§_7_空间解析几何与向量代数习题与答案

i j k a × b = 3 − 1 − 2 = 5i + j + 7 k 1 2 −1
（2） (−2a ) ⋅ 3b = −6(a ⋅ b) = −18 ， a × 2b = 2(a × b) = 10i + 2 j + 14k （3） cos(a, b) =
^
a ⋅b 3 = a ⋅ b 2 21
π
3
的平面方程.
6、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (−3,5,−1) ，且垂直于 6 x − 2 y + 3 z + 7 = 0 的平面. 7、求过直线
x − 2y + z −1 = 0 x y z ，且与直线 l 2 ： = = 平行的平面. 1 −1 2 2 x + y − z − 2 = 0 y =1 垂直相交的直线方程 z = −1

x−4 共面的充要条件得 6 −7
y −1 z − 2 −2 3 = 0 ，整理得所求平面方程 4 −3
7、思路：用平面束。设过直线 l1 的平面束方程为 x − 2 y + z − 1 + λ (2 x + y − z − 2) = 0 答案：平面方程为 11x + 3 y − 4 z − 11 = 0 8、思路：求交点 (1,1,−1) ，过交点 (1,1,−1) 且垂直于已知直线的平面为 x − 1 = 0 。
3、设 a = (3,5,−2), b = (2,1,4) ，问 λ与µ 满足_________时， λa + µb ⊥ z轴 .
三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z = 0 表示______________曲面. 3、1)将xOy坐标面上的 y 2 = 2 x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为___________________. 2)将 xOy 坐标面上的 x 2 + y 2 = 2 x 绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将 xOy 坐标面上的 4 x 2 − 9 y 2 = 36 绕 x 轴及 y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中 y = x 2 表示____________图形。在空间解析几何中 __
2x − 4 y + z = 0 在平面 4 x − y + z = 1 上的投影直线方程. 3 x − y − 2 z − 9 = 0
C 1、设向 量 a, b, c 有相同起点,且 αa + βb + γc = 0 ，其中 α + β + γ = 0 ，α , β , γ 不全为零, 证明: a, b, c 终点共线. 2、求过点 M 0 (1,2,−1) ，且与直线 L ：
8、求在平面 π : x + y + z = 1 上，且与直线 L：
y 2 + z 2 − 2x = 0 在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲 10、求曲线 z=3
线？ 11、已知 OA = i + 3k , OB = j + 3k ，求 ∆OAB 的面积 12、.求直线
∴a × b = −a × c = c × a 同理得 a × b = b × c
2、思路： a × b = a b sin( a, b) a ⋅ b = a b cos(a, b) 。答案： (a, b) = 3、思路| a + tb | 2 = ( a + tb) ⋅ ( a + tb) =| a | 2 +t 2 | b | 2 +2t (a ⋅ b)
2 x 2 − 2 x + y 2 = 8 2、 z = 0 a 2 2 2 x 2 + z 2 ≤ a 2 ( x − ) + y ≤ a 3、在 xoy 面的投影为： 在 xOz 面的投影为： 2 y = 0 z = 0
2、 1 ⋅ ( x − 1) + 1 ⋅ ( y − 1) − 3( z + 1) = 0 五、1、 3 x − 7 y + 5 z − 4 = 0 3、 y + 5 = 0 4、 9 y − z − 2 = 0 六、1、
x y − 3 z −1 的直线方程. = = 2 1 5
2、求过点(0,2,4)且与两平面 x + 2 z = 1 , y − 3 z = 2 平行的直线方程.
3、求过点(2,0,-3)且与直线
x − 2 y + 4z − 7 = 0 垂直的平面方程. 3 x + 5 y − 2 z + 1 = 0 x−4 y+3 z = = 的平面方程. 5 2 1
y = x 2 表示______________图形.
5）画出下列方程所表示的曲面 (1) z 2 = 4( x 2 + y 2 ) (2) z = 4( x 2 + y 2 )
1
四、
x 2 y2 =1 + 1、指出方程组 4 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 9 y = 3
π x + 2 y −1 2 = = 相交成 角的直线方程. −1 3 2 1 x +1 y − 3 z 3、 过 (−1,0,4) 且平行于平面 3 x − 4 y + z − 10 = 0 又与直线 = = 相交的直线方 1 1 2
程. 4、求两直线 L1 ：
x −1 y z x y z+2 与直线 L2 ： = 的最短距离. = = = 0 −1 −1 6 −3 0
2) x 2 + y 2 + z 2 = 2 x ,球面
4
3)绕 x 轴： 4 x 2 − 9 y 2 − 9 z 2 = 36 旋转双叶双曲面 绕 y 轴： 4 x 2 + 4 z 2 − 9 y 2 = 36 旋转单叶双曲面 4、抛物线，抛物柱面
5、
四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平 面的交线。
4、求过点(3,1,-2)且通过直线
5、求直线
x + y + 3z = 0 与平面 x − y − z + 1 = 0 的夹角. x − y − z = 0
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线
x + 2 y − z = 7 x −1 y − 3 z 与直线 ; = = 2 −1 −1 − 2 x + y + z = 7 x−2 y +2 z −3 和平面 x+y+z=3. = = 3 1 −4 x + y − z + 1 = 0 的距离. 2 x − y + z − 4 = 0
1 y=0 3
6、法一： ，所求平面法向量 n⊥ M 1 M 2 ，且 n⊥n1 = {6,−2,3}
i j k ∴ 取 n = M 1 M 2 × n1 = − 7 4 − 3 = {6,3,−10} 6 −2 3
又平面过点 M 1 (4,1,2) ，则平面方程为 6 x + 3 y − 10 z − 7 = 0 解法 2. 在平面上任取一点 M ( x, y, z ) ，则 MM 1 M 1 M 2 和 n1 = {6,−2,3} 共面，由三向量
，母线平行于向量 g = {1,1,1} ， 5、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为 1） 求此柱面方程. 6、设向量 a,b 非零， b = 2, (a, b) =
π
3
，求 lim
x →0
a + xb − a x
.
