2018年最新 湖南省长沙雅礼中学2018届高三4月调研考试数学(文科)试卷附答案 精品

长沙市雅礼中学2018届高三月考试卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1M=｛x ｜x 2-x ＜0,x ∈R },N=｛x ｜｜x ｜＜2,x ∈R }，则A NM C M ∪N=M D M ∪N=R2.已知向量a ＝(－1，3)，向量b ＝(3，－1)，则a 与b 的夹角等于A.6πB.2πD.67π 3.已知函数f (x )=3x －1，则它的反函数y =f －1(x )的图象是(D)4.若21-=a ，则-+-22161161a C a C (16)1616151516a C a C +-的值为A.82- B. 82 C.()1622- D.()1622+5“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件；B 必要不充分条件；C 充要条件；D 既不充分又不必要条件 6.曲线y =2x 4上的点到直线y =－x －1的距离的最小值为A.2B.22 C.327.函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f (x )=a 有且只有一个实根，那么a 满足A.a <0B.0≤a <1C.a =1D.a >18.对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 18＜4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部.若点M (x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y =2(x + x 0)与曲线C A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点D.没有公共点9..如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如318，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是A.240B.285C.729D.920 1o ．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为B k 1+k 2=0C k 1+k 2<0D k 1+k 2可取任意实数 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．11．已知x,y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最小值为________________.112．若函数()||f x a x b =-在[0,)+∞上为减函数，则实数a b 的取值范围是 ______0,0a b <≤13．从圆的10. 现从这10个点任取3个点，要构14.已知等差数列}{n a ，若数列}{n b 满足na a ab nn +++=21，则数列}{n b 也是等差数列，类比这一性质，相应地已知等比数列}{n c 中，0>n c ，若n d = ，则数列}{n d15、如图所示，二面角βα--CD 的大小为θ，点A 在平面α内，ACD ∆的面积为s ，且m CD =，过A 点的直线交平面β于B ，CD AB ⊥，且AB 与平面β所成的角为30°，则当=θ________时，BCD ∆的面积取得最大值为_________。

解:S 2,3π过A 作AH β⊥，连结BH 交CD 于E ，连结AE θ=∠∴AEB ，CD AE ⊥， 设mSh S mh h AE 2,21,===，BCD S CD BE ∆⊥,最大，则BE 最大。

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=︒θπ65sin 30sin BE h165s i n ,65s i n 2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπθπh BE 时，BE 最大。

h BE 2,3,265max ===-πθπθπ BCD ∆的面积最大值为 ()S mS m BE m 2222121max =⋅⋅=⋅⋅三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.本小题满分12分)已知函数2()2sin cos f x x x x =- (1) 求函数()f x 的单调递增区间； (2) 若将()f x 的图象按向量(,0)3π-平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍，得到函数()g x 的图象，试写出()g x 的解析式 解:(1)∵f(x)= 23cos 2x-2sinxcosx-3=3(cos2x+1)-sin2x-3 =2cos(2x+6π)22 267,1212k x k k x k k Z ππππππππ-≤+≤∴-≤≤-∈(2)f(x)=2cos(2x+6π))652cos(23ππ+=−−−→−x y 向左平移)654cos(221π+=−−−−−−→−x y 倍横坐标缩小到原来的 ∴g(x)=2cos(4x+65π) 17.(本小题满分12分)中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束。

因两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等。

据以往资料统计，第一场比赛组织者可获门票收入30万元，以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元，当两队决出胜负后，问：⑴组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛多少场？ ⑵组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少？ 解:⑴2010,40,3021+===n a a a n ，0365,180250102=-+=⋅+=n n n n S n ()()049=-+n n ，∴=,4n 比赛4场收入180万元。

