4 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
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随机过程课件打印版
当An An 1 , n 1
当An An 1 , n 1
9
A1 A2
连续性定理
A1 A2
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
An Ai 新事件：lim n i 1
lim An Ai
n i 1
3 对于R n中的任意区域， a1 , b1; a2 , b2 ;;a n , bn ，其中 ai bi , i 1,, n
F b1 , b2 ,, bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,, b j 1 , a j , b j 1 ,, bn ，
d P({e : g( X ) y, e X }) dy
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这 个导数就给出了随机变量Y的概率密度
fY ( y)
19
20
n维联合分布函数F x1 , x 2 , x n 具有下列性质 :
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无 穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这 种特殊性质，我们称其为边缘分布。 对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y ) 则： FX ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
P( X x,Y y) P((X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)kFra biblioteknpkq
nk
, k 0 ,1 , 2 n
p
P(X k)
k
k!
当An An 1 , n 1
9
A1 A2
连续性定理
A1 A2
则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称 为概率空间，P（A）为事件A的概率。
An Ai 新事件：lim n i 1
lim An Ai
n i 1
3 对于R n中的任意区域， a1 , b1; a2 , b2 ;;a n , bn ，其中 ai bi , i 1,, n
F b1 , b2 ,, bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,bn F b1 ,, bi 1 , ai , bi 1 ,, b j 1 , a j , b j 1 ,, bn ，
d P({e : g( X ) y, e X }) dy
如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这 个导数就给出了随机变量Y的概率密度
fY ( y)
19
20
n维联合分布函数F x1 , x 2 , x n 具有下列性质 :
三、边缘分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无 穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这 种特殊性质，我们称其为边缘分布。 对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为： F ( x, y ) 则： FX ( x ) P ( X x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
P( X x,Y y) P((X x) (Y y)) P( X x)P(Y y)kFra biblioteknpkq
nk
, k 0 ,1 , 2 n
p
P(X k)
k
k!
随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件
在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定 过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
04 马 氏 过 程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。 特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明 当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是 这就可得到 于是
Gauss 系
命题1.8
于是 这就可得到 于是 这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是 这就可得到 而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念 、 简 单 性 质 与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含 证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令 由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在 由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理
《随机过程及其应用》PPT课件
• 我们称这个极限limP(x(n)=0)＝ 为{x(n),n 0} 的绝灭概率，显然 0 1 • 定理2.5设{x(n),n 0}是一个初始状态为1的以 f(s)=p(0)+p(1)s+…为本原母函数的分枝过程。 为其绝灭概率，则 • (1) =f( ) =1 • (2)当 1,p(1)<1时有 • (3)当1< 时, 是s=f(s)在[0,1)内的唯一解
• 所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要 知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 • 二、分枝过程 • • • • 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质 点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一 单位时间，一个质点可分离成k个质点 （k=0,1,2…)并设 • （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具 有共同分布 • （2）质点的分离情况与其年龄无关
k
(5) 2 (1) n(0) 2 , 2 f " (1) f ' (1) ( f ' (1))2 (6) 当 1时, 2 (n) n(0) 2 n ( n 1) /( 2 ) 2 2 当 = 1时， (n) n0 n 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则{X(n),n 0} 的一切信息都知道了。 对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。 下面来讨论过程灭绝的概率 • 因为{X(n)=0} {x(n+1) =0} • 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0)1,即 {P(x(n)=0),n=1,2,…}是一个单调有界序列，故 其极限一定存在。 • • • • • •
• Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻 (n+1)时刻分离出的质点数。 • X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 • X(0)=n(0) • X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)＋…+Z(1,n(0)) • X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+…Z(2,x(1)） • ……………. • X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+…+Z(n+1),x(n)) • 上面的假设（1）、（2）说明{z(n+1,i),i 1,n 0}是一族相互独立具有共同分布的取非负整数 的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)
刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件6b剖析
协方差函数 CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t)
min( s,t) s , (s t)
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
6.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
fT
(t )
et
(t)k 1 ,
(k 1)!
