机械设计理论及方法

为使目标函数在搜索方 向下降最快，常采用沿 负梯度方向 作一维搜索，求得最优 步长 ( k ) : f ( X ( k ) ( k ) S ( k ) ) min f ( X ( k ) S ( k ) )
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S (k ) X ( k ) ( k )f ( X ( k ) )梯度法的迭代公式
多维优化问题的优化迭代过程中， 每次迭代，从某个初始点X（k），沿 给定的搜索方向S（k）上，求一个步 长因子 并使新点X（k+1）的目标 函数下降最多， f ( X ) f ( X ) ， 这一过程称为一维搜索
(k )
( k 1)
(k )
1、单峰区间 在给定区间内仅有一个峰值（极大或极小）的函数称为单峰 函数，其区间称为单峰区间。单峰区间可以是不可微或不连续。 2、区间消去法原理 在初始单峰区间内任意取两点，计算和比较它们函数值的大 小，消去大函数值一边的区间，剩下的区间中一定包含极小点 。
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坐标轮换法属于直接法，它的基本思想及迭代过程直观易懂、便于掌 握。 将n个变量的优化问题转化为一系列一维优化问题来求解，也称 降维法。 坐标轮换法就是依次轮流沿各个坐标轴方向进行一维搜索。 对n维空间中每个坐标依次搜索完一遍，称为一轮，将每轮得到的最优 ( k 1) (k ) （k） ( k ) (k ) 点，作为下一轮搜索的初始点，完成若干轮后，直到满足收敛准则， 迭代公式：X X A f ( X ) 停止迭代。 式中 ( k )为步长因子，由一维搜 索决定，即 Powell法是无约束优化问题效果最佳的一种计算方法。属于共轭方向 （k） ( k ) （k） ( k ) f ( X (k ) A f ( X ( k ) )) min f ( X ( k ) A f ( X ( k ) )) 法。优化设计中，常使用Powell法配合惩罚函数法来处理有约束优化 (k ) A 是需要构造的n n对称正定矩阵，随迭代点位置的变化而 问题。基本思想：基于坐标轮换法，在不用导数的前提下，在迭代中 逐次产生共轭方向组。对于n维二次函数可以在n轮迭代后求得极小点， 变化, 形成一个矩阵序列。 具有二次收敛性；对于非二次函数，一般也具有较高的收敛速度。 1 A( k ) I , 得到梯度法 ; A( k ) 2 f ( X ( k ) ) , 得到阻尼牛顿法 为避免初始Powell法可能产生的退化现象，应选取n个线性无关且共轭 1 程度尽可能高的方向作为下一轮的基本方向组。在每轮迭代获得新方 ( k ) 1, A( k ) 2 f ( X ( k ) ) , 得到牛顿法 向及组成下一轮迭代的新方向组时，不是固定去掉原新方向组中的第 搜索方向为S ( k ) A( k ) f ( X ( k ) ), 称为拟牛顿法 一个方向，而是首先根据Powell条件判断原方向组是否需要更换。若 (k ) 所谓变尺度是指 A 矩阵序列的变化性，称为尺寸矩阵。该方 需要，则进一步判断原方向组中哪个方向最坏，以新生方向替换这个 最坏方向。保证各个搜索方向线性无关。 法称为变尺度法。针对维数较高的问题有更好的稳定性。 改进算法不具有二次收敛性的性质，对于n维二次目标函数求解问题， 惩罚惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。其 经过n轮迭代不一定能达到理论最优解。 特点是能解决同时具有等式约束和不等式约束非线性优化问 题，且基本构思简单，易编程，使用效果好。将约束优化问 根据定义的泛函与罚因子调整方法的不同，惩罚函数法可分为外 题中等式约束和不等式约束函数经过加权转化，并和原目标 点法、内点法和混合惩罚函数法。 函数构成新的目标函数，即惩罚函数。 内点法：1初始点必须在可行域内;2只适用有不等式约束问题,搜
( X , r , r ) f ( X ) r
(k ) 1 (k ) 2 (k ) 1
