28.2.1解直角三角形优秀课件
合集下载
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形 新人教版
3
3 AD AD
∵sinC＝5，AC＝5，∴sinC＝5＝AC＝ 5 ，
∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，
1
1
21
则△ABC 的面积是2·AD·BC＝2×3×(3＋4)＝ 2 .
精选ppt
6.如图 K－19－4，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，若 BD
是△ABC 的角平分线，BD＝8，则△ABC 的三边长分别是( D )
＝8，则 BC 的长是( D )
A.4 3 3
B．4
C．8 3
D．4 3
[解析] D ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
BC
BC
AB＝8，cosB＝AB，即 cos30°＝ 8 ，
∴BC＝8× 23＝4 3.
精选ppt
图K－19－2
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为链接听课例1归纳总结( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵cosA＝bc，∴c＝cobsA＝cos1600°＝110＝20，
2 ∴a＝ c2－b2＝ 202－102＝10 3. (2)c＝ a2＋b2＝ （2 5）2＋（2 15）2＝4 5.
a2 5 3 ∵tanA＝b＝2 15＝ 3 ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
精选ppt
[解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD.
3
AC 3
∵tan∠ACD＝4，∴tanB＝BC＝4.
设 AC＝3x，BC＝4x.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
山东省烟台第四中学人教版九年级数学下册课件：28.2.1解直角三角形
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
cos B a c
B aC
a c cos B 14 cos 72 4.34
A 90 72 18
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
28.2.1 解直角三角形
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹
角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如
图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB
＝54.5m问：倾斜角∠A是多少？
CB
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
AB 2AC 2 2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，b=20，解这个直角三角形 （精确到0.1）
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
A
tan B b
c
b
a
30°
20
b
20 20
B
a tan B tan 35 0.70 28.6
a
C
sin B b c
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
a b c （1）三边之间的关系 2
2
2（勾股定理）
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
《28.2.1解直角三角形》教学课件(共12张PPT)
Ｂ
Ｂ
c 45°
6a
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA的C 平分线AD=4 3，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根
号）？
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
一、真空。
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3Байду номын сангаас
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何 关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
观测点
北
60º
A
？
30海里
C
被B 观测点
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的 长
在直角三角形中,由已知元素求未知
元素的过程,叫 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
(3)边角之间的关系: a
Ｂ
(3)边角之间的关系:
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
2821解直角三角形
能求出这个三角形的其他元素吗?
c a (2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
Ａ
bＣ
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,分别是_三__条_边__和_三__个_角__.
B 在直角三角形的六个元素中,除直 角外,如果知道两个元素, (其中 至少有一个是边),就可以求出其
sinB a ,cosB b ,tan B a
c
c
c
A bC
例1.在RtABC中,C 90, AC 2,BC 6,
解 直 角 三 角 形.
A
知道是求什么吗?
2
解: tan A BC 2 3 C
6
B
AC 6
A 600
B 900 600 300
AB 2AC 2 2
知道是求什么吗?
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰 角为45°,求旗杆的高度(保留根号)
A
B
D 40 C
2.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°,沿着水平 地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角 为600 , 求山高AB.
计算方法要选择， 能用乘法不用除.
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高?
c a (2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
Ａ
bＣ
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,分别是_三__条_边__和_三__个_角__.
B 在直角三角形的六个元素中,除直 角外,如果知道两个元素, (其中 至少有一个是边),就可以求出其
sinB a ,cosB b ,tan B a
c
c
c
A bC
例1.在RtABC中,C 90, AC 2,BC 6,
解 直 角 三 角 形.
A
知道是求什么吗?
2
解: tan A BC 2 3 C
6
B
AC 6
A 600
B 900 600 300
AB 2AC 2 2
知道是求什么吗?
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰 角为45°,求旗杆的高度(保留根号)
A
B
D 40 C
2.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°,沿着水平 地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角 为600 , 求山高AB.
计算方法要选择， 能用乘法不用除.
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高?
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
解直角三角形公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
（2）知道5个元素中几种，就能够求出其 余元素？
第3页
归纳
2、如图：在Rt△ABC中，除直角
C外5个元素之间有下列关系：
（1）两锐角之间关系
斜边c
∠A＋ ∠ B＝90° （2）两边之间关系：a2+b2=c2 A ∠A邻边b
B
∠A对边a
┌ C
（3）边角之间关系
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
A
C
D
B
D′
第26页
思考2：有一块三形场地ABC，测得其中AB边长 为60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这 个三角形场地面积．
第27页
必做题： 书本P93/4、P94/7题．
更上一层楼
第28页
初涉中考题
课后思考：如图，某幼稚园为了加强安全管理，决定将园
内滑滑板倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB长为5米，点
D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改进后滑滑板会加长多少？（准确到0．01）
（2）若滑滑板正前方能有3米长空地就能确保安全，原滑
滑板前方有6米长空地，像这样改造是否可行？阐明理由 (
参考数据：
2 1.414, 3 1.732, 6 ）2.449
A
30º
45º
D
B
C
第29页
2 1.414, 3 1.732
答案: 15.1米
第21页
数学建模及 方程思想
简朴实 际问题
构建
数学模型
思想与办法
解方程
解
解
直角三角形
三角形 梯形
组合图形
通过作高 转化为直 角三角形
九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
AC OC
180
4.5 ，
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B
28.2.1解直角三角形课件第一课时
（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果保留整数） 分如析图：，⊙从O飞表船示地上球能，最点F是
远飞船直的接位看置到，的FQ地是⊙球O上的的切线，
F
点切点，Q应是是从飞视船线观与测地地球球相时的最 切远Q两点时点，的间弧切的P距Q点的离．长，就为是计地算面弧上PPQ、
的长需先求出∠POQ（即a）
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2071km.
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的是仰角；视线在水平线下方的是俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例1:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
C
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
a
b
a
20
20
28.6
tan B tan 35 0.70
B
35°
20 C
sin B = b
c
c b 20 20 35.1
sin B sin 35 0.57
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件 解直角三角形.
28.2.1 解直角三角形
6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1515，8ຫໍສະໝຸດ tanA＝17 ，则AB＝
.
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝ 20 2 ，则∠A＝
45° ，∠B＝ 45°
，b＝ 20
.
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角
线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长
线上，8 若∠CAE＝15°，则AE＝
10.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝1 3
45°，sinB＝ ，AD＝1.求BC的长.
解：在 Rt△ABD 中，∵sinB＝AADB＝13，又∵AD＝1， ∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1.
A.R2－r2＝a2
B.a＝2Rsin36°
C.a＝2rtan36° D.r＝Rcos36°
13.在△ABC 中，AB＝12 2，AC＝13，cos∠B＝ 22，则 BC 的边长为( D ) A.7 B.8 C.8 或 17 D.7 或 17
14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，边 AB 的垂直平分线
应用：过D作DH⊥AC于H， 则∠DHO＝90°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OD＝12BD＝12b， ∵∠DOH＝α，∴DH＝OD·sinα＝12bsinα，∴S△ACD＝12AC·DH＝ 12a×12bsinα＝14absinα，∴▱ABCD 的面积＝2S△ACD＝12absinα.
分别交边 BC，AB 于点 D，E，如果 BC＝8，tanA＝43，那 25
么 BD＝ 4 .
15.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为
人教版数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 课件(共27张PPT)
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.