2018年最新 湖南省长沙雅礼中学2018届高三4月调研考试数学(文科)试卷附答案 精品
湖南省雅礼中学2018届高三上学期第三次月考数学试题 PDF版含答案

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【数学】湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考试题(文)

湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考数学试题(文)第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合{}(,)|2M x y x y =+=,{}(,)|2N x y x y =-=,则集合M N =( )A .{}0,2B .(2,0)C .{}(0,2)D .{}(2,0)2.欧拉公式i e cos isin xx x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉法明的,他将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,他在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,2ie 表示的复数在复平面中位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知函数2lg(54)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=,则tan()αβ+=( ) A .53B .53-C .52D .52-4.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为( ) A .110B .16C .15D .565.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图①所示,A ,B ,C 分别是GHI ∆三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为( )6.设等差数列{}n a 满足27a =,43a =,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则使得0n S >的最大的自然数n 是( )A .7B .8C .9D .107.如图程序框图中,输入ln 2x =,3log 2y =,12z =,则输出的结果为( )A .ln 2B .3log 2C .12D .无法确定8.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ,P 为双曲线左支上一点,点A ,则APF ∆周长的最小值为( ) A.4B.4(1C.D9.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且s i n ()3c B π+=,20CA CB ⋅=,7c =,则ABC ∆的内切圆的半径为( )AB .1C .3D10.抛物线C :22(0)x py p =>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合,过点F 的直线交C 于点A 、B ,点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ,若OMN ∆的面积为12,则||AF 的长为() A .2B .3C .4D .511.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,1)-处标2,点(0,1)-处标3,点(1,1)--处标4,点(1,0)-处标5,点(1,1)-处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签22017的格点的坐标为( )A .(2017,2016)B .(2016,2015)C .(1009,1008)D .(1008,1007)12.已知函数3()1f x x a =-++(1e ex ≤≤,e 是自然对数的底数)与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A .310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B .30,e 4⎡⎤-⎣⎦C .3312,e 4e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D .3[e 4,)-+∞, 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题13.若变量x ,y 满足不等式组20,5100,80,x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则2y z x =+的最大值为 .14.如图,有5个全等的小正方形,BD xAE yAF =+,则x y +的值是 .15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ,底面ABCD 是矩形,面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ===,4AB =,则球O 的表面积为 .16.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地,ABC ∆外的地方种草,ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花,若BC a =,ABC θ∠=,设ABC ∆的面积为1S ,正方形PQRS 的面积为2S ,当a 固定,θ变化时,称12S S 为“规划合理度”,则“规划合理度”的最小值是 .三、解答题17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知11326a a +=,981S =. (1)求{}n a 的通项公式; (2)令121n n n b a a ++=,12n n T b b b =+++…,若300n T m -≤对一切*n N ∈成立,求实数m 的最小值.18.如图所示的矩形ABCD 中,122AB AD ==,点E 为AD 边上异于A ,D 两点的动点,且//EF AB ,G 为线段ED 的中点,现沿EF 将四边形CDEF 折起,使得AE 与CF 的夹角为60︒,连接BD ,FD .(1)探究:在线段EF 上是否存在一点M ,使得//GM 平面BDF ,若存在,说明点M 的位置,若不存在,请说明理由;(2)求三棱锥G BDF -的体积的最大值,并计算此时DE 的长度.19.环境问题是当今世界共同关注的问题,我国环保总局根据空气污染指数 2.5PM 溶度,制定了空气质量标准:某市政府为了打造美丽城市,节能减排,从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数,绘制了频率分布直方图,经过分析研究,决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行,即车牌尾号为单号的车辆单号出行,车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号为字母的,前13个视为单号,后13个视为双号).王先生有一辆车,若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m 的值;(2)若按分层抽样的方法,从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天,再从这6天中随机抽取2天,求至少有一天空气质量中度污染的概率;(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响,对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计,其结果如表:根据限行前6年180天与限行后60天的数据,计算并填写22 列联表,并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.参考数据:参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.20.已知1F ,2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,1F 是抛物线2C :24x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆1C 的方程;(2)与圆22(1)1x y ++=相切的直线l :()y k x t =+(其中0kt ≠)交椭圆1C 于点A ,B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数2λ的取值范围.21.已知函数()ln f x x =,21()2g x ax bx =+,0a ≠. (1)若2b =,且()()()h x f x g x =-存在单调递减区间,求实数a 的取值范围; (2)设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P ,Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C ,2C 于点M ,N ,证明:1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为,x m y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+,且直线l 经过曲线C 的左焦点F . (1)求m 的值及直线l 的普通方程;(2)设曲线C 的内接矩形的周长为L ,求L 的最大值.23.选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式||x a b +≤的解集为[]6,2-. (1)求实数a ,b 的值; (2)若实数y ,z 满足1||3ay z +<,1||6y bz -<,求证:2||27z <.【参考答案】一、选择题1-5:DBCBA6-10:CABDA11、12:CB 二、填空题13.1 14.1 15.64π316.94三、解答题17.解:(1)∵等差数列{}n a 中,11326a a +=,981S =, ∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,a a =⎧⎨=⎩∴751392752a a d --===-, ∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-. (2)∵1211111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-++++w ,∴1111111111()()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++…, ∵111()2323n -+随着n 的增大而增大, ∴{}n T 递增,又1023n >+, ∴16n T <,∴5m ≥,∴实数m 的最小值为5.18.(1)证明:如图所示,取线段EF 的中点M , 因为G 为线段ED 的中点,M 为线段EF 的中点, 故GM 为EDF ∆的中位线,故//GM DF ,又GM ⊄平面BDF ,DF ⊂平面BDF ,故//GM 平面BDF .(2)解:∵//CF DE ,且AE 与CF 的夹角为60︒, 故AE 与DE 的夹角为60︒, 过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ,所以DE EF ⊥,AE EF ⊥,故DP 为点D 到平面ABFE 的距离, 设DE x =,则4AE BF x ==-, 由(1)知//GM DF , 故1111(4)332)G BDF M BDF D MBF MBF V V V S DP x xx x ---∆⎡⎤===⋅⋅=⨯⨯⨯-⎢⎥⎣⎦=-⋅≤当且仅当4x x -=时等号成立,此时2x DE ==. 故三棱锥G BDF -的体积的最大值为3,此时DE 的长度为2. 19.解:(1)因为限行分单双号,王先生的车被限行的概率为0.05, 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.0520.1⨯=,由频率分布直方图可知:(0.0040.0060.005)500.11m +++⨯+=,解得0.003m =. (2)因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为0.3:0.152:1=,按分层抽样从中抽取6天,则空气质量良好天气被抽取4天,记作1A ,2A ,3A ,4A , 空气中度污染天气被抽取2天,记作1B ,2B ,从这6天中随机抽取2天,所包含的基本事件有:12(,)A A ,13(,)A A ,14(,)A A ,11(,)AB ,12(,)A B ,23(,)A A ,24(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,34(,)A A ,31(,)A B ,32(,)A B ,41(,)A B ,42(,)A B ,12(,)B B 共15个,记事件A 为“至少有一天空气质量中度污染”,则事件A 所包含的基本事件有:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,41(,)A B ,42(,)A B ,12(,)B B 共9个, 故93()155P A ==, 即至少有一天空气质量中度污染的概率为35. (3)列联表如下:由表中数据可得22240(90223890) 3.214 2.70618060128112K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.20.解:(1)由题意得1(0,1)F ,所以221a b -=,又由抛物线定义可知15||13M MF y =+=, 得23M y =,于是易知2()33M -,从而27||3MF ==, 由椭圆定义知,122||||a MF MF =+4=,得2a =,故23b =, 从而椭圆1C 的方程为22134x y +=. (2)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,00(,)P x y ,则由OA OB OP λ+=知,120x x x λ+=,120y y y λ+=,且2200134x y +=,① 又直线l :()y k x t =+(其中0kt ≠)与圆22(1)1x y ++=1=,由0k ≠,可得221tk t =-(1t ≠±,0t ≠),② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=,且0∆>恒成立,且2122643k t x x k +=-+,2212231243k t x x k -=+,所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++,代入①式,得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++, 所以2222443k t kλ=+, 又将②式代入得,2222411()1t tλ=++,0t ≠,1t ≠±,易知22211()11t t ++>,且22211()13t t ++≠,所以244(0,)(,4)33λ∈. 21.解:(1)2b =时,21()ln 22h x x ax x =--,则1'()2h x ax x =--221ax x x+-=-,因为函数()h x 存在单调递减区间,所以'()0h x <有解, 又因为0x >,则2210ax x +->有0x >的解, 所以22121(1)11a x x x>-=--≥-, 所以a 的取值范围为(1,0)(0,)-+∞.(2)设点P 、Q 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,120x x <<, 则点M ,N 的横坐标为122x x x +=,1C 在点M 处的切线斜率为12112212|x x x k x x x +===+, 2C 在点N 处的切线斜率为121222()|2x xx a x x k ax b b +=+=+=+, 假设1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线平行,则12k k =,即1212()22a x xb x x +=++,则222221212122112121122()()()()()ln ln ,222x x a a ax x b x x x bx x bx y y x x x x -=-+-=+-+=-=-+所以2212112(1)ln 1x x x x x x -=+,设21xt x =,则2(1)ln 1t t t -=+,1t >,①令2(1)()ln 1t r t t t -=-+,1t >,则22214(1)'()(1)(1)t r t t t t t -=-=++, 因为1t >时,'()0r t >,所以()r t 在(1,)+∞上单调递增,故()(1)0r t r >=, 则2(1)ln 1t t t->+,这与①矛盾,假设不成立, 故1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.22.解:(1)因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+,即222sin 4ρρθ+=,将222x y ρ=+,sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=,所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=,于是2222c a b =-=,(F , 直线l 的普通方程为x y m -=,将(F代入直线方程得m =,所以直线l 的普通方程为0x y -=.(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos )θθ(π02θ<<),所以椭圆C的内接矩形的周长为2(4cos ))L θθθϕ=+=+(其中tan ϕ=,此时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值23.解:(1)由||x a b +≤,得b x a b -≤+≤,即b a x b a --≤≤-,则6,2,b a b a --=-⎧⎨-=⎩解得2,4a b =⎧⎨=⎩.(2)由(1)可知,1|2|3y z +<,1|4|6y z -<, 又因为9|||(2)2(4)||2|2|4|z y z y z y z y z =+--≤++-1122363<+⨯=,所以2||27z <.。
2018年高考文科数学4月调研测试卷(附参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 文科数学文科数学测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U R =,集合{1012}A =-, , , ,2{|log 1}B x x =<,则()U A B =I (A ){12},(B ){102}-, ,(C ){2}(D ){10}-,(2)复数z 满足(12i)3i z +=+,则=z(A )1i - (B )1i +(C )1i 5- (D )1i 5+ (3)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若73=a ,123=S ,则=10a(A )10(B )28(C )30(D )145(4)已知两个非零向量a r ,b r 互相垂直,若向量45m a b =+u r r r 与2n a b λ=+r r r共线,则实数λ的值为(A )5 (B )3(C )2.5 (D )2(5)“1cos 22α=”是“ππ()6k k Z α=+∈”的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(6)执行如图所示的程序框图,如果输入的[22]x ∈-, ,则输出的y 值的取值范围是(A )52y -≤或0y ≥ (B )223y -≤≤(C )2y -≤或203y ≤≤(D )2y -≤或23y ≥(7)曲线250xy x y -+-=在点(12)A , 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(A )9(B )496(C )92(D )113(8)已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-,且(1)2f =,则(2018)(2019)f f +的值为(A )2-(B )0(C )2 (D )4CA BD(9)如图,在矩形ABCD 中,2AB =,3AD =,两个圆的半径都是1,且圆心12O O ,均在对方的圆周上,在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 (A(B(C (D (10)设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y轴右侧的第一个交点为A ,过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ,则线段AB 的长度为(A(B )2(C(D )(11)某几何体的三视图如图所示,其正视图为等腰梯形,则该几何体的表面积是(A )18(B )8+(C )24(D )12+(12)设集合22{()|(3sin )(3cos )1}A x y x y R ααα=+++=∈, , ,{()|34100}B x y x y =++=, ,记P A B =I ,则点集P 所表示的轨迹长度为 (A )(B )(C )(D )第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(文科)(三)

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(文科)(三)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个,选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.(5分)复数(i为虚数单位)等于()A.1B.﹣1C.i D.﹣i2.(5分)若集合,,则A∩B=()A.[﹣∞,1]B.[﹣1,1]C.∅D.13.(5分)已知向量=(1,2),向量=(x,﹣2),且⊥(﹣),则实数x等于()A.9B.4C.0D.﹣44.(5分)已知数列{a n}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)的值为()A.B.C.D.5.(5分)若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0(a是实数)的距离为1,则a等于()A.±1B.C.D.6.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,若角B=,a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是()A.B.C.D.7.(5分)如图,函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=﹣x+8,则f (5)+f′(5)=()A.B.1C.2D.08.(5分)若将函数的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象关于y轴对称,则实数m的最小值为()A.B.C.D.9.(5分)不等式组,所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D.10.(5分)阅读下面的程序框图,则输出的S=()A.14B.20C.30D.5511.(5分)函数,则集合{x|f(f(x))=0}元素的个数有()A.、2个B.3个C.4个D.5个12.(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(2018)+f(log220)=()A.1B.C.﹣1D.﹣二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),其中正视图是直角梯形,侧视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是cm3.14.(5分)已知,则x+y的最小值为.15.(5分)已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|P A|的最小值为.16.(5分)若关于x的不等式(2x﹣1)2<ax2的解集中整数恰好有3个,则实数a的取值范围是.三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S n=a n+1﹣1(n∈N*).(1)证明数列{a n}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)若a n=a n+(﹣1)n log2a n,求数列{b n}的前2项的和T2n.18.(12分)如图,P A垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=P A=2,CD=2,E,F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF⊥平面PCD.(2)求三棱锥P﹣EFC的体积.19.(12分)为了了解某学校高二年级学生的物理成绩,从中抽取n名学生的物理成绩(百分制)作为样本,按成绩分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],频率分布直方图如图所示.成绩落在[70,80)中的人数为20.男生女生合计优秀不优秀合计(Ⅰ)求a和n的值;(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m;(Ⅲ)成绩在80分以上(含80分)为优秀,样本中成绩落在[50,80)中的男、女生人数比为1:2,成绩落在[80,100]中的男、女生人数比为3:2,完成2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关.参考公式和数据:K2=.P(K2≥k)0.500.050.0250.005k0.455 3.841 5.0247.87920.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点,若|AB|=16(1)求抛物线的方程;(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点,求过A、B、C、D四点的圆的方程.21.(12分)已知函数f(x)=alnx+.(1)若x=是f(x)的极值点,求a的值,并求f(x)的单调区间;(2)在(1)的条件下,当0<m<n时,求证:f(m+n)﹣f(2n)<+.[坐标系与参数方程]22.(10分)已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos(θ﹣)+6=0.(1)将圆的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值与最小值的和.[不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.。
湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

增,所以1
h(x)
Hale Waihona Puke e2.当k
1
时,
g
'( x)
0
,
g(x)
在 [0,
]上递增,
g(x)
g (0)
0
,符合题意;当
2
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时,
g
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0
,
g(x)
在 [0,
] 上递减,
g(x)
g (0)
0
,与题意不合;当1
k
e2
时,
g ( x)
为一
2
个递增函数,而
g
'(0)
1
k
0
,
g
'( )
2
e2
k
0
,由零点存在性定理,必存在一个零点
2. 【答案】D 【解析】
考 点:函数导数与不等式.1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f x 0 将函数变为两个函 数 g x ex 2x 1 , h x ax a ,将题意中的“存在唯一整数,使得 g t 在直线 h x 的下方”,转化为 存在唯一的整数,使得 g t 在直线 h x ax a 的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得 m 的取值
湖南省长沙市雅礼中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(参考答案) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
1. 【答案】C
【解析】由已知等式,得 c 3b cos C 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C 3(sin B cos C sin C cos B) ,则 sin C 3sin(B C) 3sin A ,所以 sin C : sin A 3 :1 ,故选 C.
湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考数学文

数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 M (x, y) | x y 2 , N ( x, y) | x y 2 ,则集合 M N ( )
处标 4,点 ( 1,0) 处标 5,点 ( 1,1) 处标 6,点 (0,1) 处标 7,以此
类推,则标签
2
2017 的格点的坐标为(
)
A. (2017,2016)
B. (2016,2015)
C. (1009,1008) 12. 已知函数 f ( x)
D. (1008,1007)
x3
1
1 a(
e
x e , e是自然对数的底数)与
数 n 是( )
· 1·
A. 7
B.8
C. 9
D.10
7. 如图程序框图中, 输入 x ln 2 , y
A. ln 2
B. log3 2
1
log3 2 , z
,则输出的结果为 (
2
)
1
C.
2
D.无法确定
8. 已知双曲线 x 2 4
y2 1 的右焦点为 F , P 为双曲线左支上一点,点
2
A(0, 2) ,则 APF 周长的最小值为(
· 2·
g( x) 3ln x 的图象上存在
)
A. 4 2
B. 4(1 2)
C. 2( 2 6)
D. 6 3 2
9. 在 ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a,b ,c ,且 c sin( B )
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高三下学期第八次月考数学试卷(文科) Word版含解析

湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高三下学期第八次月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题共10个小题,每题5分,共50分)1.复数=()A.2﹣i B.1﹣2i C.﹣2+i D.﹣1+2i2.已知α为锐角,且有tan(π﹣α)+3=0,则sinα的值是()A.B.C.D.3.已知,,向量与垂直,则实数λ的值为()A.﹣B.C.﹣D.4.“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.函数f(x)=2x﹣的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)6.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.7.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切,则p的值为()A.B.1C.2D.48.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为()A.80 B.40 C.D.9.若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件,则实数m的最大值为()A.B.1C.D.210.设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个:①若m=1则S={1};②若m=﹣,则≤n≤1;③若n=,则﹣≤m≤0.其中正确的的个数为()A.①B.①②C.②③D.①②③二、填空题(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11.极坐标系中,直线θ=与圆ρ=的公共点个数是.12.如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是图象与x 轴的交点,若=0,则ω=.13.一个盒子里装有4张卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子里则装有分别标有3,4,5,6四个数的4张卡片.从两个盒子里各任取一张卡片.则取出的两张卡片上的数不同的概率为.14.如图所示程序图运行的结果是.15.数列{a n}中,a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n,它的通项公式为a n=,根据上述结论,可以知道不超过实数的最大整数为.三、解答题(本大题共6个小题,第16、17、18小题每题12分,第19、20、21小题每题13分,共75分)16.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;下面的临界值表供参考:p(K2≥k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式:,其中n=a+b+c+d)17.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知成等差数列,且=9,求a的值.18.如图,已知四棱锥S﹣A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=1,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S﹣CD﹣A的大小为120°.(Ⅰ)求证:平面ASD⊥平面ABCD;(Ⅱ)设侧棱SC和底面ABCD所成角为θ,求θ的正弦值.19.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*)(1)求证:{}是等比数列,并求{a n}的通项公式a n;(2)数列{b n}满足b n=(3n﹣1)•,数列{b n}的前n项和为T n,若不等式(﹣1)对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.20.设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若•+•=8,求k的值.21.已知函数f(x)=a•e x+.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求a的取值范围.湖南省长沙市雅礼中学2015届高三下学期第八次月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题共10个小题,每题5分,共50分)1.复数=()A.2﹣i B.1﹣2i C.﹣2+i D.﹣1+2i考点:复数代数形式的混合运算.专题:计算题.分析:将分子、分母同时乘以1+2i,再利用多项式的乘法展开,将i2用﹣1 代替即可.解答:解:=﹣2+i故选C点评:本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数.2.已知α为锐角,且有tan(π﹣α)+3=0,则sinα的值是()A.B.C.D.考点:诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.专题:计算题;三角函数的求值.分析:通过诱导公式求出tanα的值,然后利用同角三角函数的基本关系式求解sinα的值.解答:解:因为α为锐角,且有tan(π﹣α)+3=0,所以tanα=3,即,又sin2α+cos2α=1,α为锐角,sinα>0,解得sinα=.故选C.点评:本题考查诱导公式的应用,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.3.已知,,向量与垂直,则实数λ的值为()A.﹣B.C.﹣D.考点:平面向量的综合题;数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题:计算题.分析:先求出向量与的坐标,再利用2个向量垂直,数量积等于0,求出待定系数λ的值.解答:解:∵已知,,向量与垂直,∴()•()=0,即:(﹣3λ﹣1,2λ)•(﹣1,2)=0,∴3λ+1+4λ=0,∴λ=﹣.故选A.点评:本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,求得3λ+1+4λ=0,是解题的关键.4.“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据绝对值的意义,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答:解:∵“|a﹣b|=|a|+|b|”,∴平方得a2﹣2ab+b2=a2+2|ab|+b2,即|ab|=﹣ab,∴ab≤0,即“|a﹣b|=|a|+|b|”是“ab<0”的必要不充分条件.故选:B.点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据绝对值的意义是解决本题的关键,比较基础.5.函数f(x)=2x﹣的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)考点:函数零点的判定定理.专题:计算题.分析:由题意可得f(1)f(2)=(0﹣a)(3﹣a)<0,解不等式求得实数a的取值范围.解答:解:由题意可得f(1)f(2)=(0﹣a)(3﹣a)<0,解得0<a<3,故实数a的取值范围是(0,3),故选C.点评:本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.6.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.考点:导数的几何意义.分析:根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间.解答:解:设切点的横坐标为(x0,y0)∵曲线的一条切线的斜率为,∴y′=﹣=,解得x0=3或x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3故选A.点评:考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的定义域为{x>0}.7.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切,则p的值为()A.B.1C.2D.4考点:抛物线的简单性质.专题:计算题.分析:先表示出准线方程,然后根据抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值.解答:解:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为,因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,所以故选C点评:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为()A.80 B.40 C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥:PO⊥平面ABC,PO=4,AO=2,CO=3,BC⊥AC,BC=4.据此可计算出该几何体的体积.解答:解:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥:PO⊥平面ABC,PO=4,AO=2,CO=3,BC⊥AC,BC=4.从图中可知,三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形,高为4,体积为V=.故选D.点评:本题主要考查了由三视图求面积、体积,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键.9.若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件,则实数m的最大值为()A.B.1C.D.2考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,观察图形可得函数y=log2x的图象与直线x+y﹣3=0交于点(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,且此时m达到最大值,由此即可得到m的最大值.