3 分形理论及其在物理学中的应用
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种具有自相似性的几何图形，它可以在不同的尺度上重复出现相似的形态。
分形原理在自然界和科学领域中都有着广泛的应用，对于理解复杂系统和解决实际问题具有重要意义。
首先，分形原理在自然界中有着丰富的表现。
例如，树叶的脉络、云朵的形状、山脉的轮廓等都可以用分形来描述。
这些自然界中的分形结构展现了一种美妙的规律性，而这种规律性也被广泛运用在艺术创作和设计中。
艺术家们可以通过分形原理来创作出富有美感和动感的作品，设计师们也可以借鉴分形原理来设计出更加优美和高效的产品。
其次，分形原理在科学领域中也有着重要的应用价值。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形几何可以用来描述海岸线的形态、分形维数可以用来描述复杂流体的运动规律等。
在生物学领域，分形可以用来描述生物体的形态结构和生长规律，对于研究生物体的形态和生长过程具有重要意义。
在经济学和金融学中，分形可以用来描述市场的波动规律，对于预测市场的走势和制定投资策略具有一定的指导意义。
此外，分形原理还在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在图像压缩和信号处理中，分形压缩算法可以有效地减小数据量，提高数据传输和存储的效率。
在网络设计和城市规划中，分形原理可以用来设计出更加高效和合理的网络结构和城市布局。
在材料科学和制造工艺中，分形原理也可以用来设计出更加坚固和轻量的材料结构，提高材料的性能和使用寿命。
总之，分形原理是一种具有重要应用价值的科学原理，它不仅可以帮助我们更好地理解自然界和复杂系统，还可以为我们解决实际问题提供重要的思路和方法。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理的应用领域将会更加广泛，为人类社会的发展和进步带来更多的惊喜和帮助。
分形理论在物理实验教学中应用的探索
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Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔ ｈ ｕｔ ｏｒ ｈａ ｉ ｒ ｄｕ ｅ ｆａ ｔ ｌ ｈ ｏ ｙ ｎｔ ｅ ｃ ｎ ｆｐｈｙ ｉｓ ｅ ｃ ｉ ｅ ｉ ｎ ｅ ａ ｈ ｓ ｎｔｏ ｃ ｄ ｒ ｃ ａ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｔ ａ ｈｉ ｇ ｏ ｓ等 ．因 此现在 相 当多 的
科 学 家 已 经 认 识 到 “ 形 ” 是 ２ Ｈ纪 时 大 学 分 将 １１ － 生 的 必 修 课 程 ， 年 来 美 国 康 奈 尔 大 学 已 经 为 近 大 学 一 年 级 的 学 生 开 辟 了 “ 形 教 室 ” 让 学 生 分 ，
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ｏｆｂ ｎ ｌｔｔ ｅ ｃｄｎ ｓｃ ｐｈｙ ｉｓ ｅ ｐｅ ｉ ｅ ｓ ｔ ａ ｅ ｃ ｅ ｓ ｔ ｋ ａ ｔＩ ｈ ｃ ｉ ｉｙ ｏ ｃｅ ｅ ｅ ｉ Ｏ ｔ ａ ｉ ｇ ｏｆｂａ ｉ ｓｃ ｘ ｒｍ ｎｔ ｈ ｔｌ ａ ｈ ｒ ａ ｅ ｐ ｒ １ ｔ ｅ ａ ｔｖ ｔ ｆｓ ｉｎ １
分形 物 理学是 ２ ０世纪 ８ 年代 才 发展起来 ０
的 ， 内 容 大 致 可 概 括 为 两 大 方 面 ： 是 分 形 结 其 一
搞 上 的物 理 性 质和 规 律 二是 分形 生 长 的物理 机 制 ， 回答 自然界 为 什 么会 生成 具 有标 度不 即 变性 的分形 结构 ．
天 发 布 的 股 票 价 格 曲 线 ， 天 美 丽 的 雪 花 ． 文 冬 水
复杂形 状 的不规则 物体进行 仔细 观察 和综台 分 析 提 出的 ］分形 理论 的两个基 本特 征是 自相 ． 似性 和分形 维数 ． 自相似 性指 的是 局部和整 体
具 有 相 似 的 性 质 ， 般 把 具 有 这 种 性 质 的 区 间 一
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分形理论
毕业论文题目：分形理论学院：物理与电子工程学院专业：物理学毕业年限：2012年6月学生姓名：**学号：************指导教师：***分形理论学生姓名：张婷指导教师：段文山（西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070）摘要：分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支，是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