G( g ( X )) r H (h ( X ))
i (k ) 2 j
m
p
一个无约束最优解。随着罚因子的不断调整，无约束最优解 不断逼近有约束最优解。
建模时都应考虑两条基本原则：一是保证计算结果的精度，二是要适当控制模型的规模。精度和规模是一对相互矛盾的因 素，建模时应根据具体的分析对象、分析要求和分析条件权衡考虑。在保证精度的前提下，减小模型规模是必要的，它可在 有限的条件下使有限元计算更好、更快地完成。1. 保证计算结果的精度，有限元分析的目的是要利用分析结果验证、修改或 优化设计方案，如果结果误差太大，有限元分析也就失去了实用价值，甚至会起到负作用，所以保证精度是建模时首要考虑 的问题。当然，不同分析问题对精度的要求不一样，关键结构的精度要求可能高一些，非关键结构的精度要求则要低一些。 提高精度的途径：提高精度的途径：单元阶次是指单元插值函数完全多项式的最高次数。阶次越高，插值函数越能逼近复 杂的实际场函数，物理离散精度也就越高。同时阶次越高，收敛速度越慢。增加单元数量 ，增加单元数量等同于减小单元 尺寸，可使有限元解收敛于精确解，收敛速度与单元阶次有关。单精度随着单元数量的增加的变化也是有限的。 划分规则 的单元形状 单元形状的好坏将影响模型的局部精度以及整体精度，所以划分网格时应尽量采用规则的单元形状，特别是在 结构中存在应力集中的危险部位。④建立与实际相符的边界条件 如果模型边界条件与实际工况条件相差较大，计算结果与 实际结果之间就会出现较大的误差，⑤减小模型规模 计算误差大小与运算次数有关，运算次数越多，计算误差就可能累积 越大。⑥避免出现“病态”方程组。2控制模型规模 模型规模是指模型的大小,可用节点数和单元数来衡量。一般来讲，节点 和单元数越多,模型规模越大,反之则越小。运算次数和存储空间不仅与方程阶数有关，而且与节点和单元的编号顺序也有直 接关系。模型规模还受节点和单元编号的影响。降低模型规模的措施有：① 对几何模型进行处理方法有降维处理、细节简化、 等效变化、对称性利用和划分局部结构等。②采用子结构法这种方法可用于静力分析和动态分析。③利用分步计算法如果结 构局部存在相对尺寸非常小的细节，可利用分步计算法来控制模型规模。④进行带宽优化和波前处理对节点和单元的编号进 行优化，使模型带宽和波前最小，同样能使模型规模降低。⑤ 利用主从自由度方法 网格划分原则建立几何模型和选择单元类型以后，就应基于几何模型进行分网。分网的工作量大，需要考虑的问题多，网格 形式直接影响结果精度和模型规模，因此分网是建模过程中最为关键的环节。（1）网格数量 网格数量又称绝对网格密度， 它通过网格的整体和局部尺寸控制。网格数量增加对结果精度和计算规模都将提高，所以应权衡两个因素综合考虑。一般原 则：首先保证精度要求，当结构不太复杂时尽可能选用适当多的网格。而当结构非常复杂时，应采用其他措施来降低模型规 模，如子结构法、分步计算法等。在选择网格数量时还应考虑分析数据的类型和特点，一般遵循以下原则：静力分析时，如 果仅仅是计算变形，则网格可以取得较少。在分析固有特性时，如果仅仅计算少数低阶模态，可以选择较少的网格。在结构 的响应分析中，如果仅仅是计算某些位置的位移响应，则网格数量可以少一些。在热传导分析中，结构内部的温度梯度趋于 常数，不需要大量的内部单元，可以划分较少的网格。2）网格疏密网格疏密 是指结构不同部位采用不同大小的网格，又称 相对网格密度。实际应力场或多或少存在不同程度的应力集中。应力集中区域就应采用较密集的网格。还要注意在网格疏密 的过渡。3） 单元阶次选用高阶单元可提高计算精度。当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。 增加网格数量和单元阶次都可提高结果精度，但在节点总数相同的情况下，增加阶次的效果更理想。4） 网格质量网格质 量是指网格几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度。在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格，而在结构 次要部位，网格质量可适当降低。5） 网格分界面和分界点划分网格时，结构中的一些特殊界面和特殊点应划分为网格边 界或节点。6） 位移协调性在有限元模型中，单元与单元之间是通过节点连接的，一个单元上的力和力矩通过节点传递到 相邻单元。为了保证这种传递，就应保持节点位移的连续性或协调性。7） 网格布局当结构形状对称时，划分的网格也应 尽量具有相应形式的对称性，以使结构在各个对称点上表现出相同的特性。8） 节点与单元编号网格划分后，要将全部单 元和节点按顺序编号，不允许有错漏或者重复。
