上海交通大学2015-1中_高数试卷(B类)

2015级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 当0x →时，与x 等价的无穷小量是 （ ）

（A ）tan x e x ； （B ）sin 2x ； （C

2； （D

）1-。

2. 函数2321sin x x x x x

π-+-的可去间断点有 （ ） （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个。

3. 设()x f x xe =，则()()=x f n （ ）

（A ）()1x nx e +；（B ）()x x n e +； （C ）()1x n xe +； （D ）()1x n x e +。

4. 设函数()f x 在可导0x =的某个邻域中有定义，且()00f =。下列选项哪个成立时，()f x 在0x =可导。 （ ）

（A ）极限()30lim x f x x →存在； （B ）极限()20lim x f x x →存在；

（C ）极限()01lim x x f e x →-存在； （D ）极限()20cos 1lim x f x x

→-存在。 5. 设()f x 和()g x 在00(,)x x δδ-+有定义，0000

(,)(),()[,)(),x x x f x h x x x x g x δδ∈-⎧=⎨∈+⎩。关于下列两个结论：

①()f x 和()g x 至少有一个在0x 间断,则()h x 在0x 也间断；

②()f x 和()g x 在0x 可导,并有00()()f x g x ''=,则()h x 在0x 可导；

正确的选项是 （ ）

（A ）仅①正确；（B ）仅②正确；（C ）①、②都正确；（D ）①、②都错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 设1()[]1||f x x =+（其中[]x 是取整函数），(),10,1x x g x x ≠⎧=⎨=⎩

， 则方程(())0g f x =的解集为：___________________。

7.

2n n →∞---=- 。

8. 若()y f x =由参数方程5sin t x t t y e t

⎧=+⎨=⎩所确定，则dy dx = 。 9. 已知()arccos cos y x =，x k π≠，k ∈Z ，则dy = 。

10. 已知()()()()

1cos sin 1ln x x x x y e x e ++=++，则0x dy dx =。 。 三、（每小题8分，共24分） 11. 用极限定义证明：212arctan lim

1x x x →-=∞-。 12. 求ln 1ln ln 10lim x x x x +-⎛⎫ ⎪+⎝⎭→。

13. 求

0x →。 四、（第14小题8分，第15小题10分，共18分）

14. 已知(

)2

1arcsin 1x f x x -=+，求()'1f 。 15. 已知可微函数()y y x =由方程2sin 7x y y ye e x x =-+-所确定，求()0y ''。

五、（本题10分）

16. 设(

))()()10,1,01ln 1,0

x a x x f x x b e c x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪+++>⎪⎪⎩

，且()f x 在0x =处可导，求常数a 、b 和c 的值。

六、（本题10分）

17. 在直线10x y -+=与抛物线245y x x =-+的交点处作抛物线的法线，求由二

法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积。

七、（本题8分）

18. 设00c >，10c >

，1n c +=1n ≥）。

（1）若正常数4a ≤，0c a ≥，1c a ≥，证明：1111122222n n n c a -+++≥ 且 11111222212n n

n c a -++++≥，1n ≥； （2）证明：数列{}n c 收敛。