本文介绍了分形理论的基本概念，给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在城镇管理、工程技术、物理、等学科领域的应用及其最新的进展情况。
提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词：分形理论；分形维数；应用状况Theory of FractalAbstract:Fractal theory is a branch of nonlinear science and an important means for science research.This paper introduces the basic concept and several calculating methods of fractal dimension as a main parameter of fractal theory.Primarily,it is summarized that fractal theory have been used in various fields such as management,engineering and geography,physics,etc.In the end,problems in face of fractal theory is advanced．Key words:Fractal theory;Fractal dimension;Application目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)引言 (3)1 分形的概述 (3)1.1 分形的提出 (3)1.2 分形的特征 (4)1.3 分形维数及其计算方法 (5)2 分形理论的应用实例 (8)2.1 分形理论在甘肃城镇规模中的应用 (8)2.1.1甘肃省城镇规模等级结构特点 (8)2.1.2甘肃省城镇体系空间结构的特点 (10)2.1.3甘省城镇体系的分形研究 (11)2.2分形理论在河流研究中的应用 (13)3 分形理论在一些领域中的应用 (14)3.1 在工程技术中的应用 (14)3.1.1在疲劳断裂分析中的应用 (14)3.1.2分形理论在故障诊断中的应用 (15)3.2 分形理论在物理学中的应用 (15)4 结论 (16)引言分形理论创始于二十世纪七十年代初期,其研究对象为自然界和现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态。
分形理论及其应用_刘莹（学术论文）
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
分形理论及其应用
结语
• 分形理论是近些年发展起来的一门新学科。已被广泛的应 用到自然科学和社会科学几乎所有的领域，成为当今国际 上许多学科的前沿课题一种，然而我们还需要进行深入研 究： 如何判断一个对象是分形还是多重分形，还给分形一个严 谨的定义还需努力。 分形维数的物理意义。是描述分形特征的定量参数，但如 何理解分维确切的物理意义？ 分形的重构问题。既是任给一个几何上认为是分形的图形， 能否以某个制定的方式生成它？ 分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换产生分 形问题；图像的分形压缩问题等等。 • 总之，上面提到的这些问题对分形理论的发展至关重要， 需要人们深入进行探讨和研究。而分型理论作为非线性科 学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。
• 几种典型的分形：
Koch 曲线 Julia 集
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人 知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而， 它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出 发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出 来的(如右图)。其详细构造过程是： • 第一步，把闭区间[0,1]平均分为三段， [0,1] 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个 闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。 三分康托集的构造过程 • 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同 样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0,1/9]， [2/9,1/3]，[2/3,7/9]和[8/9,1]。 • 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断 的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分 康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
