第三章 随机信号的统计特性估计

第三章
随机信号的统计特性估计
第一节 平稳遍历信号的均值估计

对于一个平稳各态遍历随机过程，如 果我们测得该过程的一个样本值，就可 以计算出以下的一些样本数字特征，可 以用它们来估计统计特征量：
样本平均值
1 ˆ x xi m N i 1
N
对估计质量的评价

(1)是否有偏？
(2) 方差如何？ 无偏估 计
N
ˆ ( m )} 0 lim Var{ R x
当m增大时，可用于估计的数据越来越少，二者都不 是好的估计，但无偏比有偏估计的方差小。
２．功率谱估计
根据
1 ˆ Rx ( m ) N
N 1 m

n 0
x( n )x( n m ) 0 n N 1 N n 2N 1

ˆ x 的数学期望 １．估计值 m
1 ˆ x ) E E(m N xi i=1
N
mx
2

ˆ x 的方差 ２．估计值 m
ˆ x ) E [ m ˆ x E{ m ˆ x }] Var(m

ˆ x ) E [ m ˆ x E{ m ˆ x }] 2 Var(m

T
T
x( t )x( t )dt
x( n )x( n m )
因此：
ˆ (m) 1 R x N
N 1 m

n 0
m = -(N-1),…,-1,0,1, …,N-1
估计的质量
(1) 均值
ˆ ( m)} E{ R x
1 N 1 N

N 1 m
三角窗
1 E{ N
N 1 m
N Wtri (k )
1
1 k

f
-（N-1）
0
N-1
m
-6
-4
-2
0
2 N 1 fs N
2
4 N 2 fs N
4
6
谱估计中卷积带来的问题
①偏：加窗卷积即为平均。 窗的主瓣造成谱峰变矮，谷抬高 ②泄漏：由窗的旁瓣引起，造成谱峰能量泄漏 使谱峰附近产生虚假的小峰。 ③谱分辨力降低：两个谱峰距离fB小于窗的主瓣 宽度时，会使真实谱峰丢失。
三、功率谱估计的质量
(1)
谱估计的偏
ˆ ( k ) E{ DFT{ R ˆ ( m )}} E S X x
Nm DFT{ Rx ( m )} N


ˆ ( m)}} DFT{ E{ R x
N S X ( k ) Wtrபைடு நூலகம் (k )
2
N wtri
sin( k) 1 N 2 Wtri (k ) N sin( k ) 2N
N wtri ( m)

n 0
有偏估计， m x( n )x( n m )}

n 0 n 0
E{ x( n )x( n m )} Rx ( m )
Nm Rx ( m ) N
N 1 m
越大，偏差越 大，但是渐近 无偏的
N 1 m

' x
Rx ( m )
无偏估计
1 ˆ R (m) Nm
j( n m n )
2 k 2N
2 2 N 1 j( n m ) k jn k 1 N 1 2N xz ( n )xz ( n m )e e 2N N m( N 1 ) n( N 1 )
N 1 jn k j ( n m) k 1 N 1 2N 2N xz (n)e xz (n m)e N n( N 1) m ( N 1) 2 2
ˆ ( k )} ˆ ( m) DFT 1{ S 自相关估计为：R x X
2 、估计步骤： (1) 数据补零
x( n ) xz ( n )
2 n 0
(２) 做２Ｎ点DFT X ( k ) N 1 x ( n )e j 2 N kn z
(3) 按估计式计算
k =0,1, …,2N-1
一、诱发响应的数学表达

x(t)=s(t)+e(t)
其中：{ e(t)}是平稳的零均值噪声过程（自发响应） { s(t)}是非平稳过程，但具有确定性结构
E{ s(t)}=sT(t)
——称其为模板函数
1. 均值函数的估计
对第i次观测，有xi(t)=si(t)+ei(t)
1 ˆ x( t ) m N

1 X ( k )X ( k ) N
ˆ (k ) S X
与 S X ( ) lim
FsT ( ) T
2
T
一致
谱估计的自相关方法的步骤
（1）按
ˆ (m) 1 R x N
N 1 m

n 0
x( n )x( n m )
m = -(N-1),…,-1,0,1, …,N-1

i
（２）减少提取诱发响应的累加次数的方法 ——加权平均法
ki
1
N
2 n
N
i
1/3
i i i
加权平均结果：
ˆ sw ( t )
k
i 1
k x (t
i 1
)
i
课外作业

查阅文献：关于诱发响应的单次提取方法
中文：维普、万方、CNKI 英文：IEEE、Elsevier、Springer
1 ˆ T (t)}= E{s N

N 1 使迭加平均结 E{ s (t ) } sT ( t i )p( T i i )d i i 1 N i 1 果丢失高频信
潜伏期的影响
sT ( t )p( )d
sT ( t ) p( )
N个数据 并作周期延拓
x( n ) 作x(n)的补 xz ( n ) 零序列： 0
…,x(N-1),0, …,0, x(0),x(1), …,x(N-1),0, …,0, …
周期延拓 ２N个数据
ˆ (m) 1 R x N
ˆ (m) R x
m N
故： 而
n ( N 1 )