解答:解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,再作出指数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y﹣3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,且此时m达到最大值,∴即m的最大值为1故选B.点评:本题给出二元一次不等式组,求能使不等式成立的m的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识,属于基础题.10.设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个:①若m=1则S={1};②若m=﹣,则≤n≤1;③若n=,则﹣≤m≤0.其中正确的的个数为()A.①B.①②C.②③D.①②③考点:的真假判断与应用.专题:证明题;压轴题.分析:由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,当x=n时,n2∈S即n2≤n,解得0≤n≤1,当x=m时,m2∈S即m2≥m,解得m≤0,或m≥1.令m=1,根据m的范围,可判断①的真假;令m=﹣,由m2=∈S得≤n,结合n的取值范围,可判断②的真假;令n=,根据m2∈S,可得,解不等式组,求出m的范围,可判断③的真假.解答:解:由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,当x=n时,n2∈S即n2≤n,解得0≤n≤1当x=m时,m2∈S即m2≥m,解得m≤0,或m≥1若m=1,由1=m≤n≤1,可得m=n=1,即S={1},故①正确;②m=﹣,m2=∈S,即≤n,故≤n≤1,故②正确;对于③若n=,由m2∈S,可得解得﹣≤m≤0,故③正确;故选D点评:本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.二、填空题(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11.极坐标系中,直线θ=与圆ρ=的公共点个数是2.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离,将此距离和圆的半径作对比,得出结论.解答:解:∵θ=,∴y=x,∵圆ρ=,∴x2+y2=2,∵圆心到直线的距离d=0<(半径),故直线和圆相交,故直线和圆有2个交点,故答案为:2.点评:本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,求出圆心到直线的距离,是解题的关键.12.如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是图象与x 轴的交点,若=0,则ω=.考点:正弦函数的图象.专题:计算题;数形结合.分析:由题意,结合图象,推出OP=2,MN=4,求出函数的周期,利用周期公式求出ω.解答:解:,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是图象与x轴的交点,若=0,所以OP=2,MO=OM=2,所以T=8,因为T=,所以ω=故答案为:点评:本题是基础题,考查正弦函数的图象,函数的周期,向量的数量积与向量的垂直关系,考查逻辑推理能力,计算能力,好题.13.一个盒子里装有4张卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子里则装有分别标有3,4,5,6四个数的4张卡片.从两个盒子里各任取一张卡片.则取出的两张卡片上的数不同的概率为.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:计算题;概率与统计.分析:用列表的方法给出所有取卡片的方法,从中找出两张卡片相同的种数,得到两张卡片相同的概率.最后用对立事件的概率公式,即可得到两张卡片上的数不同的概率.解答:解:设两个盒子分别为A盒、B盒,则可能取出的数字如下表可得所有取卡片的方法共有4×4=16种而(3,3),(4,4),(5,5)3种情况,使两次取出的卡片数字相同∴取出的两张卡片上的数不同的概率P=1﹣=故答案为:点评:本题给出取卡片的模型,求取出两张卡片数字不同的概率,着重考查了古典概型及其概率计算公式的知识,属于基础题.14.如图所示程序图运行的结果是10.考点:程序框图.专题:图表型.分析:题目首先给循环变量n和替换变量s赋值,然后执行s=S+2n,n=n+2,在判断s与200的关系,不满足条件继续执行循环,满足条件结束循环,输出n的值.解答:解:题目首先赋值s=0,n=0,执行S=S+2n=1,n=2;判断n>200,否,执行S=S+2n=2+22=6,n=4;判断n>200,否,执行S=S+2n=2+22+24=22,n=6;判断n>200,否,执行S=S+2n=2+22+24+26=86,n=8;判断n>200,否,执行S=S+2n=2+22+24+26+28=342,n=10;判断n>200,是,输出n的值为10.故答案为10.点评:本题考查了程序框图中的直到型循环,直到型循环是先执行后判断,不满足条件进入循环,满足条件结束循环,算法结束.15.数列{a n}中,a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n,它的通项公式为a n=,根据上述结论,可以知道不超过实数的最大整数为144.考点:数列的应用.专题:计算题.分析:先根据递推关系求出a12,然后根据,可得到实数的范围,从而求出所求.解答:解:∵a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n,∴a3=2,依此类推得a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21a9=34,a10=55,a11=89,a12=144∵∴a12=144=<∴不超过实数的最大整数为144故答案为:144点评:本题主要考查了数列的应用,同时考查了不超过实数的最大整数,属于难题.三、解答题(本大题共6个小题,第16、17、18小题每题12分,第19、20、21小题每题13分,共75分)16.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;下面的临界值表供参考:p(K2≥k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式:,其中n=a+b+c+d)考点:独立性检验.专题:计算题;概率与统计.分析:(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为,可得喜爱打篮球的学生,即可得到列联表;(2)利用公式求得K2,与临界值比较,即可得到结论解答:解:(1)根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为,可得喜爱打篮球的学生为30人,故可得列联表补充如下:﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50(2)∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评:本题考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17.已知函数.(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知成等差数列,且=9,求a的值.考点:正弦函数的单调性;数列与三角函数的综合;三角函数中的恒等变换应用.专题:三角函数的图像与性质.分析:(I)利用两角和差的三角公式化简f(x)的解析式,得到sin(2x+),由2kπ﹣≤(2x+)≤2kπ+,解出x的范围,即得f(x)的单调递增区间.(II)在△ABC中,由,求得A的值;根据b,a,c成等差数列以及=9,利用余弦定理求得a值.解答:解:(I)f(x)==sin2x+cos2x=sin(2x+).令2kπ﹣≤(2x+)≤2kπ+,可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈z.即f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z.(II)在△ABC中,由,可得sin(2A+)=,∵<2A+<2π+,∴2A+=或,∴A=(或A=0 舍去).∵b,a,c成等差数列可得2a=b+c,∵=9,∴bccosA=9,即bc=18.由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=(b+c)2﹣3bc=4a2﹣54,求得a2=18,∴a=3.点评:本题考查等差数列的性质,正弦函数的单调性,两角和差的三角公式、余弦定理的应用,化简函数的解析式是解题的突破口,属于中档题.18.如图,已知四棱锥S﹣A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=1,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S﹣CD﹣A的大小为120°.(Ⅰ)求证:平面ASD⊥平面ABCD;(Ⅱ)设侧棱SC和底面ABCD所成角为θ,求θ的正弦值.考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)根据题意,得到CD⊥SD,CD⊥AD.结合线面垂直的判定定理,得到CD⊥平面ADS,再由CD⊂平面ABCD,即可证出平面ASD⊥平面ABCD.(2)由(1)得二面角S﹣CD﹣A的平面角为∠ADS,即∠ADS=120°.过点S作SH⊥AD,交AD的延长线于H点.可得SH⊥平面ABC.可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影,因此∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ.然后分别在Rt△SHD、Rt△SDC和Rt△SHC中利用三角函数知识,结合题中数据算出sinθ=,即得侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值.解答:解:(Ⅰ)∵SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,∴CD⊥SD,CD⊥AD.可得二面角S﹣CD﹣A的平面角为∠ADS,∠ADS=120°.又∵AD∩SD,∴CD⊥平面ADS.又∵CD⊂平面ABCD,∴平面ASD⊥平面ABCD.…(Ⅱ)过点S作SH⊥AD,交AD的延长线于H点.∵平面ASD⊥平面ABCD,平面ASD∩平面ABCD=AD,∴SH⊥平面ABC.可得CH为侧棱SC在底面ABCD内的射影.因此,∠SCH为侧棱SC和底面ABC所成的角θ.…在Rt△SHD中,∠SDH=180°﹣∠ADS=60°,SD=1,可得SH=SDsin60°=.在Rt△SDC中,∠SDC=90°,SD=AB=DC=1,可得SC=.在Rt△SHC中,sinθ===.∴侧棱SC和底面ABCD所成角θ的正弦值的.…点评:本题给出平面翻折问题,求证面面垂直并求直线与平面所成角的正弦值,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义及求法等知识,属于中档题.19.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*)(1)求证:{}是等比数列,并求{a n}的通项公式a n;(2)数列{b n}满足b n=(3n﹣1)•,数列{b n}的前n项和为T n,若不等式(﹣1)对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.