Julia 集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础 理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形， 只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 方法描述。 • Julia 集由一个复变函数 •
分形概念及应用
对分形理论的综述一、分行理论产生的背景二、分形理论的概念三、分形理论的应用一、分型理论产生的背景长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型，把问题纳入可以解决的范畴。
线性近似方法在许多学科得到广泛的应用，解决了许多理论问题和实际问题，推动了各学科的发展。
但是，在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，如流体中的湍流、对流等等。
而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这是分形理论与线形近似处理本质上的区别。
从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学—分形几何学。
然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(chaos)现象的重要工具。
众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。
除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力。
从气象、生态，直到图形压缩、城市规划，在许多相距甚远的领域里，都发现了分形的概念与方法的用武之地。
人们惊奇地发现，分形现象在自然界是普遍地、大量地存在着。
分形概念的产生与发展，进一步拓宽了我们的视野，使人类的科学思想登上了一个新的台阶。
二、分形理论的概念分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。
当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。
从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。
例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。
它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。
通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。
例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。
分形理论及其在土壤物理学上的应用
摘要 综述 了分形理 论及 其在 土壤 物理 学上 的应 用 ， 并对今 后的 应 用前景 作 了展 望 关键 词 分形理 论 ； 土壤 物理 ； 分形 维数 中图 分类 号 ｓ １ 文献 标识 码 Ａ ｌ 文章 编 号 ０ ｌ－ ６ ｌ２０ ）０ ５４ 一 ３ ５ ７６ １（０ ６２— １ ｌ０
１ 分形 理论简 述
形 ：其线 段 、 方形 、 方体 分别 被等 分 为 ２ 、２和 ２ 正 立 １２ ３个相
１６ ９ ７年 法 国数 学 家 ＢＢＭａｄ ｌｒｔ 出 了 “ 国 的海 ．． ｎ ｅｂｏ 提 英 岸 线有 多长 ” 的问题 。这 好像 极其 简单 ， 为长度 依 赖于 测 因
决 了 ， Ｍ ｎｅ ｒ 发现 ： 但 ａｄｌ ｏ ｂｔ 当测 量单 位 变小 时 ， 所得 的长 度 是无 限增 大 的。他认 为海 岸 线 的长度 是不 确定 的 ， 者说 ， 或 在一 定意 义上海 岸线 是 无限 长 的 ，这也 许 在于 海 岸线 的极
不规则 和极 不光 滑性 。
Ａｐｐｌ ａｔｏ ｏ ａ ｔ ｌ ｉ ｉｎ ｆＦｒ ｃ ａ ｃ Ｔｈｅ ｒ ｎ ｈ ｕ ｎ Ｓｏｌ ｏ ｙｉ ｔ ｅＳｔ ｄｙｏ ｉＰｈｙ ｉｓ ｓｃ
ＬＩ ｎ ｒ ｔ ｌ ｆ ｒｃ ｌ ｒｌ ｆｌｇ ｆ ａ ｂａ ｎｖｌｉ ， ｏ ｇｉｇ Ｊｌ ３ ４ ０ － ｕｅ Ａｇｉ ｔ ａ Ｃ￣ｅｅ ｎ ｉｎＵ ｉｅ’ｔ Ｌ ｎｊ ， ｉｎ１ ３ ０ ） Ｙａ ａ ｕｕ ｌ ｏＹ ｓｙ ｎ ｉ
大， 因为直 线 中包 含 无穷 多 个点 ； 如果 用 一 块 平 面来 量 它 ，
其 结 果是 ０ 为直 线 中不 包 含平 面 ； ， 只有用 与 其 同维 数 的
分形物理学中的基本概念与应用
