复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2

第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明6不是有理数；
(2) 3+2是不是有理数?
证（1）反证法。

若6是有理数，
则可写成既约分数n
m
=6。

由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与
226n m =m k m 2=2223k n =n n
m
是既约分数矛盾。

（2）3+2不是有理数。

若3+2是有理数，则可写成既约分数
32+n m
=，于是222623n
m =++，252622−=n m ，即6是有理数，与
（1）的结论矛盾。

2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
<=320|sin πx x B ； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。

解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。

A max 12sin max ==π
B ；因为B x ∈∀，⎦⎤
⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2
sin
α
，x <2
sin
α
，所以B min 不存在。

C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀
，有C m n ∈+1，C m n ∈++1
1， 1
1
1++<
<+m n m n m n ，所以与都不存在。

C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；
A B ∪(2) 也是有界集。

S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有
{}21,max M M x ≤。

（2）设，
有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。

4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。

证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，
即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。

所以S sup −为集合T 的下确界，即。

S T sup inf −=5. 证明有界数集的上、下确界唯一。

证 设既等于S sup A ，又等于B ，且B A <。

取02
>−=
A
B ε，因为B 为集合的上确界，所以存在S S x ∈，使得A B x >−>ε，这与A 为集合的上确界矛盾，所以S B A =，即有界数集的上确界唯一。

同理可证有界数集的下确界唯一。

6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。

当sup S =inf S 时，数集S 有什么特点?
解 对于任意的，有S x ∈S x S sup inf ≤≤，所以。

当
S S inf sup ≥sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。

7. 证明非空有下界的数集必有下确界。

证 参考定理2.1.1的证明。

8. 设S }3|{2<∈=x x x 并且Q ，证明： (1) S 没有最大数与最小数；
(2) S 在Q 内没有上确界与下确界。

证 （1）S p q ∈∀，0>p q ，则32
<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛p q ，2<p q 。

取有理数充分小，使得0>r 2
234⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−<+p q r r ，于是<++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+r p q r p q r p q 22
2
2
3422
<++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r r p q ，即
S r p
q
∈+，所以没有最大数。

同理可证S S 没有最小数。

（2）反证法。

设S 在内有上确界，记Q m
n
S =sup （且互质），则显然有+∈N n m ,n m ,20<<m
n。

由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：
（i ）32<⎟⎠⎞⎜⎝⎛m n ，由（1）可知存在充分小的有理数，使得0>r 32
<⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+r m n ，
这说明
S r m
n
∈+，与m n S =sup 矛盾；
（ii ）32
>⎟⎠⎞⎜⎝⎛m n ，取有理数充分小，使得0>r 342
2−⎟⎠⎞⎜⎝⎛<−m n r r ，于是
>+−
⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−22
2
2r r m n m n r m
n
3422
>+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛r r m n ，这说明r m n −也是的上界，与S m
n
S =
sup 矛盾。

所以S 没有上确界。

同理可证S 没有下确界。

习 题 2.2 数列极限
1. 按定义证明下列数列是无穷小量：
⑴⎭⎬⎫⎩⎨⎧++112n n ； ⑵{()}；
(.)−1099n n ⑶⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+−n n 51； ⑷⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧++++3
321n n ； ⑸⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n 32； ⑹⎭
⎬⎫⎩⎨⎧!3n n ； ⑺⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n n !；
⑻⎭⎫⎩
⎨⎧−+−+++−n n n n n 21)1(21111 。

证 （1）)20(<<∀εε，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε2
N ，当时，成立N n >ε<<++<n n n 2
1102。

（2）)10(<<∀εε，取lg lg 0.99N ε⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，当时，成立 N n >lg lg0.99
(1)(0.99)(0.99)
n
n
εε−<=。

