一轮复习等差等比数列证明练习题

1．已知数列{}n a 是首项为114

a =，公比1

4q =

的等比数列，2n b +=14

3log n a (*)n N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅．

（1）求证：{}n b 是等差数列；

2．数列{}n a 满足2

112,66()n n n a a a a n N *+==++∈，

设

5log (3)

n n c a =+．

（Ⅰ）求证：

{}n c 是等比数列；

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+*()n N ∈．

（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； 4．数列}{n a 满足)(2

2,111

1+++∈+==N n a a a a n

n n

n n （1）证明:数列}2{n

n

a 是等差数列；

5．数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足2

2 (2)21

n n n S a n S =≥-

（1）求证：数列1n S ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是等差数列 6．数列{n a }满足13a =，12

1

n n a a +=

+， （1）求证：1

{

}2

n n a a -+成等比数列； 7．已知数列}{n a 满足134n n a a +=+，*

()n N ∈且11=a ， （Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；

8． 数列}{n a 满足:*

11),1()1(,1N n n n a n a n a n n ∈+⋅+⋅+=⋅=+

（1）证明：数列}{

n

a n

是等差数列； 9．已知数列{a n }的首项a 1=

2

3

，121n n n a a a +=+，n=1，2，…

（1）证明：数列11n a ⎧⎫

-⎨

⎬⎩⎭

是等比数列； 10．已知数列{a }n 的前n 项和为n S ，211

,(1),1,2,2

n n a S n a n n n ==--=．

（1）证明：数列1n n S n +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是等差数列，并求n S ； 11．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n a S n n -=2 （1）证明：{}1+n a 为等比数列；

12．数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证：数列}{n d 是等比数列；

13．已知数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是关于x 方程220n n x x b -+=的两根，且11a =． （1）求证：数列1{2}3

n

n a -⋅是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）． （Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为等差数列；

15．已知数列{}n a 中,)(3

,1*11N n a a a a n n

n ∈+=

=+ （1）求证:⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧+211n a 是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ; 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *

∈N ．已知11a =，232a =

，35

4

a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．

（1）求4a 的值；

（2）证明：112n n a a +⎧⎫

-

⎨⎬⎩⎭

为等比数列； 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项113,3()n n n a a S n N *

+≠=+∈.

(Ⅰ)求证：{}

3n n S -是等比数列；

18．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46

,n n n a n a n N n

++++=∈．

（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等比数列；

参考答案

1．（1）见解析；（2）2(32)1()334

n

n n S +=

-⨯；

（3）1m ≥或5m ≤- 2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

1

25 3.n n a -=-；（Ⅲ）

211

.

459n n T =--- 3．（1）

234,8

a a ==；（2）见解析；（3）5

4．（1）详见解析；（2）21

n n a n =+；（3）()1

2326n n +-+

5．（1）详见解析；（2） 1 (1)

2

(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪

∴=⎨-≥⎪--⎩

；（3）332． 6．（1）证明1

{

}2

n n a a -+成等比数列的过程详见试题解析；

（2）实数t

t ≤≤． 7．详见解析

8．（1）见解析；（2）()121334

n n

n S +-⋅+=

9．（1）详见解析（2）()1112222

n n n n n n S -+=-

-+ 10．（1）由2(1)n n S n a n n =--知，当2n ≥时，2

1()(1)n n n S n S S n n -=---，即

221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，所以

1111n n n n S S n n -+-=-，对2n ≥成立．又111

11

S +=，所以1n n S n +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是首项为1，公差为1的等差数列．所以11(1)1n n S n n +=+-⋅，即

2

1

n n S n =+．

（

2

）

因

为

32

1111

()3(1)(3)213

n n S b n n n n n n =

==-+++++，所以

1211111

111115115()()22435213262312

n b b b n n n n n n ++

+=-+-+

+

-+-=--<+++++．

11．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，1818k m =⎧⎨=⎩

或65k m =⎧⎨=⎩或4

2k m =⎧⎨=⎩．

12．（1）112n n d -=⨯ （2）1

21n n a -=+

13．（1）见解析；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++为奇数为偶数n n S n n n 313

232

321

1，（3）)1,(-∞ 14．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）12n n S n +=⋅ 15．（1）证明详见解析；（2）23λ-<<．

16．（1）78；（2）证明见解析；（3）()1

1212n n a n -⎛⎫

=-⨯ ⎪

⎝⎭

．

17．(Ⅰ)详见解析； (Ⅱ)(9,3)(3,)-⋃+∞