分形物理学中的基本概念与应用分形物理学是以分形理论为基础的一门颇具前沿性的学科，它将物理学、数学、计算机科学等多个领域的知识整合在一起，研究自然界中的形态复杂、几何规律非常规的事物。
这些事物包括云朵、海浪、山脉、自然界中的花纹形态等等。
分形物理学应用广泛，不仅对制造业、农业、军事等部门有一定的指导意义，更是在纳米科技、3D打印等方面得到广泛应用。
本文将借助几个实例来探讨分形物理学的基本概念和应用。
一、分形结构分形物理学最重要的概念之一就是分形结构。
所谓分形结构，就是指一个系统以某一规律重复自己，且这种规律在各个尺度上都是可控的。
经过科学家的研究发现，自然界中存在着许多分形结构，例如海岸线、闪电、树枝、云朵等等。
这些分形结构不仅形态美观，而且还有许多优势，例如对于气候和地形的适应性、自然界中更好的流体和传导等等。
分形结构有很多应用。
例如在固体材料的研究中，科学家将金属玻璃的微观结构设计成了分形结构，从而提高了材料的强度和韧性。
在建筑设计中，分形结构也有很多应用，例如上海交通大学的耐震钢结构大楼就使用了分形结构的原理，从而提高了建筑物的耐久性和抗震能力。
另外，在农业生产中，分形结构也有一定的应用，例如科学家们通过研究分形结构的原理，设计出了大豆根系的分形结构，从而提高了根系的质量和抗旱性。
二、分形动力学系统分形动力学系统是指暴涨宇宙、洪水、火山喷发等传统动力学系统中不可忽视的分形特征。
这里探讨一下分形动力学系统的粘滞性及其应用。
研究发现，分形动力学系统具有强烈的粘滞性，其滑动、粘聚等现象对于空气、水、土地等流体性质的变化具有显著的影响。
利用分形动力学系统的粘滞性，科学家可以对大气的空气、水、温度变化进行深入研究，例如白雪覆盖率、雨雪分布规律等等。
三、分形纳米结构分形纳米结构是指在纳米尺度上拥有分形结构的物质。
这种物质不仅形态具有规律，而且在物理和化学性质上也有一定的特点。
分形纳米结构还可以在材料科学中有应用。
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用
分形的奥秘与力探索分形的世界与应用分形是指在各个尺度上都具有相似性的图形。
它们的美学吸引力和数学特性使得分形成为了一个极具研究和应用价值的领域。
本文将探讨分形的奥秘与力，以及分形的世界和应用。
一、分形的概念与特性分形的概念最早由波兰数学家曼德勃罗特（Benoit Mandelbrot）在20世纪70年代提出。
分形的特性使得它们与自然界中的很多事物有着惊人的相似性。
例如，云朵、山脉、树叶和河流的形态和分形非常相似。
分形具有几个重要特性。
首先，分形是自相似的。
它们在各个尺度上都存在相似的模式，即部分的形态与整体的形态非常相似。
其次，分形具有无限细节。
无论在何种缩放程度下观察，分形都能揭示出新的细节结构。
最后，分形具有分维度的特性。
普通的几何形体具有整数维度，而分形则具有非整数维度，常被称为分维。
二、分形的数学模型分形的数学模型可以通过递归函数或迭代法来实现。
其中，最著名的分形是曼德勃罗特集合（Mandelbrot Set）。
曼德勃罗特集合是由以下复数序列生成的：Z（n+1）= Z（n）^2 + C，其中Z（0）=0，C为复数常量。
对于每个C值，如果序列在有限次迭代后仍然保持有界，则该C值属于曼德勃罗特集合。
曼德勃罗特集合的图像呈现出复杂多样、充满细节的美感。
它已经成为了分形研究和艺术创作的重要素材。
三、分形的物理与生物学应用分形不仅在数学中有重要应用，还在物理学和生物学中发挥着关键作用。
在物理学领域，分形可以用来描述自然界中的多种现象。
例如，分形维度可以用来计算海岸线的长度，城市的空间分布，以及材料的表面形态等。
此外，分形理论还可以用于描述复杂流体、耗散结构和混沌系统等物理现象。
在生物学领域，分形理论被广泛应用于描述生物体的形态和内部结构。
例如，分形维度被用于研究树木的分枝结构、肺部的支气管系统，以及神经网络的连接方式等。
分形还可以用来研究生物体的动态行为和增长模式。
四、分形的艺术与设计应用分形的美学吸引力使得它成为了很多艺术家和设计师的灵感之源。
分形理论在油层物理学中的应用
中图分类号 ： ３ １ ＴＥ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ａｐｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｒ ｃ ａ ｉ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｒ ｓ ｒ ｏ ｒ ｐｈ ｓ ｃ ｌｃ ｔｏ ｆ ｆ ａ ｔ ｌｄ ｍ ｎｓｏ ｈ ｏ ｙ ｔ ｅ ｅ ｖ ｉ ｙ ｉ ｓ
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第 ２ ９卷
第 １期
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Ｖｏ ． ９ Ｎｏ １ １２ ．
２０ ０ ８年 １月
Ａ ＣＴＡ ＰＥＴ Ｒ ＯＬＥＩＳＩ Ｉ Ｎ ＣＡ
Ｊ ｎ ａ．
２０ ０８
文 章 编 号 ： ２ ３２ ９ （ ０ ８ ０ —０ ３ ０ ０ ５ — ６ ７ ２ ０ ） １０ ９ —４
3 分形理论及其在物理学中的应用
2006年4月皖西学院学报Apr.,2006第22卷第2期Journal of West Anhui U niversity Vol.22 NO.2分形理论及其在物理学中的应用3陈 力1,邵 瑞2(1.安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246011;2.巢湖学院物理系,安徽巢湖238000)摘 要:给出了分形的定义、有关概念、分形的描述方法、多重分形理论,以及分形理论在物理学中广泛的应用。
关键词:分形理论;分形维数;多重分形;物理应用中图分类号:O437 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0038-031 分形学的创立非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学[1,2]。
它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。
分形学[3,4]是非线性的一个活跃分支,它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。
分形学的初创形式是分形几何学,它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出的。
分维数是1977年由曼德布罗特在《分形:形成、机率和维数(Fractals:Form,Chance and Dimension)》一书中创造的一个新的科技英语单词,这里分维数可反映由包含分数在内整个维数所覆盖的空间体系的粗糙程度。
分维数的主要思想可以通过研究一组曲线来说明。
分形是个新概念,分形学是个新的方法论和科学观。
它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟,可以称作是科学的新里程碑。
物质世界中广泛存在着非线性系统,所以必须寻找适当方法正确处理非线性问题。
原本是非线性问题,若把它按线性系统加以处理,则不能正确解释其基本面貌。
分形学为处理非线性系统问题提出了新思路和新方法。
那么,什么是分形?分形的涵义是什么?分形概念的实质是指那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
分形理论在物理学中的应用
分形理论在物理学中的应用随着科学技术的不断发展，分形理论作为一种新兴数学工具，越来越受到各学科领域的重视，并被广泛应用于物理学中，为人类理解自然界的规律提供了新的思路和方法。
一、分形理论的基本概念分形是由分形维数来描述的一类图形，分形维数通常比整数大且为非整数。
分形理论主要研究的是非线性系统中的自相似性结构，这些结构是由一些基本单元通过自同构基于某些变换，进行不断细分，生成的纷繁复杂特征。
由于这种不断细分的过程，分形所表现出来的状态还是非常混沌的，从而具有了自相似性的特点和可复制性的性质，是一种十分特殊的结构。
二、分形理论在物理学中的应用2.1 热力学分形结构的复杂性可以被用来处理难以用传统方法处理的物理问题。
例如，在讨论非均质体系中的热力学过程时，研究分形特征可以提供有关体系纷繁复杂的形态和性质的信息。
分形在热力学中的应用主要体现在两个方面，第一是作为研究非均质物质状态的量化手段，可以描述不同尺度上的物理性质；第二是研究某些不可逆过程，例如相变等，运用分形理论可以解释物理过程。
2.2 图像处理分形理论作为一种有力的数学工具，可以用于图像处理。
在数字图像处理中，分形已经被广泛地用来对图像进行压缩和重建。
目前，分形压缩技术已经成为一种广泛使用的压缩技术，具有压缩率高、图像质量好及少损失等特点，成功地被应用到数码相册、数字电视及互联网相关领域。
2.3 环境科学环境科学是一门涉及到广泛领域的综合性学科，而分形理论在环境科学中的应用尤为重要。
例如，研究土地利用变化、植被变化、土壤侵蚀等问题时，运用分形的形态分析以及分形的统计特征分布分析，可以更好地描绘这些自然现象，并为环境修复和保护提供参考依据。
2.4 力学分形理论在力学研究中也有着广泛的应用。
根据分形理论的观点，宏观世界中存在着无数微观部分组成的整体。
对于机械问题，运用分形理论来研究物体的表面形貌、材质等特征，分析其微观结构分布变化情况，可以更好地解释物理过程，为实际工程问题提供理论指导。
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
分形几何在统计物理建模中的应用指标
分形几何在统计物理建模中的应用指标统计物理建模是一种通过数学模型和统计方法来研究物理系统的方法。
在这一领域中，分形几何被广泛应用于描述复杂系统的特征和建立相应的模型。
本文将介绍分形几何在统计物理建模中的应用指标，包括分形维数、分形谱、分形法测度和分形尺度，以及它们在不同领域的具体应用。
一、分形维数分形维数是描述分形结构复杂度的一个重要指标。