考点:数列与不等式的综合;等比关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)由数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*),可得=1+.变形为,利用等比数列的通项公式即可得出.(2)由(1)可知:b n,利用“错位相减法”即可得出T n,利用不等式(﹣1),通过对n分为偶数与奇数讨论即可.解答:解:(1)由数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*),可得=1+.∴,∴{}是首项为,公比为3的等比数列,∴,化为.(2)由(1)可知:=,T n=+…+.…++,两式相减得﹣==.∴.∴(﹣1)n•λ<+=4﹣.若n为偶数,则,∴λ<3.若n为奇数,则,∴﹣λ<2,解得λ>﹣2.综上可得﹣2<λ<3.点评:熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法等是解题的关键.20.设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左右顶点过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若•+•=8,求k的值.考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)先根据椭圆方程的一般形式,令x=c代入求出弦长使其等于,再由离心率为,可求出a,b,c的关系,进而得到椭圆的方程.(2)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由直线与椭圆消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,再由韦达定理进行求解.求得•+•,利用•+•=8,即可求得k的值.解答:解:(1)∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为.∴=,∵离心率为,∴=,解得b=,c=1,a=.∴椭圆的方程为;(2)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由直线与椭圆消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2﹣6=0,∴x1+x2=﹣,x1x2=,又A(﹣,0),B(,0),∴•+•=(x1+,y1)•(﹣x2.﹣y2)+(x2+,y2)•(﹣x1.﹣y1)=6﹣(2+2k2)x1x2﹣2k2(x1+x2)﹣2k2,=6+=8,解得k=±.点评:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等,考查方程思想.在椭圆中一定要熟练掌握a,b,c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质.21.已知函数f(x)=a•e x+.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求a的取值范围.考点:利用导数求闭区间上函数的最值.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)当a=1时求出f(x),求导f′(x),切线斜率k=f′(1),f(1)=e﹣2,利用点斜式即可求得切线方程;(Ⅱ)对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,等价于f(x)min≥0,利用导数判断函数f(x)的单调性、极值,从而确定其最小值,其中为判定导数符号需要构造函数.解答:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=e x+﹣4,∴f′(x)=e x﹣,∴f′(1)=e﹣2,∵f(1)=e﹣2,∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:(e﹣2)x﹣y=0.(Ⅱ)∵f(x)=a•e x+.∴f′(x)=,令g(x)=ax2e x﹣(a+1),则g′(x)=ax(2+x)e x>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,∵g(0)=﹣(a+1)<0,当x→+∞时,g(x)>0,∴存在x0∈(0,+∞),使g(x0)=0,且f(x)在(0,x0)上单调递减,f(x)在(x0,+∞)上单调递增,∵g(x0)=﹣(a+1)=0,∴=a+1,即=,∵对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,∴f(x)min=f(x0)=+﹣2(a+1)≥0,∴﹣2(a+1)≥0,∴,∴0,解得﹣≤x0≤1,∵=a+1,∴=>1,令h(x0)=,而h(0)=0,当x0→+∞时,h(x0)→+∞,∴存在m∈(0,+∞),使h(m)=1,∵h(x0)=在(0,+∞)上,∴x0>m,∴m<x0≤1,∵h(x0)=在(m,1]上∴h(m)<h(x0)≤h(1),∴1<≤e,∴a≥.点评:本题考查曲线上某点处切线方程的求解及函数恒成立问题,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,正确理解导数的几何意义是关键,至于恒成立问题常常转化为函数最值处理,本题综合性强,难度大.。
湖南省雅礼中学2018届高三上学期第六次月考数学(文)试题

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2018届湖南省雅礼中学高三第一次月考文科数学 PDF

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湖南省长沙市2018届高三统考文科数学试题 Word版

长沙市2018届高三年级统一模拟考试科目:数学(文科)(试题卷)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和 该试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.本试题卷共7页。
如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负。
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交. 姓 名 准考证号 绝密★启用前长沙市2018届高三年级统一模拟考试文科数学长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共7页,全卷满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A = {x|x-1>0},B={x| 2-x<0},则下列结论正确的是 A.A∩B=AB.AUB=BC.“x∈A ”是“x∈B”的充分条件D.“x∈A ”是“x∈B”的必要条件 2.己知复数iz -=12,则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=13.己知a ,b 为单位向量,且a 丄(a+2b),则向量a 与b 的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°4.设首项为1,公比为32的等比数列{a}的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是 A. Sn = 4-3a n B. Sn = 3-2a nC. Sn = 3a n -2D. Sn = 2a n -15.己知/(x)是定义在R 上的偶函数,且当x 彡0时,/(x)=x 2—x ,则不等式/(x+2)<6 的解集是A.{x|—5<x<1}B.{x|—4<x<0}C.{x|—1<x<5}D.{x| 0<x<4}6.己知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形,给出下列4个图形:其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是 A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
最新-湖南省长沙市雅礼中学2018届高三数学月考试卷(八) 文 精品

雅礼中学2018届高三月考试卷(八)数 学 试 题(文)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设合集{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3},()U U A B C A B ===则=( )A .{2}B .{1,2,3}C .{1,3}D .{0,1,2,3,4}2.在样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,若正中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的14,且样本容量为100,则正中间的一组的频数为 ( ) A .80 B .0.8 C .20D .0.2 3.一组数据4,5,12,7,11,9,8,则下面叙述正确的是( )A .它们的中位数是7,总体均值是8B .它们的中位数是7,总体方差是52C .它们的中位数是8,总体方差是528 D .它们的中位数是8,总体方差是527 4.在区间[,]22ππ-上随机取一个,sin x x 的值介于1122-与之间的概率为( ) A .13 B .2π C .12 D .23 5.已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为( )A B .2 C D 6.设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为,l P 为抛物线上一点,,PA l A ⊥为垂足,如果直线AF 斜率为|PF|=( )A .B .8C .D .16 7.若0,0,4a b a b >>+=且,则下列不等式恒成立的是( )A .112ab >B .111a b +≤C 2≥D .228a b +≥ 8.若函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的图象如图所示,M ,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且0OM ON ⋅=(O 为坐标原点),则A= ( )A .6πB .12C .6D .3二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,满分35分。
2018年最新 湖南长沙市雅礼中学2018届高三第一次模拟考试数学试卷(文科) 精品

