电磁学第二章习题课
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例1、一平行板电容器，其极板面积为S，间距为d，
中间有两层厚度各为d1和d2，相对电容率分别为r1和
r2的电介质层（且d1＋d2= d）。两极板上自由电荷面
密度分别为±，求：
(1)两介质层中的电位移和电场强度；
(2)极板间的电势差；
(3)电容 解：(1)
D dS D1S1 S1
S1
A
+
r1
D1
S1S1
S2
D
S2
d
B
S2 Q
D S3
dS
D3S3
S3
D1 D2 D3
Q S
D Q
E E 1
1 2 S
0
0
0
E3
D3
0 r
0 r
Q
0 r S
V
B
E
dl
A
d1 0
E1dl
d1 l d1
E3dl
d
d1l E2dl
E1d1 E3l E2d2 E1(d l) E3l
0
(r R2 )
V12
R2
E
dl
q
R1
4 0 r
R2 dr q( R2 R1 ) r R1 2 4 0 r R1 R2
C q 4 0 r R1R2
V12
R2 R1
(2)
W
1 2
CV122
2
0
r
R1
RV2 2 12
R2 R1
例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质
时的电位移和场强：(1)电势差不变；(2)电量不变。
电位移D和场强E的分布，并求出极板上的电量Q 和电容C。
解：在两极板间分别作
三个圆柱形高斯面
d1
D垂由直对于称极性板可且知均两匀板间
l
d2
AS3 S1 Q
S3 S3 r
S1S1
S2
D
S2
d
D由A指向B
B
S2 Q
D
S1
dS
D1S1
S1
D dS
S2
D2S2
S2
d1
l
d2
AS3 S1 Q
S3 S3 r
可见，若VAB不变，则E1=E2=E，D1<D2，Q1<Q2
(2)电量Q不变
+Q
VA
+
0
+ + E1
+ D
+
A d
VB – – – – – B
–Q
+Q
V'A + + + + + A E2 D d
V'B – – – – – B
–Q
由介质中的高斯定量得
D1
D2
D
Q S
E1
D1
0
Q,
0S
E2
D2
Q,
C0
r1 r2
C0 ε0S / d
例2、一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半
径为R2，两球壳间充满了相对电容率为r的各向同
性均匀电介质，设两球壳间电势差为V12，求(1)电 容器的电容；(2)电容器储存的能量。
解(1)设内、外球壳带电分别为q和–q由球对称性和
介质中的高斯定理
D dS
d1 d2
E d1
2
A
r2 r1
dl
+
r1
D1
+
S2
r2
S2
-
-
S1
D2
+ +
S1
E1 E2
-
d1 d2
B
q = S
E1d1
E2d2
( d1 1
d2
2
)
σ ε0
( d1 εr1
d2 εr 2
)
(3)
q C
VA VB
0S
d1 d2
εr1εr 2 ε0 S εr2d1 εr1d2
εr1εr2d εr2d1 εr1d2
(3)该电容器充电后，仍与电源相接，保持其电压 不变，今在两板间插入上述玻璃片。求电容以及两板 间场强与两板上的电荷。
解: (1) C0= 0S/d = 1.77×1011 (F)
E0=V0/d=300/(5×103)=6×104 (V/m)
0 =D0=0E0=5.31×107 (C/m2)
(2) C =rC0= 5×1.77×1011 =8.85×1011 (F) V = q/C = q/(rC0 ) = V0/ r = 300/5 = 60(V) E =V/d = V0/(rd) =E0/ r = (6×104)/5=1.2×104 (V/m)
DdS D4r2
0 , (r R1)
q , (R1 r R2 )
(S)
(S)
0 , (r R2 )
D
0
q
(r R1 )
S
r
q O R1
r
R2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 4r 2
0
(R1 r R2 )
(r
R2
)
–q
由 D E 0 r E
E
0
q 4πε0εr r 2
er
(r R1 ) (R1 r R2 )
S2
+
r2
S2
-
-
B
S1
D2
+ +
S1
E1 E2
-
D1
d1 d2
D dS D1S2 D2S2 0 D1 D2