t
0
0 ,
t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P( X
k)
n kpkqnkE( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X k ) ke
n
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC6-2
13
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
1 p1 j = P{ X (n + 1) = j | X ( n) = 1} = , j = 1, 2, L , 6 6 而又当X(n)=2时 由题意应知条件概率
p 21 = P{ X ( n + 1) = 1 | X ( n ) = 2} = 0 p2 j = 1 , j = 3, 4, 5, 6 6
1) pij ( k ) ≥ 0 2) ∑ p ij ( k ) = 1
j∈E
∀ i, j ∈ E ∀i ∈ E
第1)条性质是由概率定义所决定的; 第2)条性质利用全概率公式可知其正确性 实际上 ∀i ∈ E , ∑ pij (k ) = ∑ P{ X (k + 1) = j | X (k ) = i}
2
一 马氏链的定义
1 可列状态与有限状态马氏链
定义2.1 设{X(n),n 0}为一随机序列 其状态集为 E= {i0,i1,i2,…} 若对于任意的n 及i0,i1,i2,…in+1 对应的随机变量X(0),X(1),X(2),...,X(n+1)满足
P{X (n +1) = j | X (n) = in , X (n −1) = in−1,L, X (1) = i1, X (0) = i0} = P{X (n +1) = j | X (n) = in )
= P{X (n +1) = in+1 | X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }P{X (0) = i0 ,
X (1) = i1,L, X (n) = in } = P{X (n +1) = in+1 | X (n) = in }P{X (0) = i0 , X (1) = i1,L, X (n) = in }
《随机过程——计算与应用》课件平稳过程4
RX ( ) e2 , (, )
试计算X的谱密度.
解
谱密度S（X ）
e
j
RX
(
)d
e j e2 d
2 cos( )e2 d 0
4
4 2 2
,
(, )
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程，
且满足 E[Xt -Xs ]2 t s , 令 Yt Xt -Xt1,
k l =-
+
2 ckckm RY (m) k=-
Y为平稳序列.
+
又
RY (m)
2 ckckm
m
m k=-
+
2
ck ckm
m k=-
+
2
ck cl
k=- l
令 kml
2 ( ck ) cl
k
l
（2 ck ）2 k
所以Y 存在谱密度.
Y的谱密度
又称
lim E[ 1
T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
绝对可积,则有
SX ()
e
jt
RX
(
)dt
证明 因为
1E 2T
T T
e
jt
X t dt
2
1 2T
E[
T T
e
js
X
s
ds
T T
e
jt
X
T
X
e
jwu
随机过程4(34)精品PPT课件
1. 功率谱密度的概念
●工程实际中, 能量有限的信号x(t)称为 能量型信号, 可以定义它的总能量:
x2 (t)dt
当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.
●另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即
P lim 1 T x2(t)dt
T 2T T
称为 功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.
说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 右式也是总能量的谱表达式.
由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的, 不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上的平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式, 构造一个截尾函数:
§4 平稳过程的功率谱密度
● 之前对平稳过程的讨论都是在进行的. 在时域上描述了平稳过程的统计特征.
● 但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其 在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即 从频率的角度来研究随机过程的统计特征. 例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的 研究. 其中广泛采用的方法是频率域分析方法.
T e jt X (t)dt
T
称 lim E[ 1 T X 2 (t) dt] 为过程的平均功率.
T 2T T
定理1 设{X(t), -∞<t<+ ∞}是平稳过程,若RX(τ) 绝对可积,则有
S X
()
lim
T t
T
lim 1
T 2T
E[ FX (,T ) 2 ]=
即
S（x ）
lim 1 T 2T
Fx (,T )
2
lim
《随机过程及其应用(第三版)》课件SJGC5-1
6
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
3. 严平稳过程的数字特征
(1)均值函数 m X ( t ) = E [ X ( t )]
=∫
2
+∞
−∞
xf ( x, t )dx = ∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = 常数= mX
均方值函数
2 (t) = E[X 2 (t)]= ψX
∫
+∞
−∞
x f (x, t)dx =
+∞ −∞ 2
2
∫
+∞
一 二 三
平稳过程 宽平稳过程 联合平稳过程
1
一
平稳过程
为一随机过程 若对任
1. 严平稳过程定义
定义1.1 设{X (t) ,t 意整数n 任意的
t1 , t 2 , L , t n ∈ T ,
即
t1 + ε, t2 + ε ,L, tn + ε ∈T
其n维分布函数相等
F , xn,t1,t2,L ,tn) = F(x1, x2,L , xn,t1 +ε,t2 +ε,L ,tn +ε) n(x 1, x2,L
[
]
[
] [
]
14
2 ) R X ( −τ ) = R X (τ )
பைடு நூலகம்
因为R X (τ ) = E X (t ) X (t + τ ) = E X (t )X (t + τ )
= E X (t + τ ) X (t ) = E ( X ( s ) X ( s − τ )] = R X ( −τ )
[
CX (t1 , t2 ) = Cov( X (t), X (t2 )) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t 2 ) = RX (t2 − t1 ) − mX mX = CX (t2 − t1 )
第11讲 随机过程及其应用(第三版) 刘次华第4章马尔科夫链(3)
其中 D = {1} 是非常返集
C1 = {2 ,3,4},C2 = {5,6,7}
2 3 4
1 5 7 6
是常返闭集，非周期
lim （1）求每一个不可约闭集的极限分布（2）求 n →∞ p12
( n)
解（1）：这是一个可约马氏链。根据状态空间的分解 定理，状态空间分解为： I = {1} + {2,3, 4} + {5, 6, 7}
