4 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件

设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 ( 2 )R ( n , n ) E [ X X ] X n n 0 , 0
T 1 X ( t ) E [ X ( t )] ,即 l . i . m X ( t ) d t m X T T 2 T P . 1 r
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若
X ( t)X ( t ) E [X ( t)X ( t ) ], 即
P. r 1
(3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ；
（自相关平稳）
则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。
常用平稳性之间的关系
严平稳
n 阶平稳 ( n>2 )
高பைடு நூலகம்过程
广义平稳
二阶平稳
自相关平稳
一阶平稳
均值平稳
例1——白噪声
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2

设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
lim R ( X
) m Xm X.
4.2
平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
1 T l.i.m X ( t)X ( t )d t R ) X( T T 2 T 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都 具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
R ( ) R ( ) X X
R (t ,t ) a a 0;
X i j i j
(4) RX()是非负定的，即
i, j 1
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ； (6) 若 X (t) 是非周期过程，当 时，X (t) 与 X (t+)相互 独立，则
同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程，
也称狭义平稳过程。
N 阶平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对于正整数 n N 和
任意常数 ，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，
( X(t1), X(t2), … , X(tn) )与( X(t1+ ), X(t2+ ), … , X(tn+ ) )
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R 0 ) 0 ; X( (2) R ( ) R ( ) ; X X (3) R ) R 0 ); X( X(
n
实平稳过程的相关函数是偶函数
分别称
1 T X ( t) l.i.m X ( t)d t T T 2 T 1 T X ( t)X ( t ) l.i.m X ( t)X ( t )d t T T 2 T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若

2 t ) f ( ) d sin( 2 t ) d 0 sin(
1 0
R ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )] X
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 ( t )] d 0 0 , 0
大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本 函数都能够“遍历”各种可能状态——遍历性（或各 态历经性、埃尔古德性）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则
有相同的n维联合分布函数，则称{X (t), t T } 具有N 阶
平稳性。
（其实，当 n = N 时条件满足即可）
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳）