第23讲 耦合电感及其伏安关系

②u1，i1采用关联方向时，感应电压u1的参考方向与Φ1 的参考方向也符合右螺旋法则， 则有
dΨ1 di 1 u1 = = L1 dt dt
2、 耦合电感：
线圈1通电流 i1时：
Φ 11：线圈1的自感磁通。
11：线圈1的自感磁链。 Ψ 11 = N 1Φ11 = L1i1 L1：线圈1的自感。
Φ 21：线圈1的自感磁通中与 线圈2相交链的部分。
Leq
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例2 如图所示两个耦合电感并联，求其等效电感。
解： 利用异名端相连时的去 耦等效电路求解。
Leq
Leq ( L1 M ) //( L2 M ) M
( L1 M )( L2 M ) M ( L1 M ) ( L2 M ) L1 L2 M L1 L2 2 M
i1 L1
· ·
L2
M
i2
c + V u2 － d
若电压表是正向偏移，则 c 端为高电位端，由此可 以判定端子a和c是同名端。
耦合电感的等效电路 电流从同名端流入 di1 di2 u1 = L1 +M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt 电流从异名端流入
di1 di2 u1 = L1 –M dt dt di2 di1 u2 = L2 –M dt dt
(M ) Zf 1 Rf 1 jX f 1 Z 22
2
S U 1 I Z11 Z f 1
初 级 等 效 回 路
反映阻抗 Zf1 ：次级回路通过互感反映到初级的等效阻抗。
反映电阻Rf1：次级耗能元件的反映。 反映电抗Xf1：次级储能元件的反映。
22
下面研究次级回路：
S U 1 I 2 (M ) Z 11 Z 22 j M I2 I1 Z 22
def Ψ 21Ψ 12 k = Ψ 11Ψ 22
Φ21 ≤Φ11 , Φ12 ≤Φ22 ∴ M 2 ≤ L1 L2 ,0 ≤ k ≤1
k=
M L1 L2
k=0时： M=0，两线圈互 不影响。 k=1时：全耦合
M 2 = L1 L2
7
二、耦合电感的伏安关系
如图所示，磁通相助时，
各线圈总磁链为：
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异名端： 当电流从两线圈 各自的某端子同 时流入(或流出)时, 若两线圈产生的 磁通相消, 就称这 两个端子为互感 线圈的异名端。 c
d
di1 di2 u1 = L1 –M dt dt di2 di1 u2 = L2 –M dt dt
11
同名端的实验测定
di1 >0 dt
a + u1 － b
L1= 50μH, M = 0.5μH, C1= C2 = 50 pF, US = 10V, ω=
2 1 和 I 2×107rad/s, 求 I
解：列回路方程：
。
1 S R1 I1 + jωL1 I1 -jωMI 2 -j I1 = U ωC 1 1 R2 I 2 + jωL2 I 2 -jωMI1 -j I2 = 0 ωC 2
Leq顺 = L1 + L2 + 2 M
Leq反 = L1 + L2 – 2 M
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顺接
反接
14
三、去耦等效电路
1、同名端相连的情况
di1 di2 di1 di1 di2 u1 L1 M ( L1 M ) M dt dt dt dt dt di2 di1 di2 di1 di2 u2 L2 M ( L2 M ) M dt dt dt dt dt
可见：线圈绕向不同，将 影响自感磁通与互感磁通 是相助还是相消。从而影 响伏安关系表达式。
电路图中如何表示磁通相助还是相消
？
9
同名端规定： 当电流从两线圈 各自的某端子同 时流入(或流出)时, 若两线圈产生的 磁通相助, 就称这 两个端子为互感 线圈的同名端, 并
标以记号“· ”。
di1 di2 u1 = L1 +M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt
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2、异名端相连的情况
di1 di2 di1 di1 di2 u1 L1 M ( L1 M ) M dt dt dt dt dt di2 di1 di2 di1 di2 u2 L2 M ( L2 M ) M dt dt dt dt dt
def Ψ 21Ψ 12 即: k = Ψ 11Ψ 22
6 耦合电感： 通过磁场相互约束的若干个电感的总称。
Ψ 11 = N 1Φ11 = L1i1
Ψ 21 N 2 Φ21 M 21 i1
Ψ 22 = N 2Φ22 = L2 i2
Ψ12 = N 1 Φ12 = M12 i2
M12 = M 21 = M
把它统归于R1中, 如有电抗元件也统归于L1或C1中, 如
果次级线圈有损耗电阻 , 也统归于R2中。现在我们把 R2看作负载。
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1 令X 1 L1 , Z11 R1 jX 1 初级回路自阻抗 C 1 X 2 L2 1 , Z 22 R2 jX 2 次级回路自阻抗 C 2 S U 1 I 则 Z11 I jMI 2 U S (M ) 2 Z 11 1 Z 22 I 2 0 jMI Z 22 j M I2 I1 Z 22 2 (M ) 令Z f 1 Z 22 Rf 1 jX f 1 S U 1 则I 21 Z11 Z f 1
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例 耦合电感的串联
di di di di di 顺接 u = u1 + u2 = L1 + M + L2 + M = (L1 + L2 + 2 M ) dt dt dt dt dt di di di di di 反接 u = u1 + u2 = L1 – M + L2 – M = (L1 + L2 – 2 M ) dt dt dt dt dt
jωM S = U Z11 j5 = ×10∠0 5 + j10 = 4.47∠26.57 (V)

电源
负载26
Zf 2
(ωM )2 = Z11 52 = = 1j 2 （） 5 + j10
电源
负载