雅礼中学2018届高三五月第一次模拟考试数学试卷(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式: 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥,那么 cl S 21=锥侧 P (A+B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么 其中,c 表示底面周长、l 表示斜高或 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 母线长 如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ,那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.设全集R U =,集合},1|{},1|{2>=>=x x P x x M 则下列关系中正确的是 A.N M = B.P M ⊆ C.M P ⊆ D.∅=P M C U 2.若⊥-==)(,1||,2||,则与的夹角是 A.6π B.4π C.3π D.125π3.若命题B A x P ∈:,则P ⌝是A.A x ∉且B x ∉ B.A x ∉或B x ∉C.B A x ∉ D.B A x ∈ 4.把函数152++=x y 的图象按向量)1,1(-=平移,则所得图象的函数解析式为A.92+xB.72+x C.32+x D.12+x5.二项展开式n xx )12(3+的各项系数之和为243,则展开式中的常数项为A.10 B.20 C.30 D.406.在ABC ∆中,bAa B sin sin <是B A >成立的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若βα,是两个相交平面,点A 不在α内,也不在β内,则过点A 且与βα,都平行的直线A.只有1条 B.只有2条 C.只有4条 D.有无数条8.一名同学投篮的命中率为32,他连续投篮3次,其中恰有2次命中的概率是 A.32 B.94 C.92 D.2749.设函数x xx x f sin 3sin 2)4(2cos )(++=π,则当),2(ππ∈x 时,函数)(x f 的值域是 A.)3,1( B.]1,21( C.]2,3( D.]2,1(10.用四种不同的颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面染色,要求相邻两个面涂不同的颜色,且四种颜色均用完,则所有不同的涂色方法共有A.96种 B.72种 C.48种 D.24种第Ⅱ卷(共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上. 11.在等比数列}{n a 中,64,2934==a a a ,则8a 等于 .12.若椭圆的焦点到其相应准线的距离等于半焦距长,则椭圆的离心率=e . 13.在抽查某产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,],[b a 是其中的一组,抽查出的个体数在该组上的频率为m ,该组上的直方图的高为h ,则||b a -等于 . 14.已知球面上三点C B A ,,,且cm AC cm BC cm AB 10,8,6===,球的半径为cm 13,则球心到平面ABC 的距离为 cm . 15.已知函数b a x f x+=)(的图象过点),1(e ,其反函数)(1x f -的图象过点)0,1(,则(1)=)(x f ;(2)若方程0)()2(=-x kf x f 没有实根,则实数k 的取值范围是 .AC 1C三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知5条桥梁横跨A 、B两岸,假设各条桥梁的车流量分别为1、1、2、2、3(单位:万量),现从这5条桥梁中任取三条桥梁,考察这三条桥梁的车流量之和ξ. (1)求4=ξ的概率; (2)求6≥ξ的概率. 17.(本小题满分12分)平面直角坐标系中,已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A . (1)若1-=⋅,求α2sin 的值;(2)若),0(,13||πα∈=+,求与的夹角. 18.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,M BC BB ,21==是BC 中点,点N 在1CC 上.(1)试确定点N的位置,使MN AB ⊥1;(2)当MN AB ⊥1时,求二面角N AB M --1的大小. 19.(本小题满分14分)以数列}{n a 的任意相邻两项为坐标的点))(,(*1N n a a P n n n ∈+均在一次函数k x y +=2 的图象上,数列}{n b 满足条件:)0,(1*1≠∈-=+b N n a a b n n n . (1)求证:数列}{n b 是等比数列;(2)设数列}{n a ,}{n b 前n 项和分别为n n T S ,,若9,546-==S T S ,求k 的值.20.(本小题满分14分)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t )(*N t ∈(天)的函数关系用右图的两条线段表示,该商品在30内日销售量Q (件)与时间t )(*N t ∈(天)之间的关系如下表:格P 与时间t 的函数关系;(2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对),(Q t 的对应点,并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关式;(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格⨯日销售梁) 21.(本小题满分14分)已知:,分别是y x ,轴正方向上的两个单位向量,),(y x P 是直角平面上的一个动点,c y x )(-+=,)0(2||||,)(>>=-++=a c a c y x ,设动点P的曲线方程为C,点B A ,是曲线C上位于第一象限的不同两点. (1)求曲线C 的方程;(2)设y 轴上一点T满足条件:0)(=⋅+AB TB TA ,求T 点的纵坐标的取值范围.雅礼中学2018届高三第一次模拟考试数学试卷(文史类)答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.B二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上.11.32 12.22 13.h m 14.12 15.(1)xe ;(2)]0,(-∞三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解:(1)由等可能事件得512)4(35===C P ξ.……………………………………… 5分 (2)由已知得:……………………………………………………………………………………………10分 故由互斥事件得21)6(=≥ξP . ……………………………………………………12分 17.(本小题满分12分) 解:(1)952sin -=α. ……………………………………………………………… 6分 (2)由),0(,13||πα∈=+得)23,21(3C ⇒=πα. …………………10分 由夹角公式得6πθ=. …………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分) 解:(1)21=NC . ……………………………………………………………… 6分 (2)515arccos. ………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)解:(1)(略) ……………………………………………………………………………… 6分 (2)8=k . ……………………………………………………………………………14分 20.(本小题满分14分) 解:(1)由已知得:⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=),3025(100),250(20**N t t t N t t t P .…4分(2)如图所示,对应的一个函数关系式为),300(40*N t t t Q ∈≤<+-=. …… 8分(3)分段函数分段处理得⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<++-=),3025(,4000140),250(,80020*2*2N t t t t N t t t t y , ………………………………………11分 当25=t 时,日销售金额最大,且最大值为1125元. ……………………………14分 21.(本小题满分14分)解:(1)由双曲线的定义得)(122222a y a c x a y ≥=--. ……………………………… 6分 (2)由0)(=⋅+得T 即为线段AB 的中垂线与y 轴的交点.………… 8分 令),(),,(2211y x B y x A ,则线段AB 的中垂线方程为)2(221212121xx x y y x x y y y +----=+-, 所以T 的纵坐标为212221210212y y x x y y y --⨯++=. …………………………………10分 由点差法得)(2122212221y y a b y y x x +=--, ………………………………………………12分代入得)1(22122221212221210ab y y y y x x y y y ++=--⨯++=.又2121,,y y a y a y ≠≥≥,则a y y >+221, ……………………………………13分 所以a c ab a y 2220)1(=+>,即T 点的纵坐标的取值范围是),[2+∞a c . (14)。
2018年长沙市高三文数联考试卷及解析

BM 分别与直线 x=6 相交于点 D,E,求|DE|的最小值.
y M
D
A
O
F
B
E x=6
x
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax 2 − x ln x . (Ⅰ)若 f(x)在(0,+∞)内单调递增,求 a 的取值范围;
1 (Ⅱ)若 a=e(e 为自然对数的底数),证明:当 x>0 时, f ( x) < xe x + . e
姓
名
准考证号
绝密★启用前
高考湘军
长沙市 2018 届高三年级统一模拟考试
文科数学
长沙市教科院组织名优教师联合命制 本试题卷共 7 页,全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x-1>0},B={x|2-x<0},则下列结论正确的是 A.A∩B=A C. “x∈A”是“x∈B”的充分条件 2.已知复数 z = B.A∪B=B D. “x∈A”是“x∈B”的必要条件
30
x (同一组中的数据用该组 真实值记为 x ,由频率分布直方图得到的估计值记为
区间的中点值作代表),求 x 与 x 的误差值; (Ⅲ)从该科研所健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人介绍养生之道,求这 2 人都 爱好体育锻炼或都不爱好体育锻炼的概率. 30 (a + b + c + d )(ad − bc)2 附: K 2 = . 30 位科研员健康指数的和 ∑ xi = 2288 . (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) i =1
【高三数学试题精选】湖南雅礼中学2018届高三数学下册第四次月考检测试题

湖南雅礼中学2018届高三数学下册第四次月考检测试题
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湖南雅礼中学
1c.1D.2
2.已知,则平面向量a与b夹角的大小为()
A. B. c. D.
3.某流程如右图所示,现输入以下四个函数,则可以输出的函数是()
A. B.
c. D.
4.设函数,,则函数是()
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
c.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
5.设变量x,满足约束条则目标函数的最大值为()
A.0B.1c. D.2
6.已知,且直线经过圆的圆心,则的最小值是()
A. B.1c. D.
7.已知双曲线过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,N两点,若(为坐标原点),则双曲线的离心率为()
A. B. c. D.
8.已知定义在R上的偶函数满足,且在区间[0,2]上,若关于x的方程有三个不同的根,则的范围为()
A.(2,4)B.(2,)c. D.
