生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法

生长曲线数学模型的一般形式

及新的构建方法3

赵宜宾　胡顺田　赵永安

(防灾技术高等专科学校　河北三河　065201)

摘　要　本文在讨论生长(S )曲线法主要数学模型的基础上,建立了生长曲线模型的一般形式,它为建

立新的生长线模型提供线索。作为例子,文中给出了一个新的生长曲线模型。此外,给出了构建生长曲

线模型的一种新方法,它比传统的方法有更高的相关系数且计算简单。

关键词　生长曲线　数学模型　拟合　相对水平函数

中图分类号:O29 文献标识码:A 文章编号:1008-7869(2003)03-0011-06

1　引言

生长(S )曲线法作为趋势外推法的一种重要方法,在描述及预测生物个体的生长发育及某些技术、经济特性等领域中已得到广泛地应用。常用的数学模型有Pearl 模型、Ridenour 模型及G om pertz 模型。在数据的连续性、完整性与准确可靠性确定的前提下,如何选用数学模型才能得到较好的预测结果?虽然是模型研究的重要问题,却很少有人研究。通常,人们往往是在求出两个或两个以上模型的参数以后,比较其相关系数来确定适用的模型。由于采用不同的模型,计算其参数的方法也不同,因此,确定适用的模型,要进行大量的计算。这无疑给使用者带来很多不便。为寻求较简洁的方法,本文从研究上述模型的性质出发,概括了它们所具有的基本数学特征,提出了生长(S )曲线法中数学模型的一般形式。利用此模型的一般形式,可以构造具有不同变化趋势的生长曲线模型,以更好地适应实际问题的要求。作为例子,给出了一个新的生长曲线模型,它和Pearl 、G om pertz 模型一起构成生长曲线的三种基本变化趋势。并在模型一般形式的基础上,建立一种构建生长曲线模型的新方法。

2　生长曲线模型的一般形式

生长(S )曲线法中的主要数学模型有Pearl 模型、

Ridenour 模型和G om pertz 模型[1]。Pearl 模型为

y =k

1+be -at ,a >0

3校教(科)研基金资助项目

作者简介:赵宜宾(1976—

),男,讲师,从事数学教学与研究收稿日期:2003年6月2日

第5卷第3期2003年9月 防灾技术高等专科学校学报J 1of C ollege of Disaster -prevention T echnique V ol 15№13Sep 12003

Ridenour 模型为

N =k

1+(k N 0-1)e -at ,a >0

G om pertz 模型为

y =ka bt

不难看出,Pearl 模型和Ridenour 模型满足的是同一个微分方程:

1y dy dt =a (1-y k )(1)

而G om pertz 模型满足的微分方程为:

1y dy dt =ln b[ln (y/k )](2)

因此,Pearl 模型、Ridenour 模型和G om pertz 模型只给出了两种基本变化趋势。为寻求其更多的变化趋势,以适应生长曲线变化的多样性,我们需要回头研究方程(1)和(2)的意义,以便给出生长曲线模型的一般形式。

注意到1y dy dt

是我们所讨论的特性参数y 在时刻t 时的相对变化率、k 是y 增长的极限值、y k

是此时特性参数达到的相对水平、而(1-y/k )是其潜在发展的相对水平,则(1)表明,Pearl 模型和Ridenour 模型所反映的基本规律是:特性参数的相对变化率与其潜在发展的相对水平成正比,比例系数是a ;而(2)表明G om pertz 模型所反映的基本规律是:特性参数的相对变化率与此时其达到相对水平的对数成正比,比例系数是ln b 。从而不难看出,它们的共同规律是:特性参数的相对变化率是其相对水平的函数,即生产曲线模型的一般形式可表示为:

1y dy dt =f (y/k )(3)

这里f (y/k )是y k

的任意函数,我们称它为特性参数的相对水平函数。显然它具有t →∞时,f (y/k )→0的重要特征。

适当地选取函数f (y/k ),可建立新的生长曲线模型,以描述更多的变化趋势。如取

f (y/k )=a (1-y 2

k 2)则可得到一个新的模型:2

1 防灾技术高等专科学校学报 第5卷

y =k 1+(k 2

y 20-1)e -2a (t -t 0)(4)

选用函数f (y/k )的其它形式,可以得到其它相应的生长曲线模型,而由y 的一组时序数据{y i },借助于拟合(3)右端的函数,不难求得诸模型中的相应参数,这里不再细述。顺便指出,指数曲线模型是(3)中f (y/k )=常数的情况,注意到t →∞时,f (y/k )→0是生长曲线模型的基本特征,因此,指数曲线模型不属于生长曲线模型的范畴。

图1

3　由拟合相对水平函数构建生长曲线模型

的方法

用Mathematica 软件[2]可以绘出的Pearl 模型和G om 2

pertz 模型及模型(4)的图象,如图1(取k =10,在Ridenour

模型及(4)中,a =0.5,y 0k 2=5,在G om pertz 模型中,a =0.5,b =0.15)。由此可以看出Pearl (Ridenour )模型、G om pertz 模型及模型(4)反映了生长曲线的三种基本变化趋势,它们由方程(3)右端的相对水平函数确定。因此,我们构建生长曲线模型可以从拟合该函数入手。

311　拟合方程(3)右端的相对水平函数

设特性参数y 的一组时序观测值为y 1,y 2,…y N (N =3n ),注意到1y dy

dt t =i =d (ln y )dt t =i

≈

12

[ln y i +1-ln y i -1]=z i 是方程(3)右端的近似,观察{(y i ,z i )}的散点图,如果散点图呈直线,则宜采用Pearl 模型,用α(1-y i β)拟合{z i }的散点曲线;如果散点图呈指数曲线,则宜采用G om pertz 模型,用α(ln β-ln y i )拟合{z i }的散点曲线;如果散点图呈抛物线,则宜采用模型(4),

用α(1-y 2i β

2)拟合{z i }的散点曲线。计算拟合曲线的相关系数进行确定,并计算待定参数α,β。312　构建生长曲线模型

一般来说,以311拟合得到的相对水平函数代入方程(3)的右端,求解该方程并适当的选取初始值,即可得到所求的生长曲线模型。如果考虑到不熟悉微分方程人们的使用方便,我们给出三种基本变化趋势生长曲线的有限形式。Pearl 模型的有限形式为:

y =β

1+(β

y 0-1)e -a (t -t 0)(5)

G om pertz 模型的有限形式为:

3

1第3期 赵宜宾等:生长曲线数学模型的一般形式及新的构建方法