⑵330≥n S ，则6,6652≥∴≥+n n n （i ）比赛6场，则前5场为2:3且为领先一场的人获胜。

()1653210216535==⎪⎭⎫⎝⎛⋅=C P （ii ）比赛7场，则前6场为3:3()∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,165217636C P 收入大于330万元的概率为()()625.085161076===+P P18.本小题满分14分)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=AC=AA 1=3a,BC=2a,D 是BC 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF=2a. (1)求证：B 1F ⊥平面ADF ；(2)求平面ADF 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值.FC 1A解:法1 :（1）因为AB=AC,D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC. 又平面CC 1B 1B ⊥ABC ，则AD ⊥平面CC 1B 1B. B 1F 在平面CC 1B 1B 内， AD ⊥B 1F. ┈4分 在矩形CC 1B 1B 中 tan ∠C 1B 1F=tan ∠CFD=21，所以∠C 1B 1F=∠CFD ， ∠C 1FB 1+∠CFD=∠C 1FB 1+∠C 1B 1F=900,因此FD ⊥B 1F ,即证B 1F ⊥平面ADF ；………………7分 (2)延长FD ，B 1B 交于G ，则AG 为所求二面角的棱.由Rt ΔFCD ≌Rt ΔGBD,所以CF=GB=2a.过B 1作B 1H ⊥AG ,且B 1H 与AG 交于H.又 B 1F ⊥平面ADF ，FH ⊥AG , ∠B 1HF 为所求二面角的平面角. ……………………9分由Rt ΔABG ∽Rt ΔB 1HG ,解得B 1H =1315a .而B 1F=21211F C C B +， =a 5，sin ∠B 1HF=1565， 即所求二面角的正弦值是1565. ……………14分 法2: 以D 为坐标原点，DA DB DD 1分别为x y z 轴建立空间直角坐标 系（D 1是C 1B 1的中点），易知A （22a,0,0）, B(0,a,0) ,F(0,-a,2a),B 1(0,a,3a), ┈4分),2,0(1a a B --=, )2,,0(a a -=,)0,0,22(a =,由01=⋅DF F B 且01=⋅DA F B ，得B 1F ⊥DF, B 1F ⊥DA,即B 1F ⊥平面ADF ； …………6分 （2）由（1）知)0,,22(a a -=，)3,0,0(1a BB =，设平面AA 1B 1B 的一个法向量为)0,,(y x n =，则01=⋅n BB 且0=⋅，可取)0,22,(a a =，…………9分 由cos<B 1,11=-15104得， sin<B 1,>=1565.即所求值1565.…………12分ABCD FA 1B 1C 1GH19.(本小题满分12分){a n },{b n }都是各项为正数的数列，对任意的正自然数n ，都有a n 、b n 2、a n +1成等差数列，b n 2、a n +1、b n +12成等比数列.(1)试问{b n }是否是等差数列？为什么？(2)求证：对任意的正自然数p ,q (p ＞q ),b p －q 2+b p +q 2≥2b p 2成立； (3)如果a 1=1,b 1=2,S n =na a a 11121+++ ，求S n . .解：依题意2b n 2=a n +a n +1， ①a n +12=b n 2·b n +12. ②(1)∵a n ＞0，b n ＞0，∴由②式得a n +1=b n ·b n +1，从而n ≥2时，a n =b n －1·b n ,代入①2b n 2= b n －1b n +b n b n +1,∴2b n =b n －1+b n +1(n ≥2), ∴{b n }是等差数列. 4分(2)因为{b n }是等差数列，∴b p －q +b p +q =2b p .∴b p －q 2+b p +q 2≥2222)(p q p q p b b b =++-.8分(3)由a 1=1,b 1=2及①②两式易得a 2=3,b 2=223， ∴{b n }中公差d =22，∴b n =b 1+(n －1)d =22(n +1), ∴a n +1=21(n +1)(n +2).③又a 1=1也适合③,∴a n =2)1(+n n (n ∈N ), ∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n , ∴S n =2［1－)111()3121(21+-++-+n n ］=2(1－11+n ), 20.(本小题满分13分)已知动点P 与双曲线3222y x -=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos F 1PF 2的最小值为－91． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若已知D (0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围． 解：(1)由题意c 2=5，设|PF 1|+|PF 2|=2a (a ＞5)，由余弦定理得cos F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+=||||102212PF PF a ⋅-－1．