工程力学力系的简化

平面汇交力系的简化
利用矢量合成的方法可以将这 一力系合成为一通过O点的合 FR 力，即为力系的主矢
n
F R＝ F i i1
其解析表达式是什么？
注意：主矢与合力是两个不同的概念，主矢只有 大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可在任 意点画出；而合力有三要素，除了大小和方向之 外，还必须指明其作用点。
力系等效定理: 两个力系对刚体运动效应相等的条件是主矢相等
和对同一点的主矩相等。
FP
FP'
FP
FP´
对于运动效应二者等效
FP
FP'
对于运动效应二者依然等效
FP
FP´
对于变形效应二者不等效
注意: 力系的等效在此仅指运动效应等效
FB
MC
MD
力系1
FA
FC
力系2
ME
※怎样判断上述两个不同复杂力系是否等效，即如何 判断不同力系的运动效应是否相同？
汇交力系合成
合成—几何法
力多边形法则
合成—解析法
F R F 1 F 2 F n F i
而 FRx Fix FRy Fiy
FRz Fiz
合力的大小和方向余弦分别为
FR(Fix)2(Fiy)2(Fiz)2
coFR s,i() F F Rix coFR s,j() F F Riy
coFR s,k() F F Riz
简化的目的 简化的方法
将每个力向简化中心平移 如图将力F1向O点作力线平移
Fn
F2
M1
Fn
M1
F2
FF1 1
F1
F3
Mn
M2
注意其与平面
n
M力1 偶系主矩计
FFn R＝ F i F算2 式的区别
i 1n
n
MO＝ Mi F1 MO Fi
Mn i1M2
i1
FR MO
注意：M力z 系简化后的主矢和主矩有两F种Rz
解 : 首先将已知力偶矩 (大小和方向)表示成矢量 表达式
M1=M1 r1 M2=M2 r2
其中： r1= rBA×rBC r2= rCA×rCD
rBA , rBC , rCA , rCD 都可以表示成 i ，j ，k 的形式
结 果 : M=M1+M2 =(0.555i+1.279j+0.899k)M0
F
＝
2
F
s
i
n
4
5
应用合力之矩定理
mO (F) = mO (F cos)+mO(F sin )
可得： m O F F 2 l F 1 d F l c o s 4 5 d s i n 4 5
5 0 0 N 0 .2 m c o s 4 5 0 .1 m s i n 4 5
y
力偶系:由两个或两个以 上力偶组成的特殊力系
力偶系的合成结果仍然是一
M
个力偶，称为合力偶
n
MR=i=1M i= M 1+ M 2+…+ M n
MR= MRxi +MRyj + MRzk
MRx= M ix MRy= M iy MRz= M iz
Mx
My
Mx
例题
已知 : M1 和 M2 (M1=M2=M0) 及 其作用面。求 合力偶 。
例题
已知: 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。 试: 画出AB和BDC杆 的受力图；求 A,C二处的约束力。
受力分析:
1、AB杆为二力杆；
2、BDC杆的A、B二处分别受有一个方向约
束力，虽然未知但可以判断出作用线和作用 方向的力。
讨论：
怎样确定B、C二处的约束力的大小？
力系的简化
这表明：平面力系的合力对平面上任一点之矩 等于力系中所有的力对同一点之矩的代数和。这一 结论称为合力之矩定理
例题
已 知 ：作用在托 架的A点力为F以
及尺寸 l1, l2 , .