变尺度法又称拟牛顿法，在牛顿法的基础上发展起来。被公 认为求解无约束优化问题最有效的方法之一，对解高维问题 具有显著地优越性。由Davidon (1959)提出，Fletcher & Powell(1963)进行了改进，又称DFP法。




索过程在可行域内进行;3求解过程中从可行域内部逐步逼近原约 束问题的最优解4惩罚项的作用是阻止迭代点越出可行域.5对于 i 1 j 1 等式约束，可行域只有边界点6罚因子r为递减，所得极小点序列 G ( gi ( X ))和H (h j ( X ))分别为人为构造的gi ( X )和h j ( X )的泛函； 可从可行域的内部逐步逼近x*.7内点法适合于对现有可行设计作 (k ) (k ) r1 和r2 (k 1, 2, )为正实数，人为构造的罚参数或罚因子。 改进，可为设计人员提供更多的选择机会。 内点法和外点法各有优缺点，综合两种方法，取长不短，便是混 问题归纳为在设计空间R n中，求函数的无约束极小 合惩罚函数法， 混合惩罚函数法对于等式约束和初始点X(0)所不 满足的不等式约束，采用外点法的惩罚项处理；对初始点X(0)所 min ( X , r1( k ) , r2( k ) ), X R n 满足的不等式约束，采用内点法的惩罚项处理。混合惩罚函数法 罚因子r1( k )和r2( k ) (k 1, 2, )，随迭代次数k的增大而不断 可同时处理具有等式和不等式约束的优化问题，对初始点的选择 调整，每调整一次，对惩罚函数作一次无约束优化，得到 也无特殊要求
进退法是一种通过比较函数值大小确定单峰区 间的方法。 基本思路：对单峰函数f(x)，任选 一个初始点x1及初始步长h，可确定两点，通 过比较这两点函数值的大小，来决定第三点的 位置，比较这三点的函数值大小，判断是否 “高—低—高”形态，若为肯定，即已找到单 峰区间，否则向前或后退继续寻求下一点。 二次插值法：基本思路：利用目标函数在不 同三点的函数值构成一个与原目标函数f(x) 相似的二次多项式p(x)，以函数p(x)的极值点 xp*作为目标函数f(x)的近似值。经过多次迭 代，逐步缩短区间，直至满足计算精度，最 终逼近函数f(x)的极值点。二次插值法又称 二次曲线拟合法或抛物线法。 缩短区间：可通过区间消去法逐步缩短区间。 黄金分割法又称0.618法，通过不断缩短区 间长度来寻求一维函数的极小点。基本思路： 在已确定单峰区间中，适当插入两点，利用 区间消除法，寻求极小点。缩短区间的原则： 等比收缩原则：区间每一次的缩短率不变 对称取点原则：所插入两点在区间中位置 对称
梯度法是最早的求解无约束多元函数极值的数值方法，1847 年由Cauchy提出。它是导出其他更为实用、更为有效的优化 方法的理论基础。因此，梯度法是无约束优化方法中最基本的 方法之一。基本思路：函数的负梯度方向是函数值下降最快的 方向。梯度法以负梯度方向作为搜索方向，即
S ( k ) f ( X ( k ) )或S ( k ) f ( X ( k ) ) f ( X ( k ) )
梯度法迭代过程简单，直观易懂，且对初始点的选取要求不严。梯度法 又称最速下降法。 1）梯度法理论明确，程序简单，计算量和存储量较小，对初始点的要求 不严格。 2）相邻两次搜索（迭代）的梯度方向是正交的。 3）收敛速度并不快。梯度法不能保证搜索方向直指极小点，仅能保证搜 索方向是一次的最速下降方向。 4）搜索路线呈锯齿形。接近极值点时收敛变慢。当目标函数等值线是扁 平的椭圆时，收敛更慢