二、填空题本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9.(下列两题中任选一题,都做的以第一小题为准)
(1)用黄金分别割法选取试点的过程中,若试验区间为[3,5],。
长沙市达标名校2018年高考四月数学模拟试卷含解析

长沙市达标名校2018年高考四月数学模拟试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设ln 2m =,lg 2n =,则( ) A .m n mn m n ->>+ B .m n m n mn ->+> C .m n mn m n +>>-D .m n m n mn +>->2.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为( ). A .432B .576C .696D .9603.抛物线24y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,若点(1,0)A -,则PFPA的最小值为( )A .12B .2C .2D .34.已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断: ①若12()1,()1f x f x ==-,且12minπx x -=,则2ω=;②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称; ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点,则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣; ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中,判断正确的个数为( ) A .1B .2C .3D .45.已知0a b >>,椭圆1C 的方程22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 和2C 的离心率之2C 的渐近线方程为( )A .0x =B 0y ±=C .20x y ±=D .20x y ±=6.已知a ,b ∈R ,3(21)ai b a i +=--,则( ) A .b =3aB .b =6aC .b =9aD .b =12a101⎛8.已知复数z =(1+2i )(1+ai )(a ∈R ),若z ∈R ,则实数a =( ) A .12B .12-C .2D .﹣29.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e ,设地球半径为R ,该卫星近地点离地面的距离为r ,则该卫星远地点离地面的距离为( ) A .1211e er R e e ++-- B .111e er R e e ++-- C .1211e er R e e-+++ D .111e er R e e-+++ 10.直线经过椭圆的左焦点,交椭圆于两点,交轴于点,若,则该椭圆的离心率是()A .B .C .D .11.函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点,则a 的值为( ) A .3B .-3C .2D .-212.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若495,81a S ==,则10a =( ) A .23B .25C .28D .29二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
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长沙市雅礼中学2018届高三月考试卷数 学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式: 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥,那么 cl S 21=锥侧 P (A+B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么 其中,c 表示底面周长、l 表示斜高或 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ,那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1M={x |x 2-x <0,x ∈R },N={x ||x |<2,x ∈R },则A NM C M ∪N=M D M ∪N=R2.已知向量a =(-1,3),向量b =(3,-1),则a 与b 的夹角等于A.6πB.2πD.67π 3.已知函数f (x )=3x -1,则它的反函数y =f -1(x )的图象是(D)4.若21-=a ,则-+-22161161a C a C (16)1616151516a C a C +-的值为A.82- B. 82 C.()1622- D.()1622+5“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的( )A 充分不必要条件;B 必要不充分条件;C 充要条件;D 既不充分又不必要条件 6.曲线y =2x 4上的点到直线y =-x -1的距离的最小值为A.2B.22 C.327.函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ,如果方程f (x )=a 有且只有一个实根,那么a 满足A.a <0B.0≤a <1C.a =1D.a >18.对于抛物线C :y 2=4x ,我们称满足y 18<4x 0的点M (x 0,y 0)在抛物线的内部.若点M (x 0,y 0)在抛物线内部,则直线l :y 0y =2(x + x 0)与曲线C A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点D.没有公共点9..如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小,如318,414,879等,则称这个三位数为凹数,那么所有凹数的个数是A.240B.285C.729D.920 1o .经济学中的“蛛网理论”(如图),假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2,它们的斜率分别为k 1、k 2,l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点,在供求两种力量的相互作用下,该商品的价格和产销量,沿平行于坐标轴的“蛛网”路径,箭头所指方向发展变化,最终能否达于均衡点P ,与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关,从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为B k 1+k 2=0C k 1+k 2<0D k 1+k 2可取任意实数 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上.11.已知x,y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的最小值为________________.112.若函数()||f x a x b =-在[0,)+∞上为减函数,则实数a b 的取值范围是 ______0,0a b <≤13.从圆的10. 现从这10个点任取3个点,要构14.已知等差数列}{n a ,若数列}{n b 满足na a ab nn +++=21,则数列}{n b 也是等差数列,类比这一性质,相应地已知等比数列}{n c 中,0>n c ,若n d = ,则数列}{n d15、如图所示,二面角βα--CD 的大小为θ,点A 在平面α内,ACD ∆的面积为s ,且m CD =,过A 点的直线交平面β于B ,CD AB ⊥,且AB 与平面β所成的角为30°,则当=θ________时,BCD ∆的面积取得最大值为_________。
解:S 2,3π过A 作AH β⊥,连结BH 交CD 于E ,连结AE θ=∠∴AEB ,CD AE ⊥, 设mSh S mh h AE 2,21,===,BCD S CD BE ∆⊥,最大,则BE 最大。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=︒θπ65sin 30sin BE h165s i n ,65s i n 2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπθπh BE 时,BE 最大。
h BE 2,3,265max ===-πθπθπ BCD ∆的面积最大值为 ()S mS m BE m 2222121max =⋅⋅=⋅⋅三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题满分12分)已知函数2()2sin cos f x x x x =- (1) 求函数()f x 的单调递增区间; (2) 若将()f x 的图象按向量(,0)3π-平移后,再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍,得到函数()g x 的图象,试写出()g x 的解析式 解:(1)∵f(x)= 23cos 2x-2sinxcosx-3=3(cos2x+1)-sin2x-3 =2cos(2x+6π)22 267,1212k x k k x k k Z ππππππππ-≤+≤∴-≤≤-∈(2)f(x)=2cos(2x+6π))652cos(23ππ+=−−−→−x y 向左平移)654cos(221π+=−−−−−−→−x y 倍横坐标缩小到原来的 ∴g(x)=2cos(4x+65π) 17.(本小题满分12分)中国篮球职业联赛某赛季的总决赛在上海东方队与八一双鹿队之间角逐,采用七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束。
因两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等。
据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入30万元,以后每场比赛门票收入都比上一场增加10万元,当两队决出胜负后,问:⑴组织者在此次决赛中要获得门票收入为180万元须比赛多少场? ⑵组织者在此次决赛中获得门票收入不少于330万元的概率为多少? 解:⑴2010,40,3021+===n a a a n ,0365,180250102=-+=⋅+=n n n n S n ()()049=-+n n ,∴=,4n 比赛4场收入180万元。
⑵330≥n S ,则6,6652≥∴≥+n n n (i )比赛6场,则前5场为2:3且为领先一场的人获胜。
()1653210216535==⎪⎭⎫⎝⎛⋅=C P (ii )比赛7场,则前6场为3:3()∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,165217636C P 收入大于330万元的概率为()()625.085161076===+P P18.本小题满分14分)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=AC=AA 1=3a,BC=2a,D 是BC 的中点,F 是C 1C 上一点,且CF=2a. (1)求证:B 1F ⊥平面ADF ;(2)求平面ADF 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值.FC 1A解:法1 :(1)因为AB=AC,D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC. 又平面CC 1B 1B ⊥ABC ,则AD ⊥平面CC 1B 1B. B 1F 在平面CC 1B 1B 内, AD ⊥B 1F. ┈4分 在矩形CC 1B 1B 中 tan ∠C 1B 1F=tan ∠CFD=21,所以∠C 1B 1F=∠CFD , ∠C 1FB 1+∠CFD=∠C 1FB 1+∠C 1B 1F=900,因此FD ⊥B 1F ,即证B 1F ⊥平面ADF ;………………7分 (2)延长FD ,B 1B 交于G ,则AG 为所求二面角的棱.由Rt ΔFCD ≌Rt ΔGBD,所以CF=GB=2a.过B 1作B 1H ⊥AG ,且B 1H 与AG 交于H.又 B 1F ⊥平面ADF ,FH ⊥AG , ∠B 1HF 为所求二面角的平面角. ……………………9分由Rt ΔABG ∽Rt ΔB 1HG ,解得B 1H =1315a .而B 1F=21211F C C B +, =a 5,sin ∠B 1HF=1565, 即所求二面角的正弦值是1565. ……………14分 法2: 以D 为坐标原点,DA DB DD 1分别为x y z 轴建立空间直角坐标 系(D 1是C 1B 1的中点),易知A (22a,0,0), B(0,a,0) ,F(0,-a,2a),B 1(0,a,3a), ┈4分),2,0(1a a B --=, )2,,0(a a -=,)0,0,22(a =,由01=⋅DF F B 且01=⋅DA F B ,得B 1F ⊥DF, B 1F ⊥DA,即B 1F ⊥平面ADF ; …………6分 (2)由(1)知)0,,22(a a -=,)3,0,0(1a BB =,设平面AA 1B 1B 的一个法向量为)0,,(y x n =,则01=⋅n BB 且0=⋅,可取)0,22,(a a =,…………9分 由cos<B 1,11=-15104得, sin<B 1,>=1565.即所求值1565.…………12分ABCD FA 1B 1C 1GH19.(本小题满分12分){a n },{b n }都是各项为正数的数列,对任意的正自然数n ,都有a n 、b n 2、a n +1成等差数列,b n 2、a n +1、b n +12成等比数列.(1)试问{b n }是否是等差数列?为什么?(2)求证:对任意的正自然数p ,q (p >q ),b p -q 2+b p +q 2≥2b p 2成立; (3)如果a 1=1,b 1=2,S n =na a a 11121+++ ,求S n . .解:依题意2b n 2=a n +a n +1, ①a n +12=b n 2·b n +12. ②(1)∵a n >0,b n >0,∴由②式得a n +1=b n ·b n +1,从而n ≥2时,a n =b n -1·b n ,代入①2b n 2= b n -1b n +b n b n +1,∴2b n =b n -1+b n +1(n ≥2), ∴{b n }是等差数列. 4分(2)因为{b n }是等差数列,∴b p -q +b p +q =2b p .∴b p -q 2+b p +q 2≥2222)(p q p q p b b b =++-.8分(3)由a 1=1,b 1=2及①②两式易得a 2=3,b 2=223, ∴{b n }中公差d =22,∴b n =b 1+(n -1)d =22(n +1), ∴a n +1=21(n +1)(n +2).③又a 1=1也适合③,∴a n =2)1(+n n (n ∈N ), ∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n , ∴S n =2[1-)111()3121(21+-++-+n n ]=2(1-11+n ), 20.(本小题满分13分)已知动点P 与双曲线3222y x -=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值,且cos F 1PF 2的最小值为-91. (1)求动点P 的轨迹方程;(2)若已知D (0,3),M 、N 在动点P 的轨迹上,且=λ,求实数λ的取值范围. 解:(1)由题意c 2=5,设|PF 1|+|PF 2|=2a (a >5),由余弦定理得cos F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+=||||102212PF PF a ⋅--1.又|PF 1|·|PF 2|≤(2||||21PF PF +)2=a 2,3分当且仅当|PF 1|=|PF 2|时,|PF 1|·|PF 2|取最大值,此时cos F 1PF 2取最小值22102a a --1,令22102aa --1=-91,解得a 2=9. ∵c =5,∴b 2=4,故所求P 的轨迹方程为4922y x +=1. 7分(2)设N (s ,t ),M (x ,y ),则由=λ,可得 (x ,y -3)=λ(s ,t -3),故x =λs ,y =3+λ(t -3),9分∵M 、N 在动点P 的轨迹上,故4922t s +=1且9) (2s λ+4)33(2λλ-+t =1.消去s ,可得4)33(222t t λλλ--+=1-λ2,解得t =λλ6513-.又|t |≤2,∴|λλ6513-|≤2,解得51≤λ≤5. 故实数λ的取值范围是[51,5].13分21.(本小题满分14分)设函数f (x )=x 2+2bx +c (c <b <1),f (1)=0,且方程f (x )+1=0有实根. (1)证明:-3<c ≤-1,且b ≥0;(2)若m 是方程f (x )+1=0的一个实根,判断f (m -4)的正负,并加以证明 (1)证明:f (1)=0⇒1+2b +c =0⇒b =-21+c . 又c <b <1,故c <-21+c <1⇒-3<c <-31.4分方程f (x )+1=0有实根,即x 2+2bx +c +1=0有实根,故Δ=4b 2-4(c +1)≥0. (c +1)2-4(c +1)≥0⇒c ≥3或c ≤-1. 又c <b <1,得-3<c ≤-1,由b =-21+c 知b ≥0. 8分(2)解: f (x )=x 2+2bx +c =x 2-(c +1)x +c =(x -c )(x -1), f (m )=-1<0.∴c <m <1,∴c -4<m -4<-3<c .∴f (m -4)=(m -4-c )(m -4-1)>0,∴f (m -4)的符号为正.14分长沙市雅礼中学2018届高三月考试卷数 学(文史类)答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上. 11.35 12. 4 13.-2 14. 015.(i )220;(ii ))21(801976≤≤+=t t S三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解:(1)正确接收一个信号的概率为(1-0.18)×(1-0.18)=0.9185 …………………………………………………… 2分 错误接收一个信号的概率为0.18×0.18=0.0185 ……………………………… 4分 ∴接收方接收一个信号的概率为0.9185+0.0185=0.918 …………………… 6分 (2)考虑对立事件,错误接收一个信号的概率为 C 23×0.182×0.95+C 33×0.183=0.01825∴正确接收一个信号的概率为1-0.01825=0.99275. …………………………12分 17.(本小题满分12分)解:(1)()+⋅=⋅=+⋅AB AB 132=-=⋅..2=即AB 边的长度为2.………………………………………………………5分 另解:用数量积的定义结合余弦定理即得2=c .(2)由已知及(1)有,1cos 2=A b (),3cos 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos =, ………………………………………………………………8分 由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin =, ………………………………………10分 ∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A . ……………………12分18.(本小题满分12分)解:(1)过P 作MN ∥B 1C 1,分别交A 1B 1、D 1C 1于M 、N ,则M 、N 是A 1B 1、D 1C 1的中点,连MB ,NC 由四边形BCNM 是平行四边形, …………………………………………2分 ∵E 、M 分别为AB 、A 1B 1中点,∴A 1E ∥MB又MB ⊂平面PBC ,∴A 1E ∥平面PBC . ……………………………………………4分 (2)36arcsin. ……………………………………………………………………8分 (3)2=k . ………………………………………………………………………12分 19.(本小题满分12分)解:(1)∵{b n -2} (n ∈Z +)为等比数列,又b 1-2=4,b 2-2=2,b 3-2=1,∴公比21=q ,12142-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-n n b ,12142-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=n n b (n ∈Z +) . ……………… 4分(2)∵{a n+1-a n } (n ∈Z +)是等差数列,又a 2-a 1=-2,a 3-a 2=-1,∴公差d=1,a n+1-a n =-2+(n-1)=n-3,于是a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=[(n-1)-3]+[(n-2)-3]+…+(1-3)+6=62)6)(1(6)1(32)1(+--=+---n n n n n (n ∈Z +). …………………………… 8分 (3)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=--121142)6)(1(n n n n n b a ,∵121-⎪⎭⎫⎝⎛-n 随正整数n 的增加而增加 ∴当n ≥6时,218312114566>=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≥-b a b a n n , 又0332211=-=-=-b a b a b a , 2181142)2(344=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-b a ,2147161142)1(455>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-b a , 由此可见,不存在k ∈Z +,使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-21,0n n b a .………………………………………12分 20.(本小题满分13分)解:(1)设),0(1:2222>>=+b a bx a y C 设222,0b a c c -=>,由条件知22,2222===-a c c b c c a ,22,1===∴c b a , 故C 的方程为:12122=+x y . ……………………………………………………4分 (2)由λ= 得)(-=-λ+=+∴)1(λ,41=+∴λ , 3=λ . ……………………………………………………………6分 (另解:向量坐标化也可以得到3=λ)设l 与椭圆C 交点为),(),,(2211y x B y x A ⎩⎨⎧=++=1222y x m kx y 得0)1(2)2(222=-+++m kx x k ,当0)22(4)1)(2(4)2(22222>+-=-+-=∆m k m k km 时,22221+-=+k km x x ,212221+-=k m x x . ………………………………………………8分因PB AP 3= 即213x x =-,故⎩⎨⎧-=-=+222122132x x x x x x 消 2x 得212214)(3x x x x ++=0, 0214)22(32222=+-++-∴k m k km ,整理得 02242222=--+k m m k . …………10分412=m 时,上式不成立;所以412≠m ,得1422222--=m m k ,因03≠∴=k λ 0142222>--∴m m ,1412<<∴m ,即211-<<-m 或121<<m , 即所求m 的取值范围为)1,21()21,1( --. …………………………………………13分 21.(本小题满分14分)解:(1)∵2()323f x x bx c '=++,(1)0f '=,∴3230b c ++=,∴233b c +=-. …………1分2()320g m m bm c '=++=,即2233203b m bm ++-=,∴2(26)93m b m -=-.……3分①当260m -=,即13m =时,上式不成立. …………………………………………4分②当260m -≠,即13m ≠时,29326m b m -=-.由条件302b -<<,得到23930226m m --<<-.由2933262m m ->--,解得0m <或113m <<. ……………………………………………5分由293026m m-<-,解得13m <<或m > ………………………………………6分∴ m 的取值范围是0m <<1m <<.………………………………………7分(2)有一个实根. ………………………………………………………………………8分 ()0F x =,即3233440x bx cx +++=.记32()3344Q x x bx cx =+++,则2()964Q x x bx c '=++.∵302b -<<,233b c +=-∴10c -<<.………………10分 ∴ △>0,故()0Q x '=有相异两实根1212()x x x x <,.121224,39x x b x x c +=-⋅=,∴12120140.9x x x x <+<⎧⎪⎨-<<⎪⎩, 显然120x x <<,1249x x >-, ∴1222419x x x x ->+>+,∴2229940x x --<,∴2403x <<. ………………………12分 于是22222218()()433Q x x Q x bx cx '=⋅+++2228043bx cx =+++1632499b c >++ 8(24)49b c =++8(3)49c =-+32409->+>. 而2x 为三次函数()Q x 的极小值点,故()Q x 与x 轴只有一个交点.∴ 方程()0F x =只有一个实根.……………………………………………………14分。