高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线理

【小题快练】
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1.(选修2-1P61习题2.3A组T1改编)双曲线
上
x2 的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是1 6
y2 9
1
.
【解析】根据双曲线方程可知c= 16 =9 5.
所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).
设P(x,y),由两点间距离公式:
|PF2|=
=6, ①
质渐
(-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a)
近
线
y=______
bx
a
y=________ ax b
图形
离心率 线段A1A2叫e=做__ac双__曲,e线∈的_(实_1_,轴_+_∞,_它_)_的长
性
|A1A2|=___;线段B1B2叫做双曲线的
质 实虚轴 虚轴,它2的a长|B1B2|=___;a叫做双曲
①当_________时,M点的轨迹是双曲线; 2a<|F1F2|
②当_________时,M点的轨迹是两条射线; ③当_2_a_=_|_F_1_F_2|_时,M点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准 方程
__xa 22__ _by_22 __1_(a>0,b>0)
__ay_22 __xb_22___1 _(a>0,b>0)
3
所以=4 .
3
3
3
5.(2016·阜阳模拟)双曲线 x 2 y 2 =1的焦距为( ) 32
A . 3 2 B .5 C . 2 5 D . 4 5
【解析】选C.由双曲线 x 2 =y 21,易知c2=3+2=5,所以 32
c= ,所以双曲线 x 2 =y12的焦距为2 .
5
32
5
考向一 双曲线的定义及其应用
4.(2015·四川高考)过双曲线x2- y 2 =1的右焦点且与x 3
轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
|AB|= ( )
A .43 B .23 3
C .6
D .43
【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线
x=2与渐近线y=± x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ),
所以双曲线标准方程为x2- =1.
答案:x2- =1
y2
3
y2
3
感悟考题 试一试 3.(2015·安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x的是 ( )
A.x2 y2 1 4
C.x2 y2 1 2
B.x2 y2 1 4
D.x2 y2 1 2
【解析】选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项A 的渐近线方程为y=±2x.
A(0,6 6)，
该三角形的面积为
.
【解题导引】(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可 得出|PF2|的值. (2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出 △APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.
【规范解答】(1)选B.因为||PF1|-|PF2||=2a,所以 |PF1|-|PF2|=±6,所以|PF2|=9或-3(舍去).
第七节 双曲线
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____ 之差
_________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲 线的.绝这对两值个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫
做_____.
焦点
焦距
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
设P(x,y),
直线AF′的方程为 x =y1, 3 6 6
联立得
x 3
6
y 6
1,
消去x得
x
2y2+y82 361 y, -96
=0,
6
6
解得y=-8 (舍)或y=2 6
6,则P(x,2
). 6
因为S△APF=S△AF′F-S△PF′F
= ×6×6 - ×6×2 =12 .
【典例1】(1)(2015·福建高考)若双曲线E: x 2 － y 2 =1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且9 |P1F61|=3,
则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
(2)(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2- y 2 =1的右
焦点,P是C左支上一点,
8 当△APF周长最小时,
所以点P在x双5曲2线y右2 支上,
|PF1|=
,
x52 y2
因为|PF1|-|PF2|=2a=8,
所以
=2a+6=14,
所以(x+x5)522+yy22=196, ②
①②联立得x=8.
代入原式可得y=±3 .
所以点P坐标为(8,±33 ).
答案:(8,±3 )
3
3
2.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 x 2 y 2 1 的焦点为
(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0), 2
F′(-3,0),又
A(0,6 6)，
所以|AF|=
=15,△APF周长
2
l=|PA|+|PF|3+2 |A6F|,6
又|PF|-|PF′|=2,
所以|PF|=|PF′|+2,
所以l=|PA|+|PF′|+2+15≥|AF′|+17=32,当且仅当 A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.
43
顶点,顶点为焦点的双曲线方程为
.
【解析】设要求的双曲线方程为 x 2 y (2 a>1 0,b>0), a2 b2
由椭圆 x 2 y 2,得焦点为(±1,0),顶点为(±2,0). 1
所以双曲4 线的3 顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
图形
范
围 性 质对
称
性
____________ x≥a或x≤-a
对称轴:_______
对称中心坐:_标__轴__
原点
____________ y≤-a或y≥a
对称轴:_______ 对称中心坐:_标__轴__
原点
图形
顶
顶点坐标:
顶点坐标:
性 点 A1_______,A2 ______ A1 _______,A2 ______
线的实半轴长,b叫做2双b曲线的虚半
轴长
图形
a,b,c间 的关系
c2=_____(c>a>0,c>b>0) a2+b2
Baidu Nhomakorabea
【特别提醒】 1.渐近线与离心率
2xa .22 若 byP22为=双1(曲a>线0,上b>一0)点的,一F为条其渐对近应线焦的点斜,率则为|Pba F|=≥ec2-a1..
3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在 椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.