求: 力F对O点之矩 MO(F)
解 : 将力F分解为互相垂 直的两个分力Fl和F2，二 者的数值分别为
F1＝ F c o s 4 5
35.35Nm
力偶及其性质
力偶实例
F1 F2
力偶的定义
力偶: 大小相等，方向相
反，不共线的两个力
所组成的力系。
F1 F2
力偶作用面 : 二力所在平面。
力偶臂: 二力作用线之
间的垂直距离。
力偶中所包含的两个力矢量的合力一定为0
F
rA rBA rB
F’
力偶对O点之矩等 于这个力系中的两个力 对该点之矩之和
力偶的性质
性质一：由于力偶只产生转动效应，而不产生移动效 应，因此力偶不能与一个力等效（即力偶无合力）， 也不能与一个力平衡。
性质二 ： 力偶为自由矢量，对刚体的运动效应只与力 偶矩矢量的大小、方向有关。
根据力偶的这一性质， 可以用力偶作用面内的一 个圆弧箭头表示力偶，圆 弧箭头的方向表示力偶转 向。
n
n
M Rz =
力系主矩的特点:
i=1 [ MO(Fi)]z
= M z(Fi)
i=1
力系主矩MR与矩心( O ) 的位置有关;
力系主矩是定位矢，其作用点为矩心。
需要注意的是，工程力学课程中的主矢量 与主矩，在物理学中称为合外力和合外力矩。 实际上如果有合外力，也只有大小和方向， 并未涉及作用点（或作用线）。
力对点之矩
作用在扳手上的力 F使螺母绕O点的转动 效应不仅与力的大小成 正比，而且与点O到力 作用线的垂直距离h成 正成比。
规定力F与力臂h的乘积作为力F使螺母绕点O 转动效应的度量，称为力F对O点之矩，简称力矩
m O F F h A B O
通常规定：逆为正， 而顺为负。
力矩的单位N·m或 kN·m。
i1
i1
+
平面力系的简化结果
平面力系向作用面内任意一点简化，一般情 形下，得到一个力和一个力偶。
所得力的作用线通过简化中心，其矢量称为 力系的主矢，它等于力系中所有力的矢量和；
所得力偶仍作用于原平面内，其力偶矩称为 原力系对于简化中心的主矩，数值等于力系中所 有力对简化中心之矩的代数和。
一般力系的简化
r F
举例
合力矩定理
汇交力系的合力之矩定理
汇交力系
O d1
n
FR=
i=1
Fi
n
MO(FR)=i=1 M O(Fi)
d d2
F1
FR F2
如果平面力系可以合成为一个合力FR，则可以证 明：
M O F R M O F 1 M O F 2 M O F n
或者简写成
n
MOFRMOFi i1
※仍然需要通过力系的主矢和主矩是否相同来判断， 因此需要求出力系的主矢和主矩，即需要力系简化
力系的简化
将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力 或一个力偶，或者一个力与一个力偶的简单而等效的 情形。力系简化的基础是力向一点平移定理
F2
F3
Mn
Fn
F1
Fn
力向一点平移
r F
F : 力; O : 简化中心;
对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用 线,因而主矢是自由矢
力系的主矩
n
n
MR =
MO(Fi) i=1
=
i=1Ri×Fi
n
n
MRx =
i=1
[ MO(Fi)]x
=
i=1
Mx(Fi)
主矩的分
n
n
量式
M Ry =
i=1
[ MO(Fi)]y
=
My(Fi)
i=1
平面力偶系的简化
平面力偶系只能合成一合力偶，
合力偶的力偶矩等于各附加力
偶的力偶矩的代数和
MO
n
M
＝
O
Mi
i1
为何是代数和？
其解析表达式是什么？
平面一般力系的简化
一个平面汇交力 系，一个力偶系
力
i1
n
n
得到一个合力
MO＝ Mi MO Fi 与 一个合力偶
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于该轴
的平面投影 ，力的投影 与投影至轴的垂直距离 的乘积.