（3）)20(<<∀εε，取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ε21N ，当时，成立1N n >2
1ε<n
；取252log N ε⎡
⎤=⎢⎥⎣
⎦
，
当时，成立2N n >5n −2
ε
<；则当{}21,max N N N n =>时，成立1
5n n
ε−+<。

（4）)10(<<∀εε，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε1
N ，当时，成立 N n >ε<<+=+++<
n n
n n n 1
212102
3 。

（5）当时，有11>n 222
n 33
3(12)2n n n n n C =<+n
n n n 1)2)(1(86<−−=。

于是0>∀ε，取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡=ε1,11max N ，当时，成立N n >ε<<<n n n 1302。

（6）当，有5>n 5
5
521321!53!3−−⎟
⎠
⎞⎜⎝⎛⋅<⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛⋅≤n n n n 。

于是)30(<<∀εε，取
lg 351lg 2N ε⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎢⎥⎣⎦
⎥，当时，成立N n >ε<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅<<−5
213!30n n n 。

（7）记2n
的整数部分为，则有m m
n n n ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛<21!。

)10(<<∀εε，取
lg 241lg 2N ε⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当时，有N n >lg 112lg 2
N m
ε>−>，于是成立 ε<⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛<<m
n n n 21!0。

（8）首先有不等式n
n n n n n 121)1(21111
0<−+−+++−
< 。

)10(<<∀εε，取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ε1
N ，当时，成立N n >ε<<−+−+++−<n n n n n n
1
21
)1(21
11
1
0 。

2. 按定义证明下述极限：
⑴lim n →∞21322
3
22n n −+=； ⑵lim
n →∞
n n
n
21+=； ⑶lim n →∞()n n n 2
12
+−=；
⑷lim n →∞
32n n +=1； ⑸lim n →∞
x n =1,其中⎪⎩⎪
⎨⎧−+=−，
，是奇数是偶数n n n n n x n n ,101,。

证 （1）0>∀ε，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε1N ，当时，成立 N n > ε<<+=−+−2
2221
)23(37322312n n n n 。

（2）0>∀ε，取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε21
N ，当时，成立 N n >
ε<<
++=−+n
n
n n n
n
n 21
1122。

（3）0>∀ε，取⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε81
N ，当时，成立 N n >ε<<++=−
−+n
n n n n n n n 81)(221
)(222。

（4）令n n a n +=+123，则，。

当时，有0>n a 2
21)1(23n n
n n a C a n +>+=+3>n n n n n a n 3
)1()13(2<−+<
，所以0>∀ε，取⎦
⎤⎢⎣⎡=29εN ，当时，成立 N n >ε<<
=−+n
a n n n
3123。

（5）)10(<<∀εε，取⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εε1lg ,1max 2N ，当时，若是偶数，则成立N n >n ε<=
−n
x n 11；若n 是奇数，则成立ε<=
−n
n x 10
11。

3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：
(1) 对任意给定的ε>，存在0N ，使当n N >时成立；
x n n n <ε(2) 对任意给定的ε>，存在无穷多个,使｜｜＜ε。

0x x 解 （1）例如，则n x n −={}n x 满足条件，但不是无穷小量。

（2）例如⎪⎩⎪⎨⎧=是偶数
是奇数n n
n n
x n 1
，则{}n x 满足条件，但不是无穷小量。

4. 设k 是一正整数，证明：lim n →∞x n =a 的充分必要条件是。

lim n →∞x n k +=a 证 设，则lim n →∞x n =a 0>∀ε，N ∃，N n >∀，成立ε<−a x n ，于是也成
立ε<−+a x k n ，所以lim n →∞
x n k +=a ；
设lim n →∞
x n k +=a ，则0>∀ε，'N ∃，'N n >∀，成立ε<−+a x k n ，取
k N N +='，则，成立N n >∀ε<−a x n ，所以lim n →∞
x n =a 。