又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2，3分当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|·|PF 2|取最大值，此时cos F 1PF 2取最小值22102a a -－1，令22102aa -－1=－91，解得a 2=9. ∵c =5，∴b 2=4，故所求P 的轨迹方程为4922y x +=1. 7分(2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由=λ，可得 (x ，y －3)=λ(s ，t －3)，故x =λs ，y =3+λ(t －3)，9分∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故4922t s +=1且9) (2s λ+4)33(2λλ-+t =1.消去s ，可得4)33(222t t λλλ--+=1－λ2，解得t =λλ6513-.又|t |≤2，∴|λλ6513-|≤2，解得51≤λ≤5. 故实数λ的取值范围是［51，5］.13分21.(本小题满分14分)设函数f (x )=x 2+2bx +c (c ＜b ＜1)，f (1)=0，且方程f (x )+1=0有实根． (1)证明：－3＜c ≤－1，且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )+1=0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明 (1)证明：f (1)=0⇒1+2b +c =0⇒b =－21+c . 又c ＜b ＜1，故c ＜－21+c ＜1⇒－3＜c ＜－31.4分方程f (x )+1=0有实根，即x 2+2bx +c +1=0有实根，故Δ=4b 2－4(c +1)≥0． (c +1)2－4(c +1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1． 又c ＜b ＜1，得－3＜c ≤－1，由b =－21+c 知b ≥0． 8分(2)解： f (x )=x 2+2bx +c =x 2－(c +1)x +c =(x －c )(x －1)， f (m )=－1＜0.∴c ＜m ＜1，∴c －4＜m －4＜－3＜c .∴f (m －4)=(m －4－c )(m －4－1)＞0，∴f (m －4)的符号为正．14分长沙市雅礼中学2018届高三月考试卷数 学（文史类）答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． １．Ｂ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｄ ６．Ｃ ７．Ａ ８．Ｃ ９．Ｄ 10．Ｂ二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11．35 12． 4 13．－2 14． 015．（i ）220；（ii ）)21(801976≤≤+=t t S三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（１）正确接收一个信号的概率为(1－0.18)×(1－0.18)＝0.9185 …………………………………………………… 2分 错误接收一个信号的概率为0.18×0.18＝0.0185 ……………………………… 4分 ∴接收方接收一个信号的概率为0.9185＋0.0185＝0.918 …………………… 6分 （２）考虑对立事件，错误接收一个信号的概率为 C 23×0.182×0.95＋C 33×0.183＝0.01825∴正确接收一个信号的概率为1－0.01825＝0.99275． …………………………12分 17．(本小题满分12分)解:（１）()+⋅=⋅=+⋅AB AB 132=-=⋅．.2=即AB 边的长度为2．………………………………………………………5分 另解:用数量积的定义结合余弦定理即得2=c ．（２）由已知及（１）有,1cos 2=A b (),3cos 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos =， ………………………………………………………………8分 由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin =， ………………………………………10分 ∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A ． ……………………12分18．(本小题满分12分)解：（１）过P 作MN ∥B 1C 1，分别交A 1B 1、D 1C 1于M 、N ，则M 、N 是A 1B 1、D 1C 1的中点，连MB ，NC 由四边形BCNM 是平行四边形， …………………………………………2分 ∵E 、M 分别为AB 、A 1B 1中点，∴A 1E ∥MB又MB ⊂平面PBC ，∴A 1E ∥平面PBC ． ……………………………………………4分 （２）36arcsin． ……………………………………………………………………8分 （３）2=k ． ………………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（１）∵{b n -2} (n ∈Z +)为等比数列，又b 1-2=4，b 2-2=2，b 3-2=1，∴公比21=q ，12142-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-n n b ，12142-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=n n b (n ∈Z +) ． ……………… 4分（２）∵{a n+1-a n } (n ∈Z +)是等差数列，又a 2-a 1=-2，a 3-a 2=-1，∴公差d=1，a n+1-a n =-2+(n-1)=n-3，于是a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=[(n-1)-3]+[(n-2)-3]+…+(1-3)+6=62)6)(1(6)1(32)1(+--=+---n n n n n (n ∈Z +)． …………………………… 8分 （３）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--121142)6)(1(n n n n n b a ，∵121-⎪⎭⎫⎝⎛-n 随正整数n 的增加而增加 ∴当n ≥6时，218312114566>=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≥-b a b a n n , 又0332211=-=-=-b a b a b a ， 2181142)2(344=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-b a ，2147161142)1(455>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-b a ， 由此可见，不存在k ∈Z +，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-21,0n n b a .………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（１）设),0(1:2222>>=+b a bx a y C 设222,0b a c c -=>，由条件知22,2222===-a c c b c c a ，22,1===∴c b a ， 故C 的方程为：12122=+x y ． ……………………………………………………4分 （２）由λ= 得)(-=-λ+=+∴)1(λ，41=+∴λ ， 3=λ ． ……………………………………………………………6分 （另解：向量坐标化也可以得到3=λ）设l 与椭圆C 交点为),(),,(2211y x B y x A ⎩⎨⎧=++=1222y x m kx y 得0)1(2)2(222=-+++m kx x k ，当0)22(4)1)(2(4)2(22222>+-=-+-=∆m k m k km 时，22221+-=+k km x x ，212221+-=k m x x ． ………………………………………………8分因PB AP 3= 即213x x =-，故⎩⎨⎧-=-=+222122132x x x x x x 消 2x 得212214)(3x x x x ++=0， 0214)22(32222=+-++-∴k m k km ，整理得 02242222=--+k m m k ． …………10分412=m 时，上式不成立；所以412≠m ，得1422222--=m m k ，因03≠∴=k λ 0142222>--∴m m ，1412<<∴m ，即211-<<-m 或121<<m ， 即所求m 的取值范围为)1,21()21,1( --． …………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（１）∵2()323f x x bx c '=++，(1)0f '=，∴3230b c ++=，∴233b c +=-． …………1分2()320g m m bm c '=++=，即2233203b m bm ++-=，∴2(26)93m b m -=-．……3分①当260m -=，即13m =时，上式不成立． …………………………………………4分②当260m -≠，即13m ≠时，29326m b m -=-．由条件302b -<<，得到23930226m m --<<-．由2933262m m ->--，解得0m <或113m <<． ……………………………………………5分由293026m m-<-，解得13m <<或m > ………………………………………6分∴ m 的取值范围是0m <<1m <<．………………………………………7分（２）有一个实根． ………………………………………………………………………8分 ()0F x =，即3233440x bx cx +++=．记32()3344Q x x bx cx =+++，则2()964Q x x bx c '=++．∵302b -<<，233b c +=-∴10c -<<．………………10分 ∴ △＞0，故()0Q x '=有相异两实根1212()x x x x <，．121224,39x x b x x c +=-⋅=，∴12120140.9x x x x <+<⎧⎪⎨-<<⎪⎩， 显然120x x <<，1249x x >-， ∴1222419x x x x ->+>+，∴2229940x x --<，∴2403x <<． ………………………12分 于是22222218()()433Q x x Q x bx cx '=⋅+++2228043bx cx =+++1632499b c >++ 8(24)49b c =++8(3)49c =-+32409->+>． 而2x 为三次函数()Q x 的极小值点，故()Q x 与x 轴只有一个交点．∴ 方程()0F x =只有一个实根．……………………………………………………14分。