3
x = 2 y 7、求直线 L : 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程. 1 z = − ( y − 1) 2
析几何中表示______________图形. 2、求球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与平面 x + z = 1 的交线在 xOy 面上的投影方程.
3、求上半球 0 ≤ z ≤
a 2 − x 2 − y 2 与圆柱体 x 2 + y 2 ≤ ax (a > 0) 的公共部分在
xOy 面及 xOz 面上的投影. 五、 1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程. 2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程. 3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程. 4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、 1、求过点(1,2,3)且平行于直线
第七章 空间解析几何与向量代数 习 题 答 案
A 一、1、 ±
6 7 − 6 , , 11 11 11
2、 M 1 M 2 =2, cos α = −
π 1 2 1 2π 3π , cos β = , cos γ = , α = ,β = ,γ = 2 2 2 3 4 3
3、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、1、1） a ⋅ b = 3 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 2 + (−2) ⋅ (−1) = 3
π
6
5
该式为关于 t 的一个 2 次方程，求其最小值即可。答案： t = − 4、思路：取 b = i ，则 n⊥a, n⊥b 。 答案： n = ±
a ⋅b | b |2
1 (8 j − 6k ) 10
5、思路：平面过 z 轴，不妨设平面方程为 Ax + By = 0 ，则 n = { A, B,0} ，又（ A, B 不全为 0 ） 答案：所求平面方程为 x + 3 y = 0 或 x −
第七章 空间解析几何与向量代数
A 一、 1、 平行于向量 a = (6,7,−6) 的单位向量为______________. 2、 设已知两点 M 1 (4, 2 ,1)和M 2 (3,0,2) ，计算向量 M 1M 2 的模，方向余弦和方向角. 3、 设 m = 3i + 5 j + 8k , n = 2i − 4 j − 7k , p = 5i + j − 4k ，求向 量 a = 4m + 3n − p 在 x 轴 上的投影，及在 y 轴上的分向量. 二、 1、设 a = 3i − j − 2k , b = i + 2 j − k ，求(1) a ⋅ b及a × b； (2)(−2a) ⋅ 3b及a × 2b (3)a、b 的 夹角的余弦. 2、知 M 1 (1,−1,2), M 2 (3,3,1), M 3 (3,1,3) ，求与 M 1M 2 , M 2 M 3 同时垂直的单位向量.
x −1 y − 2 z − 3 = = 2 1 5 3、 16 x − 14 y − 11z − 65 = 0
6、1）垂直
2、
x y−2 z−4 = = −2 3 1 4、 8 x − 9 y − 22 z − 59 = 0
7、
5、0
2）直线在平面上 B
3 2 2
1、证明思路：a + b + c = 0 ，∴a × (a + b + c) = 0 即 a × b + a × b + a × c = 0 ，又 a × a = 0 ，
2、 M 1 M 2 = {2,4,−1}, M 2 M 3 = {0,−2,2}
i a = M 1M 2 × M 2 M 3 = 2
源自文库
j k 4 − 1 = 6i − 4 j − 4k 0 −2 2
±
a 6 −4 −4 = ±{ , , } a 2 17 2 17 2 17
即为所求单位向量。 3、 λ = 2µ 三、1、 ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + ( z + 2) 2 = 14 2、以(1,-2,-1)为球心,半径为 6 的球面 3、1) y 2 + z 2 = 2 x ,旋转抛物面
B
2)直线
7、求点(3,-1,2)到直线
1、已知 a + b + c = 0 （ a, b, c 为非零矢量） ，试证: a × b = b × c = c × a . 2、 a ⋅ b = 3, a × b = {1,1,1}, 求∠( a, b) .
2
3、 已 知 a 和 b 为两非零向量 ，问 t 取何值时， 向量模 | a + tb | 最小？并证明此时 b⊥(a + tb) . 4、求单位向量 n ，使 n⊥a 且 n⊥x 轴，其中 a = (3,6,8) . 5、求过 z 轴，且与平面 2 x + y − 5 z = 0 的夹角为