5
6
1
二、平稳分布
定义4.11
例1 ：设马尔科夫链的转移概率矩阵为
⎡ 0.7 0.1 0.2⎤ P = ⎢ 0.1 0.8 0.1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣0.05 0.05 0.9⎥
设齐次马氏链转移概率矩阵为P,
且
若π = (π 1 , π 2 , )满足方程：
π =πP
∑π
j
j
=1
则称 π = (π 1 , π 2 , ) 为该马氏链的 平稳分布 定理4.16 不可约非周期的马氏链，其极限分布存 在（或状态是正常返）的充要条件是存在平稳分 布，且此平稳分布就是极限分布。即 1 πj =
15
故从上式可解得：
16
2 lim p12 ( n ) = n →∞ 9
注: 对于一般可约马氏链， lim pij (
n →∞
n)
的情形如下:
例4 马氏链的概率转移图所示，分析转移概率极限:
I = D + C1 + C2 = {1, 5} + {2,3} + {4,, 6}
先进行状态空间分解： I = D + C1 + C2 +
,
(设j ∈ C
m
, Cm为不可约非周期常返闭集 )
随机过程及其应用
第3章 3.1
3.2
3.3 3.4
Gauss 过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Gauss 过程的基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.1.1 多元 Gauss 分布的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 多元 Gauss 分布的特征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3 协方差阵 Σ 不满秩的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 多元 Gauss 分布的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 边缘分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 高阶矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.4 线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.5 条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Gauss-Markov 性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Gauss 过程通过非线性系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.1 理想限幅器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.2 全波线性检波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.3 半波线性检波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.4 平方律检波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
随机过程课件第1讲
如：
1/2
pj
-1
1
x
2）时间离散——样本函数 xi (t ) 在时间t上也是离散的(序列)。
) X i(t
+1
取值离散
t
-1
二、按随机过程的概率分布或性质来分类 1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程——其每一个状态Xj 均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。 2)、平稳随机过程——过程的一阶，二阶矩不随时间的变 化而变化 3)、独立增量过程——每一个状态的增量之间相互独立。 三、按随机过程的样本函数的可确定性来分类 1）、确定的随机过程 2）、不确定的随机过程
随机过程的基本概念
1. 随机信号的概念
确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函 数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它 未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的 还是这种波形。 随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用 确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。 这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。
k
0
j
t
2）状态连续——状态取值连续，即幅度上也连续。当t固定时，其 状态Xj是连续型随机变量。 如其概率密度
fj(xj)
xj
2
离散型随机过程 X(t,ζ)
1）状态离散——当t固定时，状态Xj取值离散如（－1，1）,其 状态是离散型随机变量。其概率分布如：
Pj 1 2
−1
0
1
xj
2）时间连续——当ζ固定时，其样本函数 xk (t) 是时间t的连续函 数如： xk (t)
随机信号分析与处理是一门研究随机信号的特点与规律 的学科。 随机信号处理已是现代信号处理的重要理论基础和有效 方法之一。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
4 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
均值各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过程，
则它的均值具有各态历经性的充要条件为
T 12 2 lim 1 [ R ( ) m d 0 X X] 2 T T 2 T 2 T
R ( ) R ( ) X X
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
均值各态历经的充要条件
[定理] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的平稳过程，
则它的均值具有各态历经性的充要条件为
T 12 2 lim 1 [ R ( ) m d 0 X X] 2 T T 2 T 2 T
R ( ) R ( ) X X
《随机过程——计算与应用》课件随机过程引论课件3
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V
cos 3 4
2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
3
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f
3 4
(
x)
fV
(h(x)) 0
h(
x)
0 h(x) 1 其它
2
0
0 2x 1 其它
则利用特征函数性质： (k) (0) jk EXk
得 EX (0)
j
EX
2
(0)
j2
2
DX EX 2 (EX )2
补例4. 设X1 , X 2 ,
,
X
相互独立，且
n
Xk服从正态分布：N（k，k2）,k =1,2, ,n
n
用特征函数求随机变量Y= Xk的概率分布
k=1
解：由题意Xk
练习题
1.利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
出现正面与反面的概率相等.