S2
由 D1 1E1 , D2 2E2 得
E1
D1
1
r1 0
E2
D2
2
r2 0
且有 E1 2 E2 1
(2)
VA VB
d1 0
E1
dl
(3) C′= C = 8.85×1011 (F) E′= V0/d = E0 = 6×104 (V/m) q = CV0= 8.85×1011×300 = 2.66×108 (C)
=q/S = 2.66×108/0.01= 2.66×106 (C/m2) 或 =D = E0= r 0E0 = r 0= 2.66×106 (C/m2)
D1 ε0
1
l d
V
r 1
r
d
E3
D3
0 r
D1
0 r
E1
r
例5、一平行板电容器，两极板间的距离d＝ 5.00mm，板面积100cm2，以300V电源使之充电。
(1)两板间设为真空，求此电容器的电容，板上电 荷面密度及两板间场强。
(2)该电容器充电后，从电源拆下，保持其电量不 变，今在两板间插入厚5.00mm的玻璃片(相对电容率 为5.00)。求电容以及两板间场强与两板间电势差。
解：(1)电势差不变:VAB= VA–VB
VA
+
+Q1
+ +
+ +
A
VA
+
+Q2
+ + + +
A
0 E D1 d
E D2 d
VB –
VAB
–––
–Q1
d
–
B
d
E dl
0
0
Edl
VB Ed
–
–
– ––
–Q2
B
E VAB
d
D1
0 E
V0 AB
d
,
D2
E
VAB
d
Q1 1S D1S, Q2 2S D2S
Q (d l) Q l
0S
0 r S
Qd
0S
1
l d
( r 1)
r
CQ V
1
εo S
l d
ε
r 1
εr
d
1
C0
l εr1
d εr
C0
0S
d
特例:当l
d时,
C
rC0
S
d
Q
CV
1
0 SV
l d
r 1
r
d
D1
D2
D3
σ
Q S
1
l d
0V
r 1
r
d
E1
E2
S
VAB
E1d ,
VAB
E2d
可见，若Q不变，则E1>E2，D1=D2=D， VAB>V'AB
例4、一平行板电容器极板面积为S，间距为d， 其中平行放置一层厚度为l的电介质，其相对电容
率为r，介质两边都是相对电容率为1的空气。已
知电容器两极板接在电势差为V的恒压电源的两端， 并忽略平行板电容器的边缘效应。求两极板间的
中间有两层厚度各为d1和d2，相对电容率分别为r1和
r2的电介质层（且d1＋d2= d）。两极板上自由电荷面
密度分别为±，求：
(1)两介质层中的电位移和电场强度；
(2)极板间的电势差；
(3)电容 解：(1)
D dS D1S1 S1
S1
A
+
r1
D1
S1S1
S2
D
S2
d
B
S2 Q
D S3
dS
D3S3
S3
D1 D2 D3
Q S
D Q
E E 1
1 2 S
0
0
0
E3
D3
0 r
0 r
Q
0 r S
V
B
E
dl
A
d1 0
E1dl
d1 l d1
E3dl
d
d1l E2dl
E1d1 E3l E2d2 E1(d l) E3l
0
(r R2 )
V12
R2
E
dl
q
R1
4 0 r
R2 dr q( R2 R1 ) r R1 2 4 0 r R1 R2
C q 4 0 r R1R2
V12
R2 R1
(2)
W
1 2
CV122
2
0
r
R1
RV2 2 12
R2 R1
例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质
时的电位移和场强：(1)电势差不变；(2)电量不变。
电位移D和场强E的分布，并求出极板上的电量Q 和电容C。
解：在两极板间分别作
三个圆柱形高斯面
d1
D垂由直对于称极性板可且知均两匀板间
l
d2
AS3 S1 Q
S3 S3 r
S1S1
S2
D
S2
d
D由A指向B
B
S2 Q
D
S1
dS
D1S1
S1
D dS
S2
D2S2
S2
d1
l
d2
AS3 S1 Q
S3 S3 r
可见，若VAB不变，则E1=E2=E，D1<D2，Q1<Q2
(2)电量Q不变
+Q
VA
+
0
+ + E1
+ D
+
A d
VB – – – – – B
–Q
+Q
V'A + + + + + A E2 D d
V'B – – – – – B
–Q
由介质中的高斯定量得
D1
D2
D
Q S
E1
D1
0
Q,
0S
E2
D2
Q,
C0
r1 r2
C0 ε0S / d