5. 设=，证明：lim n →∞x n 2lim n →∞x n 21+=a lim n →∞
x n =a 。

证 由=，可知lim n →∞x n 2lim n →∞x n 21+=a 0>∀ε，1N ∃，1N n >∀，成立ε<−a x n 2； ，，成立2N ∃2N n >∀ε<−+a x n 12。

于是取{}12,2max 21+=N N N ， ，
成立N n >∀ε<−a x n 。

6. 设，且,证明：x n ≥0lim n →∞x n =a ≥0lim n →∞
x n =a 。

证 首先有不等式a x a x −≤−。

由lim n →∞
x n a =，可知0>∀ε，，
，成立N ∃N n >∀2ε<−a x n ，于是
ε<−≤
−n n n n a x a x 。

7. {}是无穷小量，{}是有界数列，证明{}也是无穷小量。

x n n n n y x y 证 设对一切，n M y n ≤。

因为{}是无穷小量，所以x n 0>∀ε，，
，成立N ∃N n >∀M
x n ε
<。

于是N n >∀，成立ε<n n y x ，所以{}也是
无穷小量。

x n y n 8. 利用夹逼法计算极限：
(1) lim n →∞
n
n 1
13
1211⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛++++ ；
(2) lim n →∞
⎜
⎝⎛+1
1
n + 12n + + … + ⎟⎟⎠
⎞
+n n 1 ； (3) lim
n →∞
∑
+=22
)1(1n n
k k
；
(4) lim
n →∞
135212462⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅ ()
()
n n 。

解（1）由n n
n n <⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++++<113
121
11 与 1lim =∞
→n n n ，可知
lim n →∞113
1
2111
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++n
n 。

（2）由⎜⎝⎛+<+11
n n n n
+ 12n + + … + 11+<⎟⎟⎠⎞+n n n n ，1lim =+∞
→n
n n n 与11
lim
=+∞→n n
n ，可知
lim n →∞
⎜
⎝⎛+1
1
n +
12n + + … + 11=⎟⎟⎠
⎞
+n n 。

（3）由n n k n n n n
k 2
2112222
2)1(+<
<++=∑+= 与 222lim =+∞→n n n ，可知 lim
n →∞
∑
+=2
2
)1(1n n k k
2=。

（4）应用不等式)12)(12(2+−>k k k ，得到1
21)
2(642)
12(5310+<
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅<n n n ，
由01
21lim
=+∞
→n n ，可知
lim
n →∞
0)
2(642)
12(531=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅n n 。

9. 求下列数列的极限：
⑴lim n →∞341
22n n n +−+1
;
⑵lim n →∞n n n n n 3232323
+−+−+1
; ⑶lim n
→∞3313
13n n n n ++++(); ⑷
lim n →∞
()si n n n 2112
+−πn
; ⑸lim n →∞
n n n (+−1); ⑹lim n →∞
n n n ()2411+−+; ⑺lim
n →∞
1n n
!
; ⑻lim n →∞⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−2211⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2311…⎟⎠⎞⎜⎝⎛−211n ；⑼lim n
→∞
;
⑽lim n →∞⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++n
n 2122
3212 。

解（1）lim
n →∞341
∞→=n lim 1
22n n n +−+3111
432
2=+−+
n n
n 。

（2）lim
n →∞
n n n n n 32
3231
+∞→=n lim 23
+−−+2131213213
232=+−+−+
n
n n n n 。

（3）lim n →∞313)
1(33++++n n n n ∞→=n lim ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++++133
3)1(1331n n
n n 31=。

（4）因为lim n →∞
112=+n n ，1|2
sin
|≤π
n ，所以 lim n →∞()sin
n n n 2112
+−π
0=。

（5）lim n →∞
n n n ()+−1∞
→=n lim
=++n
n n 1lim
n →∞
=
++1111n
2
1。

（6）lim n →∞
n n n ()2
4
11+−+)11)(11(]
)1(1[lim
24
222+++++++−+=∞→n n n n n n n n
)11)(11(2lim
24
2++++++−=∞→n n n n n
n n
=++++++−=∞→)
1
111)(1111(2
lim
242n n
n n n 21−。

