O向量表示三角形的五心

O向量表示三角形的五

心

Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

向量代表三角形的“心”

向量是代数与几何的主要桥梁，这种联系不仅体现在平面直角坐标系中点的坐标与向量的坐标之间的对应关系，还体现在由向量表达式和向量的几何中意义与平面几何中三角形的“心”之间的密切联系。 一、重心

例1 已知O 是△ABC 的重心，求证：0=++OC OB OA 。 解：如图，由已知，O 是△ABC 的重心。连结AO 、BO 、CO ，使它们的延长线与BC 、CA 、AB 分别交于点D 、E 、F 。

)(3232CA DC DA OA +==，)(32

32AB EA EB OB +==， )(3

2

32BC FB FC OC +==

， 所以BC BC AB CA FB EA DA OC OB OA 2

1(32)(3

2=+++++=++

0)2

1

21=++=+++++BC AB CA BC AB CA AB CA 。 例2 已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0=++OC OB OA ，则

O 是△ABC 的重心。

证：∵0=++OC OB OA ，∴)(OC OB OA +-=，即OC OB +是与OA 方向相反且长度相等的向量。

以OB 、OC 为相邻的两边作平行四边形BOCD ，则OC OB OD +=，∴OA OD -=。在平行四边形BOCD 中，设BC 与OD 相交于E ，EC BE =，则ED OE =。∴点O 是△ABC 的重心

例3 在凸六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6中，各边A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4、A 4A 5、A 5A 6、A 6A 1的中点依次为M 1、M 2、M 3、M 4、M 5、M 6。求证：△M 1M 3M 5与△M 2M 4M 6的重心重合。

证：设△M 1M 3M 5的重心为G ，则对于平面内的任一点O ，有

)(3

1

531OM OM OM OG ++=。

∵M 1、M 3、M 5分别为A 1A 2、A 3A 4、A 5A 6的中点，∴)(2

1211OA OA OM +=，)(2

1433OA OA OM +=，

)(21

655OA OA OM +=，又

M 2、M 4、M 6分别为A 2A 3、A 4A 5、A 6A 1的中点，∴

)(2

1

322OA OA OM +=，

)(21544OA OA OM +=，)(2

1

166OA OA OM +=，

∴)(3

1)(6

1642165432OM OM OM OA OA OA OA OA ++=+++++=。∴G 为△M 2M 4M 6的重心。

∴△M 1M 3M 5与△M 2M 4M 6的重心重合。 二、内心

例4 O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

⎭

⎫⎝⎛+

+=||||AC AB λ，0[∈λ, )+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解: 如图(1)，作向量，则由向量加法:A +=, ① 由已知可知，⎭⎫⎝⎛+

+=|||

|AC AB λ , ② 由①、②，可知 ⎭

⎫⎝⎛+=||||AC AB λ, ③ |

|AB 、

|

|AC 都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作□AB 1P 1C 1，这时□AB 1P 1C 1是

菱形，对角线AP 1平分11AC B ∠，且|

|1AB ④ |

|1AC =⑤ 由

③、④、⑤，可知:1λ=。

再由0[∈λ, )+∞可知，P 点的轨迹是射线AP ，∴P 点的轨迹一定通过△ABC 的的内心。选B 。

例5 （1）设△ABC 是任意三角形，AD 、BE 、CF 分别为其内角A ∠、B ∠、C ∠的平分线，求证：

AD 、BE 、CF 交于一点G 。

（2）设△ABC 的三个项点A 、B 、C 的坐标为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 3, y 3)，A 、

B 、

C 的对边的长分别为a 、b 、c ，根据第(1)小题的结果，写出△ABC 的内心G 的坐

标(x , y )。

解：（1）由于本题难度很大，所以，我们采用一题三图的方式给出解答，以免字母混乱的现象发生，三个图

如图所示。在题目的证明之前，我们先说明一个问题：21111OP OP OP λ

λ

λ

++

+=中，1111=+++λ

λ

λ。∴OP 总可以写成以下的形式：2

1)1(OP x OP x OP -+=，

2

1)1(OP y OP y OP -+=，等等。

（1）如图(1)，设△ABC 的A ∠、B ∠、C ∠的对边的长依次为a 、b 、c 。如图(2)，任取一点O ，设AD 与BE 相交于点G 。由三角形的内角平分线的性质可知，c

b DB

CD =，

所以c

b OC

c OB b OD ++=。虽然我们不知道GD

AG ，但OG 毕竟可以表示成OD x OA x OG )1(-+=，

即c

b OC

c OB b x OA x OG ++-+=)

1(…①。重复上述方法，OG 还可以表示成c a OC

c OA a y OB y OG ++-+=)

1(…②。由①和②可得，c

b a a

x ++=，c

b a b

y ++=

。把

x 代入①

可得（也可把y 代入②），c

b a OC

c OB b OA a OG ++++=

…④。由③、④可知，G

和G 1重合。

综上，AD 、BE 、CF 相交于一点G 。

（2）由第(1)小题的结果可知，c

b a OC

c OB b OA a OG ++++=

，在这个式子中，OG 、OA 、

OB 、OC 分别用

x 系列、y 系列置换，得到△ABC 的内心G 的坐标是(x ,

y )=(c

b a cx bx ax ++++321, c

b a cy by ay ++++321)。

三、垂心

例6 P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的 A ．外心 B ．内心 C ．重心

D ．垂心