1 即 R2 + jωL2 j = 1 + j2 ωC 2 R2上吸收的功率为： R2 = 1Ω 2 U oc 1 P2mm = = ωL2 - 2 = 8Ω 4 Rf 2 ωC 2 1 1 4.47 2 C2 = = = 12 . 5 μ F = = 5W 27 4 8ω 8 ×10 4 ×1
2
Leq
18
四、空心变压器（P187）
变压器：利用互感实现从一个电路向另一个电路传输能 量或传送信号的装置。 空心变压器：
由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上，并具有互感 效应的线圈组成的器件。因无铁芯，是松耦合，又 称线性变压器。
k
M 0.5 L1 L2
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初级（原边）：
与电源相连的那个 线圈。 次级（副边）： 与负载相连的那个 线圈。 为了简便, 如果初级线圈和电源有损耗电阻, 我们
Z o = Zf 2
4rad/s; 例 如图电路, 已知 U =10 ∠ 0 ° (V), ω= 10 S R1= 5Ω, ωL1 = ωL2= 10 Ω, ωM = 5Ω, 为使R2上获得功率
为最大, 求所需的C2和R2的值及这时R2上吸收的功率。 解：这是一个负载获得 最大功率的问题。
oc U
Φ1
Ψ 1 = f ( i1 )
当匝数为N1，匝与匝之间很紧密，则每匝都与相同 的磁通Φ1相交链，故 Ψ1 = N 1Φ1 又当介质为非铁质物质时候，
Ψ 1 = L1i1
L1为一常量，称之为自感系数，L1为一动态元件。
其伏安关系：
N1
u 1 i1 – +
方向的前提：
Φ1
① i1与Φ1（ψ1）的参考方向符合右螺旋法则；
耦合电感的相量模型
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di1 di2 u1 = L1 M dt dt di2 di1 u2 = L2 -M dt dt
1 = L1 • jωI 1 2 U M • jωI
2 = L2 • jωI 2 1 U M • jωI
耦合电感的相量模型
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例 如图所示电路, 已知R1 = R2 = 10Ω, L1 = 50.5 μH,
8
如图所示，磁通相消时，
各线圈总磁链为：
Ψ 1 = Ψ 11 – Ψ 12 = L1i1 – Mi 2 Ψ 2 = Ψ 22 – Ψ 21 = L2 i2 – Mi 1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
dΨ 1 di1 di2 u1 = = L1 –M dt dt dt dΨ 2 di2 di1 u2 = = L2 –M dt dt dt
Ψ 1 = Ψ 11 + Ψ 12 = L1i1 + Mi 2 Ψ 2 = Ψ 22 + Ψ 21 = L2 i2 + Mi 1
假设各线圈的端口电压与本线圈的电流方向相关联, 电流 与磁通符合右手螺旋关系, 则两线圈的端口电压分别为：
dΨ 1 di1 di2 u1 = = L1 +M dt dt dt dΨ 2 di2 di1 u2 = = L2 +M dt dt dt
次 级 等 效 回 路
j M US Z 11 2 I (M ) 2 Z 22 Z11
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空心变压器小结：
初级等效
( ωM )2 Zf 1 = = Rf 1 + jX f 1 Z 22
次 级 等 效
oc U
jωM S = U Z11 ( ωM )2 = Z11
电源
25 负载
互感磁链
可以证明： M 12 线圈1与线圈2的互感
= M 21
故令M12 = M 21 = M
5
互感M的单位：亨（H） 耦合： 一条支路的电流 （压）与另一条支 路的电流（压）相 关联。 磁耦合： 支路（元件）之间 的耦合是通过磁的 线圈密绕 交连来实现的。 耦合系数： 是指两个线圈的互感磁链与自感磁链比值 的几何平均值，它反映了两个线圈耦合的 紧疏程度。
式中各电抗值计算如下： L1=2×107×50.5×10－6=1010 L2=2×107×50×10－6=1000
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M=2×107×0.5×10－6=10
1/ C1=1/C2=1/(2×107×50×10－12)=1000
Ψ 21 = N 2 Φ21 = M 21 i1
线圈密绕
互感磁链
线圈1与线圈2的互感
4
线圈2通电流 i2时： Φ 22：线圈2的自感磁通。
22：线圈2的自感磁链。 Ψ 22 = N 2Φ22 = L2 i2 L2：线圈2的自感。
Φ 12：线圈2的自感磁通中与 线圈1相交链的部分。 线圈密绕
Ψ12 = N 1 Φ12 = M12 i2
第23讲 互感耦合电路
学习重点： 1、互感、耦合、耦合系数、耦合电感的概念；
2、耦合电感的伏安关系；
3、同名端的概念，同名端的测定； 4、耦合电感的受控源等效电路； 5、耦合电感的去耦等效电路； 6、耦合电感的正弦稳态计算方法。
1
一、耦合电感
1、 互感： （复习）自感： 一个孤立的线圈中磁链
N1 i1 – u1+
j M US Z11 I2 2 (M ) Z 22 Z11
(M ) 令Z f 2 Rf 2 jX f 2 Z 11
2
反映阻抗 Zf2 ：初级回路通过互感反映到次级的等效阻抗。 反映电阻Rf2：初级耗能元件在次级的反映。 反映电抗Xf2：初级储能元件在次级的反映。
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例1 如图所示两个耦合电感并联，求其等效电感。
解： 利用同名端相连时的去 耦等效电路求解。
Leq
Leq ( L1 M ) //( L2 M ) M
( L1 M )( L2 M ) M ( L1 M ) ( L2 M ) L1 L2 M 2 L1 L2 2 M
* 根据最大功率传输条件，应有 Z 22 = Z f 2
五、互感电路的正弦稳态计算
di1 di2 u1 = L1 +M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt
1 = L1 • jωI 1 + M • jωI 2 U
2 = L2 • jωI 2 + M • jωI 1 U