将图6电路变成图7电路，你就能明白“无中生有”是怎么回事了。

所谓“无中生有”，就是人为制造出来响应，即左侧电路的开路电压和右侧电路的短路电流。

尤其是左侧的开路电压，本来根本没有，是我们凭空“造”出来的。

图7 图6电路“无中生有”
互易定理解题的第二步就是根据互易定理的三种形式之一来求解。

可是，从图7我们很难一下子看出来如何应用互易定理。

此时就需要应用第二个技巧——“海纳百川”！
我们将图7电路变成图8电路，你就能明白“海纳百川”是怎么回事了。

所谓“海纳百川”，就是将电路中的电阻网络N 与其他电阻尽可能纳入到一个更大的电阻网络中。

图中阴影部分即为更大的电阻网络。

图8 图7电路“海纳百川”
对比图8和图5，会发现图8可以应用互易定理第三种形式求解。

根据图8和互易定理第三种形式的公式可得
oc sc
56
u i = （8）
由图8可见，oc sc 0.53 1.5V,4
U
u i =
×==−，代入式（8）可得7.2V U =−。

问：互易定理讲来讲去，好像就是为了做题，貌似没有什么用。

这是真的吗？ 答：
互易定理其实很有用，只不过暂时还体会不到。

互易定理的用处在于揭示了电路中一个非常有趣的规律，不但电路中有互易定理，其他学科中也可能有互易定理。

后面第9章中关于二端口网络参数的结论就是靠互易定理证明的。

学到第9章时，如果对互易定理的用处感兴趣，可以看看章末的补充知识。