Mz (F) = Fxyd =2S(OAB)
方法二: 将力向三个坐
标轴方向分解，分 别求三个分力对轴 之矩，然后将三个 分力对轴之矩的代 数值相加。
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩与力对点之矩的关系
计算方法，一种为矢量计算，另一种为
Mx
解析计算，M平y 面问题一般趋向于解析求 解，而空间问题一般趋向于FR矢x 量求解。
FRy
一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合
力
FR=Fi
力偶系
合力偶 MO= MO ( Fi )
例题
力对点之矩与矩心选择有关， 为定位矢量
Fz
F
z
r x
Fx Fy
y
MO r
力对点之矩几点结论
力对点 之矩是一种
F
矢量;
矢量的模
M O ( F ) =F d
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点，垂直于r 和F
所在的平面。
举例
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F Fz Fy
Fx F
定义:力使物体绕某一轴转动效应的量度，称为 力对轴之矩。
力系基本特征量
F1 M1
F2 Mn
F3
Fn
FR MA
x
也是力力系系中的所有力的矢量和 简称化为中力心系的主矢 力系中所有的力对同一 点(矩心)之矩的矢量和 称为力系的主矩
力系的主矢
n
FR= Fi
i=1
n
FRx＝i=1 Fix
MA
FR
x
其分量式为：
n
FRy＝i=1 Fiy
n
FRz＝
i=1
Fiz
力系主矢的特点：
MO = MO(F) + MO(F´) = rA×F + rB× F´ = rA×F – rB× F =( rA – rB ) ×F = rBA ×F
可见，力偶矢量与O点的位置无关，即力偶无矩 心，为自由矢量
力偶的方向可由 右手螺旋法则确定
力偶的特点
特点一 : 力偶无合力，即主矢FR=0。 特点二 : 力偶对刚体的运动效应只与力偶矩矢量有关。
和 一个一力一个偶个力，力偶也向；可任反以一之样所合点，需也得成平作是到要作移用矢的指用，于力出量于得同偶，的另到一矩因是一与平矢此，点之面量，力的等内，力偶一效的可向矩个一的以一与力个一表点力力个示平矩和力成移一 M=Fd
F
rOA
M＝rOAF
其中为B点至A点的矢径
-F
F
F
F
z
M F
Mx My
F
力系的简化
关于力偶性质的推论
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变， 力偶可在作用面内任意移动，其 对刚体的作用效果不变
F
F´
F
F´
F
F´
只要保 持力偶矩矢 量大小和方 向不变,力 偶可在与其 作用面平行 的平面内移 动。
保持力
偶矩矢量不
变，分别改
F/2
F´/ 2 变力和力偶
臂大小，其
作用效果不
变
M=Fdk
力偶系及其合成
力系等效定理
力系等效定理是质点系动力学普遍定理的推论
或引理 物理学中关于质点系运动状态的基本特征量: 动量（线动量）：P 动量矩（角动量）： LO
线动量和角动量对时间的导数分别等于 作用在质点 系上的主矢(FR)和主矩(MO)，即
d d
P t
=FR
d LO = MRO dt
质点系运动特征量 P 和 LO变化率相同，即二者对质 点系所产生的运动效应相同，此即等效
力矩矢量的作用线与力和 矩心所组成的平面之法线一致， 表明物体将绕着这一平面的法 线转动。
MO
力矩矢量的方向由 右手定则确定：右手握 拳，手指指向表示力矩 转动方向，拇指指向为 力矩矢量的方向。
F r
力对点之矩的矢量运算
i jk Mo ( F ) = r×F = x y z
Fx Fy Fz
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j +(Fyx-Fxy) k
: F与O所在平面; n : 平面的法线;
en : n方向的单位矢。
r F
运动效应
r
不等效
F
rF
在O点作用什么力系才能使二者等效 ？
-F
M
F
F
加减平衡力 系 ( F , -F )， 二者等效
力向一点平移的结果 : 一个 力和一个力偶，力偶的力偶 矩等于原来力对平移点之矩
力向一点平移定理
作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变 它对刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩。此即力 向一点平移定理。
以上为确定的平面内力对点的力矩，用力矩标量 及其正负号即可度量。
在研究力对物体的空间 转动时，力对点之矩这个概 念除了包括力矩的大小和转 向外，还应包括力矩的作用 面。必须用力矩矢量描述力 的转动效应。
MOFrF
为矢径r与力F之间的夹角
力矩大小等于力矩矢量的模
M OF=FrsinFh
即等于力与矩心到力作用线垂直距离（力臂） 的乘积。其与平面内的力矩定义式一致。
Nanjing University of Technology
第二章 力系的简化
某些力系，从形式上（比如组成力系的力的个 数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的运 动效应却可能是相同的。这时，可以称这些力系 为等效力系
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示 力系基本特征的最简单、最基本的量—力系基本 特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
M O ( F ) =F d
Mz (F) = Fxyd
Fxy= F cos
Mz (F) = M O ( F ) cos
结论：力对点之矩的矢量在某一轴上的投影， 等于这一力对该轴之矩
特殊情形
Mo
F
r
F
结论:
当轴垂直于r 和F 所在的平 面时,力对点之 矩与力对轴之 矩在数值上相 等。
Mo=M A-A