例2、一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半
径为R2，两球壳间充满了相对电容率为r的各向同
性均匀电介质，设两球壳间电势差为V12，求(1)电 容器的电容；(2)电容器储存的能量。
解(1)设内、外球壳带电分别为q和–q由球对称性和
介质中的高斯定理
D dS
d1 d2
E d1
2
A
r2 r1
dl
+
r1
D1
+
S2
r2
S2
-
-
S1
D2
+ +
S1
E1 E2
-
d1 d2
B
q = S
E1d1
E2d2
( d1 1
d2
2
)
σ ε0
( d1 εr1
d2 εr 2
)
(3)
q C
VA VB
0S
d1 d2
εr1εr 2 ε0 S εr2d1 εr1d2
εr1εr2d εr2d1 εr1d2
(3)该电容器充电后，仍与电源相接，保持其电压 不变，今在两板间插入上述玻璃片。求电容以及两板 间场强与两板上的电荷。
解: (1) C0= 0S/d = 1.77×1011 (F)
E0=V0/d=300/(5×103)=6×104 (V/m)
0 =D0=0E0=5.31×107 (C/m2)
(2) C =rC0= 5×1.77×1011 =8.85×1011 (F) V = q/C = q/(rC0 ) = V0/ r = 300/5 = 60(V) E =V/d = V0/(rd) =E0/ r = (6×104)/5=1.2×104 (V/m)
DdS D4r2
0 , (r R1)
q , (R1 r R2 )
(S)
(S)
0 , (r R2 )
D
0
q
(r R1 )
S
r
q O R1
r
R2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 4r 2
0
(R1 r R2 )
(r
R2
)
–q
由 D E 0 r E
E
0
q 4πε0εr r 2
er
(r R1 ) (R1 r R2 )
S2
+
r2
S2
-
-
B
S1
D2
+ +
S1
E1 E2
-
D1
d1 d2
D dS D1S2 D2S2 0 D1 D2
S2
由 D1 1E1 , D2 2E2 得
E1
D1
1
r1 0
E2
D2
2
r2 0
且有 E1 2 E2 1
(2)
VA VB
d1 0
E1
dl
(3) C′= C = 8.85×1011 (F) E′= V0/d = E0 = 6×104 (V/m) q = CV0= 8.85×1011×300 = 2.66×108 (C)
=q/S = 2.66×108/0.01= 2.66×106 (C/m2) 或 =D = E0= r 0E0 = r 0= 2.66×106 (C/m2)
D1 ε0
1
l d
V
r 1
r
d
E3
D3
0 r
D1
0 r
E1
r
例5、一平行板电容器，两极板间的距离d＝ 5.00mm，板面积100cm2，以300V电源使之充电。
(1)两板间设为真空，求此电容器的电容，板上电 荷面密度及两板间场强。
(2)该电容器充电后，从电源拆下，保持其电量不 变，今在两板间插入厚5.00mm的玻璃片(相对电容率 为5.00)。求电容以及两板间场强与两板间电势差。
解：(1)电势差不变:VAB= VA–VB
VA
+
+Q1
+ +
+ +
A
VA
+
+Q2
+ + + +
A
0 E D1 d
E D2 d
VB –
VAB
–––
–Q1
d
–
B
d
E dl
0
0
Edl
VB Ed
–
–
– ––
–Q2
B
E VAB
d
D1
0 E
V0 AB
d
,
D2
E
VAB
d
Q1 1S D1S, Q2 2S D2S
Q (d l) Q l
0S
0 r S
Qd
0S
1
l d
( r 1)
r
CQ V
1
εo S
l d
ε
r 1
εr
d
1
C0
l εr1
d εr
C0
0S
d
特例:当l
d时,
C
rC0
S
d
Q
CV
1
0 SV
l d
r 1
r
d
D1
D2
D3
σ
Q S
1
l d
0V
r 1
r
d
E1
E2
S
VAB
E1d ,
VAB
E2d
可见，若Q不变，则E1>E2，D1=D2=D， VAB>V'AB
例4、一平行板电容器极板面积为S，间距为d， 其中平行放置一层厚度为l的电介质，其相对电容
率为r，介质两边都是相对电容率为1的空气。已
知电容器两极板接在电势差为V的恒压电源的两端， 并忽略平行板电容器的边缘效应。求两极板间的