N 1
x=randn(1,32); [R,Lags]=xcorr(x,x,'biased'); subplot(311);plot(x);xlabel('n');ylabel('x(n)'); subplot(312);plot(Lags,R);xlabel('m');ylabel('Rx'); R1=[R(32:63) R(1:31) 0]; S=abs(fft(R,64)); subplot(313); plot((0:63)/64,10*log10(S));xlabel('f/fs');ylabel('Sx');
计算自相关估计 （2）按
ˆ ( k ) DFT{ R ˆ ( m)} S X x
ˆ (m) R x
k =0,1, …,2N-1
计算2N点的傅氏变换
f
k fs 2N
0
N
•
2N-1
m
二、功率谱估计的FFT方法（周期图法）
ˆ ( k ) 1 X ( k )X ( k ) 1 X ( k ) 2 1 、估计式： S X N N
2 fs fB N
N
2 fs fB
（2）谱估计的方差
只考虑高斯白噪声过程 ˆ ( k )S ˆ ( k )} Cov{ S X 1 X 2
ˆ ( k )S ˆ ( k )} E{ S ˆ ( k )}E{ S ˆ ( k )} E{ S X 1 X 2 X 1 X 2
2 2 sin( k1 k2 ) sin( k1 k2 ) 2 Rx ( 0 ) N sin( k1 k2 ) N sin( k1 与 k 2N )无关，即不随数 据量的增加而减小 N N
( N k 1 )C ( k )
k 1 x
N 1
根据
1 2 2 N 1 ˆ x ) x 2 ( N k 1 )Cx ( k ) Var( m N N k 1
1 2 ˆ x ) x Var( m N
讨论：
（１）当x(t)为白噪声时
即：对Ｎ个互不相关的观测值，其均值估计 的方差与数据量成正比。 （２）当观测值相关时，若Ｎ》相关长度，则：
i=1 j 1 N i j e s
N
N
R (( k i )T
i=1 j 1
N
)
自发干扰功 率减少到1/N

1 2 若 e ( t )与e ( t ) 不相关，则： Var(m ˆ x (t )) N e
i j
2 诱发响应潜伏期的影响

对刺激的滞后响应，具有随机性 影响因素：疲劳、精神不集中等
xz ( n )xz ( n m )
m = -(N-1),…,-1,0,1, …,N-1 共２N-1个点
0
求2N点的DFT
ˆ ( m )} DFT{ R x
N 1 N 1
m( N 1 )

N 1
ˆ ( m )e R x
jm
2 k 2N
1 xz ( n )xz ( n m )e N m( N 1 ) n( N 1 )
x (t )
i 1 i
N
为t的函数
估计的质量

（1）数学期望 （2）方差
ˆ x ( t )) sT ( t ) E(m
无偏估计

ˆ x ( t )) E [ m ˆ x ( t ) sT ( t )] 2 Var(m
1 2 N 1 2 N
E{ e ( t )e ( t )}
假定s(t)为确定性函数sT(t)，则诱发响应为：
sT ( t i )
sT ( t i )
做N次实验，求其平均 诱发响应：
0
N
t
1 ˆ sT ( t ) N

i 1
N
N
i
xi ( t ) 1 N
1 s ( t ) T i N i=1
e ( t )
i i=1
N

ˆ s0 ( t )xi ( t )dt
c. 求出R的最大值对应的 i ；
N约为 1000~3000 次
N 1 d. 求出响应的最终估计；ˆ s0 ( t ) xi ( t i ) N i 1
依据： （1）自发响应弱时，诱发响应相对较强，可靠性高， 权重大。 （2）潜伏期在一定范围内变动。诱发响应持续时间 较短。 （3）在提取诱发响应时，自发响应作为干扰，其大 小是变化的，但在短时间内变化不大。用诱发响应 结束后的自发响应估计噪声方差 n2 。据此，赋予 该次响应的权重为： 1 N可降为原来的
息
（1）减小潜伏期影响的方法

以刺激脉冲发出作为时间起点，设法求出各次响应 的潜伏期，步骤：
1 ˆ s0 ( t ) N
a. 求出多次实验的平均响应作为初步估计； N
x (t )
i 1 i
T T
s (t ) b. 求 ˆ 与 x (t )
0 i
的时间互相关；
1 Rsx ( ) 2T
2 2 ˆ ˆ E mx -[E{ mx }]
1 2 N
1 2 N
2 E x x m i j x i=1 j 1
N N
N
N
R ( i,j ) m
i=1 j 1 x
2 x
1 N2
C
i=1 j 1
N
N
x
( i-j )
1 2 2 ˆ Var( mx ) x 2 N N

n 0
x( n )x( n m )
缺点： (1) 随着m增大，估计的方差增大 (２) 与功率谱估计式不成傅氏变换关系
（２）估计的方差
N 1 m ml 1 2 ˆ Var{ Rx ( m )} ( 1 )[ R x ( m ) Rx ( m l )Rx ( m l )] N l ( N 1 m ) N
ˆx ) Var( m 1 2 x N
ˆ x 是 mx 的性能较好的估计。 结论：若Ｎ足够大，则 m
第二节 非平稳信号的均值估计 ————相干平均技术

信号来源：诱发响应 刺激源：光、声、电、机械、磁 EP ERP AEP SEP (Evoked Potential) (Event-Related Potential) (Auoditory Evoked Potential) －听觉 (Somatosensory Evoked Potential) －体感 VEP (Visual Evoked Potential)－视觉

第三节 功率谱估计的经典方法
自相关函数
估计方法：
(1) 信号 估计自相关函数
——自相关方法 F F-1
功率谱
功率谱
(2) 信号
估计功率谱
自相关函数
——FFT方法
一、功率谱估计的自相关方法
1、自相关函数估计 已知：有限长样本 x(n),n=0,1,2,…,N-1 ,共Ｎ个 对于平稳遍历过程：

1 RX ( ) lim T 2T
① 当k１= ② 当k１≠
k２=
ˆ ( k )} Cov{ S ˆ ( k )S ˆ ( k )} k时， Var{ S X X X
=0 结论：谱估计值沿频率轴剧烈起伏
k２时，
R (0)
2 x
各估计值间互 不相关
ˆ ( k )S ˆ ( k )} Cov{ S X 1 X 2
例