2.利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程
Xt
cost ,出现正面
2t ,
出现反面
0 t
⑴ 求Xt的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x).
⑵ 求Xt的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
为随机过程X的有限维特征函数族.
关于随机变量的特征函数的回顾 定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
特征函数的几点说明 (1) 特征函数总是存在的.
5a 刘次华《随机过程及其应用(第三版)》课件
( t t ) 1 2
输出与输入的互相关函数
R ( t ,t )E [ Y ( t )X ( t ) ]E X ( t u ) h ( u )X ( t ) d u YX 1 2 1 2 1 2
[X ( t u )X ( t ) ] h ( u ) d u 1 2 E
1 2 X 1 2
当输入过程 X (t) 为自相关平稳时，
R ( ) ( u v ) h ( u ) h ( v ) d u d v Y X R
R ( ) h ( ) h ( ) , X
5
平稳过程通过线性系统的分析
线性时不变系统
系统：
y ( t ) L [ x ( t )]
线性系统：
L [ a x ( t ) a x ( t )] a L [ x ( t )] a L [ x ( t )] 1 1 2 2 1 1 2 2 a y ( t ) a y ( t ) 1 1 2 2
2
因为 R ( ) R ( )h ( )h ( ) Y X 故s ) sX( )H ( )H ( ) Y( 2 H ( ) s ( ) X
[例2] 如图RC电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关
h ( t ) 0 ,当 t 0
h (t)d t
随机过程通过线性系统的输出
设线性系统的单位脉冲响应为 h (t) ，当输入一个随机 过程 X (t) 时，其输出随机过程 Y (t) 为
Y ( t ) X ( t ) h ( t ) ( t ) h ( ) d X
随机数学第1讲 第一章预备知识
c12 c 22 cn2
c1 n ⎞ ⎟ c2n ⎟ ⎟ ⎟ c nn ⎟ ⎠
为 n 维随机变量的 协方差矩阵 .
定理：( X 1 ,
当 ρXY = 0 时, X 和 Y 不相关.
, X n ) 的协方差阵B 是对称，非负定的。
证明：对任意
x Bx = ∑
T i =1 n n n
x T = ( x1 , x2 ,
(
))
)
⎡ n = E ⎢∑ ⎣ i =1
n
∑x x (X
j =1 i j
n
i
⎤ − EX i ) X j − EX j ⎥ ⎦
(
证明： 对任意的实数t,
E[ X + Yt ]2 = t 2 EY 2 + 2tE[ XY ] + EX 2 ≥ 0 Δ = b 2 − 4ac = ( 2 E[ XY ]) − 4 EY 2 EX 2 ≤φ( t ) = E (e itX ) = 1i e itc = e itc , t ∈ R. Ex.2 两点分布
X 0 1 PX 1-p p
X c PX 1
Ex.3 指数分布 f ( x ) = ⎨
⎧λ e − λ x , ⎪ ⎪0, ⎩
x ≥ 0; x < 0.
(λ > 0)
φ(t ) = E e itX = ∫ e itx λe −λx dx
0
( )
2
+∞
φ(t ) = E eitX
( )
= ∫0 λe − λx costxdx + i λ ∫0 e − λx sintxdx
=λ
=
+∞
+∞
= eit⋅0 (1 − p) + eit⋅1 p
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有相同的n维联合分布函数，则称{X (t), t T } 具有N 阶
平稳性。
（其实，当 n = N 时条件满足即可）
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳）
大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
只要观测的时间足够长，则随机过—遍历性（或各 态历经性、埃尔古德性）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则
设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 ( 2 )R ( n , n ) E [ X X ] X n n 0 , 0
2 t ) f ( ) d sin( 2 t ) d 0 sin(
1 0
R ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )] X
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 ( t )] d 0 0 , 0
同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程，
也称狭义平稳过程。
N 阶平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对于正整数 n N 和
任意常数 ，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，
( X(t1), X(t2), … , X(tn) )与( X(t1+ ), X(t2+ ), … , X(tn+ ) )
lim R ( X
) m Xm X.
4.2
平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
R ( ) R ( ) X X
R (t ,t ) a a 0;
X i j i j
(4) RX()是非负定的，即
i, j 1
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ； (6) 若 X (t) 是非周期过程，当 时，X (t) 与 X (t+)相互 独立，则
T 1 X ( t ) E [ X ( t )] ,即 l . i . m X ( t ) d t m X T T 2 T P . 1 r
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若
X ( t)X ( t ) E [X ( t)X ( t ) ], 即
P. r 1
(3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ；
（自相关平稳）
则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。
常用平稳性之间的关系
严平稳
n 阶平稳 ( n>2 )
高斯过程
广义平稳
二阶平稳
自相关平稳
一阶平稳
均值平稳
例1——白噪声
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R 0 ) 0 ; X( (2) R ( ) R ( ) ; X X (3) R ) R 0 ); X( X(
n
实平稳过程的相关函数是偶函数
1 T l.i.m X ( t)X ( t )d t R ) X( T T 2 T 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都 具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
分别称
1 T X ( t) l.i.m X ( t)d t T T 2 T 1 T X ( t)X ( t ) l.i.m X ( t)X ( t )d t T T 2 T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1
平稳性。
（其实，当 n = N 时条件满足即可）
宽平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，如果 (1) {X (t), t T }是二阶矩过程； (2) 对任意 t T ，mX(t) = E{X(t)} = 常数；（均值平稳）
大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间 平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。
只要观测的时间足够长，则随机过—遍历性（或各 态历经性、埃尔古德性）
时间均值和时间相关函数
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，则
设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。
[解]
因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 ( 2 )R ( n , n ) E [ X X ] X n n 0 , 0
2 t ) f ( ) d sin( 2 t ) d 0 sin(
1 0
R ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )] X
1
1 2 , 0 sin( 2 t ) sin[ 2 ( t )] d 0 0 , 0
同的联合分布函数，则称{X (t), t T } 为严平稳过程，
也称狭义平稳过程。
N 阶平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对于正整数 n N 和
任意常数 ，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，
( X(t1), X(t2), … , X(tn) )与( X(t1+ ), X(t2+ ), … , X(tn+ ) )
lim R ( X
) m Xm X.
4.2
平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
R ( ) R ( ) X X
R (t ,t ) a a 0;
X i j i j
(4) RX()是非负定的，即
i, j 1
(5) 若 X (t) = X (t+T)，则有 RX() = RX(+T) ； (6) 若 X (t) 是非周期过程，当 时，X (t) 与 X (t+)相互 独立，则
T 1 X ( t ) E [ X ( t )] ,即 l . i . m X ( t ) d t m X T T 2 T P . 1 r
以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。
若
X ( t)X ( t ) E [X ( t)X ( t ) ], 即
P. r 1
(3) 对任意s , t T ，RX (s, t) = E[X(s)X(t)] = RX (ts) ；
（自相关平稳）
则称{X (t), t T } 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。
常用平稳性之间的关系
严平稳
n 阶平稳 ( n>2 )
高斯过程
广义平稳
二阶平稳
自相关平稳
一阶平稳
均值平稳
例1——白噪声
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。
[解] E [ X ( t )] E [sin( 2 t )]
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) R 0 ) 0 ; X( (2) R ( ) R ( ) ; X X (3) R ) R 0 ); X( X(
n
实平稳过程的相关函数是偶函数
1 T l.i.m X ( t)X ( t )d t R ) X( T T 2 T 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。
[定义] 如果均方连续的平稳过程 { X (t), t T } 的均值和相关函数都 具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。
4 平稳随机过程
内容提要
平稳过程的概念与性质
平稳过程 的各态历经性
平稳过程的功率谱密度
联合平稳过程
4.1
平稳过程的概念与性质
严平稳过程
[定义] 设{X (t), t T }是随机过程，若对任意常数 和正整 数n，t1 , t2 , … , tn T ，t1+ , t2+ , … , tn+ T ，( X (t1), X(t2), … , X (tn) )与( X (t1+ ), X(t2+ ), … , X (tn+ ) )有相
分别称
1 T X ( t) l.i.m X ( t)d t T T 2 T 1 T X ( t)X ( t ) l.i.m X ( t)X ( t )d t T T 2 T
为该过程的时间均值和时间相关函数。
各态历经性
[定义] 设 { X (t), < t < } 为均方连续的平稳过程，若
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
大数定理（回顾）
设独立同分布的随机变量序列 {Xn , n = 1, 2, }， 具有 E[Xn] = m, D[Xn] = 2, ( n = 1, 2, )，则
1 N lim P X m 1 k N N k 1