常微分方程的线性多步法剖析

，xn r 作为插值 在上述Adams显式公式的推导中，选用了xn，xn1，
，xnr 1 个外推结果。为了改善逼近效果，我们变外推为内推，即改用xn1，xn，
xn，f n ， xnr 1，f nr 1 构造插值 ， ， 为插值节点，用数据点 xn1，f n1
y x n 1 y xn
xn1
xn
f x，y x dx。 （8.4.1）
如推导Newton-Cotes求积公式一样，用等距节点的插值多项式来替代被积函 数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。 例如，用梯形方法计算积分项

x n 1
xn
h f x，y x dx f xn，y xn f xn1，y xn1 ， 2
第八章常微分方程数值解法 代入（8.4.1）式有
y xn1 y xn
h f xn，y xn f xn1，y xn1 。 2
据此即可导出公式（8.1.4）。
xn1，f n1 ， xnr，f nr ， ， 一般地，设由 r 1 个数据点 xn，f n
第八章常微分方程数值解法 可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示
0
-5
-10
-15
-20
-25
0
0.5
1
1.5
Leabharlann Baidu
2
2.5
3
+ 表示 p=1时的解，* 表示 p=1.1时的解
第八章常微分方程数值解法
节点。这样的插值多项式 Pr x 在求积区间xn，xn1 上逼近 f x，y x 是一
vi 1 vi
h f i f i 1 ，i 1， 2， 2
求其他需要计算的值。当 p=1 时，取 h=0.2 有
第八章常微分方程数值解法
v0 0，v1 5.4400 ，v2 9.3920 ，v3 12.3816 ， v4 14.6187 ，v5 16.2975 ，v6 17.5564 ，v7 18.5007 ， v8 19.2088 ，v9 19.7400 ，v10 20.1383 ，v11 20.4371 ， v12 20.6611 ，v13 20.8292 ，v14 20.9552 ，v15 21.0497 。
第八章常微分方程数值解法
8.4
线性多步法
8.4.1 基于数值积分的方法
8.4.2
基于Taylor展开的方法
8.4.2
基于Taylor展开的方法
第八章常微分方程数值解法
8.4
线性多步法
常微分方程初值问题（8.1.1）的数值解法中，除了Runge-
Kutta型公式等单步法之外，还有另一种类型的解法，即某一步的
公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利 用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，
可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径，下面先讨论
基于数值积分的方法。
第八章常微分方程数值解法
8.4.1 基于数值积分的方法
将（8.1.1）中的方程在区间 xn，xn1 上积分，可以得到
p 为 F kv ，其中 1 p 2 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气
的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型：
第八章常微分方程数值解法
dv p m k v mg ，v0 0， dt
负号表示下降。显然，当 1< p <2 时，适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法
可见，三秒末跳伞员的末速度约有 21 ft / se c 。 若将模型修改为 p=1.1，取 h=0.2，则有计算结果：
v0 0，v1 5.3216 ，v2 8.8911 ，v3 11.2565 ， v4 12.8630 ，v5 13.9411 ，v6 146674 ，v7 15.1552 ， v8 15.4830 ，v9 15.7030 ，v10 15.8508 ，v11 15.9500 ， v12 16.0165 ，v13 16.0612 ，v14 16.0912 ，v15 16.1113 。
多项式 Pr x ，则有
Pr x f n j 1l j x ，l j x
j 0
r
k 0，k j

r
x xn k 1 。 xn j 1 xn k 1
于是我们有如下的计算公式
第八章常微分方程数值解法
yn 1 yn h rj f n j 1，
yn1 yn h rj f n j，
j 0
r
（8.4.2）
其中
r 1 1 xn1 tk rj l j x dx dt，j 0， 1，r。 x 0 n h k 0，k j k j
由此可得（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。
第八章常微分方程数值解法
表 8-6
j 0 1 3 23 55 -1 -16 -59 -2774 5 37 2616 -9 -1274 251 1 2 3 4
0 j
2 1 j 12 2 j 24 3 j
720 4 j 1901
应用实例： 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述：F=ma。实验表明，空气阻力模型
构造插值多项式 Pr 运用插值 公式有
f x ，这里，
k
f xk，yk ，xk x0 kh 。
Pr x f n j l j x ，l j x
j 0
r
k 0，k j

r
x xn k 。 xn j xn k
第八章常微分方程数值解法