（7）lim
n →∞11
lg1lg lg
2n n
+++=−∞ ，所以 lim
n →∞
=n
n !
1
0。

（8）lim n →∞
⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−
2211⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−231
1…⎟⎠
⎞⎜⎝⎛
−211n
∞
→=n lim
=+−⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅22222)
1)(1()1()2(453342231n
n n n n n lim n →∞=+n n 2121。

（9
）1<<lim n →∞
12=n n ，所以
lim
n
→∞
=1。

（10）设 n n n x 212252321
32−++++
= ，则 1
22
1
2252312−−+++=n n n x ，两式相减，得到 n n n n x 2
12)21212
1
1(122−−+++
++=− 。

由 ∞
→n lim 22121211(22=++++
−n ，02
1
2lim =−∞→n n n ，可知 3lim =∞
→n n x 。

10. 证明：若（），且0>n a ,2,1=n 1lim 1
>=+∞→l a a n n
n ，则。

0lim =∞→n n a 证 取，由l r <<11lim
1>=+∞
→l a a n n
n ，可知N n N >∀∃,，成立11
>>+r a a n n ，于是1
110−−+⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛<<N n N n r a a 。

由1
11lim 0n N N n a r −−+→∞⎧⎫⎪⎪⎛⎞
=⎨⎬⎜⎟⎝⎠⎪⎪⎩⎭
可知 0lim =∞
→n n a 。

11．证明：若（），且0>n a ,2,1=n a a a n
n n =+∞→1
lim
，则a a n n n =∞→lim 。

证 由n n n n n a a a a a a a a 123
121−⋅⋅⋅⋅
= 及a a a n
n n =+∞→1lim ，可知
a a n n n =∞
→lim 。

12. 设(a a )存在，证明：
lim n →∞
a n 12+++ (1) lim n →∞
1212n
a a na n ()+++ = 0；
(2) lim n →∞
(!)n a a a n n
⋅121 =
0 (, i = 1,2,…,n )。

a i >0
解（1）设，n n S a a a =+++ 21lim n →∞a S n =，则由可知 ka nS S k k n n k n ==−∑∑=−111
k lim n →∞0]111[lim lim 111
1=−=−⋅−−=∑∑−=∞→∞→=a a S n n n S ka n n k k n n n n k k 。

（2）由n n a a a n 121)!(0 ⋅<)2(121n na a a n
+++≤ 与（1），即得到 lim n →∞(!)n a a a n n
⋅121
= 0。

13. 已知lim n →∞a n =a ，lim n →∞
b n b =，证明： lim n →∞a b a b a b n
ab n n n 1211+++=− 。

证 令n n n n b b a a βα+=+=,，由lim n →∞a n =a ，lim n →∞b n b =，可知lim n →∞0=n α，lim n →∞0=n β。

设，+∈∀N n M n ≤β。

因为
+=+++−ab n b a b a b a n n n 1121 ∑=n k k n b 1α∑=+n k k n a 1β∑=+−+n k k n k n 111βα， ∑=+−≤n k k n k n 11||1βα||1∑=n
k k n M α，
由01lim 1=∑=∞→n k k n n α，01lim 1=∑=∞→n k k n n α
及 01lim 1=∑=∞→n k k n n β，得到 lim
n →∞a b a b a b n
ab n n n 1211+++=− 。

14. 设数列{a }满足n lim n →∞a a a n
n 12+++ =a −∞(＜＜a )∞+。

证明： lim n →∞a n n = 0。

证 因为=+++−∞→n
a a a n n 121lim lim n →∞a n a a a n n n =−+++⋅−−11(121 ，所以 lim n →∞a n n =lim n →∞n a a a n +++ 21(0)121=+++−−n
a a a n 。

19。