在统计物理建模中，分形维数可以通过盒计数法或者哈尔斯多夫维数法进行计算。
盒计数法是将分形结构包含在不同尺寸的盒子内，然后统计所需的盒子数目。
哈尔斯多夫维数法则是通过使用分形特征函数来计算分形维数。
在统计物理建模中，分形维数可以用来描述物质的几何结构的复杂性。
例如，在多孔介质模型中，分形维数可以用来量化材料的孔隙分布和表面粗糙度。
此外，在物理过程的动力学建模中，分形维数可以帮助研究物质的扩散、输运和混合等性质。
二、分形谱分形谱是描述分形结构多样性的指标。
它是一个函数，描述了分形结构在不同尺度下的数量分布。
通常，分形谱可以通过分形维数的变化率来计算。
分形谱的计算可以通过对分形结构进行图像分析或者使用分形谱变换方法来实现。
在统计物理建模中，分形谱可以用来分析复杂系统中的性质变化。
例如，在材料科学中，分形谱可以用来描述材料的颗粒大小分布、孔隙大小分布以及金属合金的微观结构。
此外，在生物物理学中，分形谱可以用来研究生物体的形态变异、组织结构和生长模式。
三、分形法测度分形法测度是一种用来度量分形结构复杂性的数学方法。
分形法测度可以通过对一个分形结构的空间尺度进行统计分析来获得。
常见的分形法测度有信息维度、容量维度和遗传维度等。
在统计物理建模中，分形法测度可以用来描述复杂系统的信息内容和信息压缩能力。
例如，在网络科学中，分形法测度可以用来研究社交网络的结构和节点的连接性。
此外，在金融学中，分形法测度可以通过对金融时间序列进行分析来揭示市场的非线性和长期相关性。
四、分形尺度分形尺度是用来描述分形结构变化的指标。
分形几何学在物理学中的应用
• 在经济管理学中的应用
分形学在经济和管理学领域的应用，已经形成了分支学科一非线 性经济学。 在股票、证券市场的应用，如用于分形市场假设、股票证券价格 和收益的波动规律、证券市场交易数据的变化趋势等分析。 在管理科学中有许多应用，如在企业管理学、城市管理学、分形 管理学等方面。此外，在经济弹性、国民收入、资本和财产的分布、 经济刺痛变化趋势预测、经济混沌及经济奇异吸引子的分维测度、经 济时序动力系统、人口学等方面也有应用。
• 分形主要是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂，无 序，不规则，非线性，不光滑，具有自相似，自仿射和标 度不变性的复杂系统。 • 曼德布罗特对分形的最基本定义是：“A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”。然而，经 过理论和应用的检验，对于什么是分形，到目前为止还不 能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有 严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特 性来加以说明，类似的对分形下定义，可以认为具有以下 分形特征的集合就是分形。
对于Koch 曲线, 如果用一维的尺度 来测, 其结果为无穷大, 说明所采用 的尺度太细, 而用二维的尺度来测, 其结果为零, 说明采用的尺度太粗, 那么肯定要用介于一维与二维之间的 一个非整数维数来测量它, 才能定量 地表现Koch 曲线的性质。不仅Koch 曲线, 而且对于别的分形图形也具有 同样的情况, 人们用非整数维即分形 维数来定量地刻画分形图形的复杂性。
使用分形理论分析物流系统相似 性及应用
主要内容
• • • • 基本概念 研究现状和研究方法 主要文献介绍 参考文献
基本概念
• 分形的定义 • 美籍法国数学家曼德布罗特(Benoit B Mandelbrot ) 于1967 年在《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多 长? 统计自相似性与分数维数”(How Long is the Coast of Britain , Statistical Self Similarity and Fractional Dimension) 的 论文, 通常被认为是“分形”学科诞生的标志。 • 分形(Fractal)一词，是1973年曼德布罗特由拉丁语Frangere 一词创造而成的，其原意具有不规则、支离破碎等意义， 故又可称为"碎形"。
分形理论在物理声学和音乐创作中的应用
４ ８
保定学院学报
ｓ ｎ ｄ ” ｏｎ ｓ．
２ 世纪７年代 中期 ， ０ Ｏ 加利福尼亚大学 的Ｖ ｓ和Ｃａｋ 利用谱密度分析完成 了一个 比较全面的音乐数学研究 【． ｏｓ ｌ ｅ ｒ ２ １
他们决定研究 音乐 的物理属性 ， 而不只是研究 音乐作品的结构． 这项 工作 是在一个 与扬 声器的 电压有关 的立体声 系统 中 ， 通过分析音频信号来完成 的． 信号 由一个计算机提供 ， 然后计算机再测量谱密度 的特性． 物 理学家 把不 同频率 成分 随机混合 而组 成的 声音 叫噪 声 ， 这些 噪声 随 时间 变化 的轨迹 都 是分形 曲线 ， 谱
相似性则是分形 的精髓． 分形 的创始人曼德勃罗引入分形 的第一篇论文是“ 国的海岸线有 多长” 答案是取决 于你 的尺子． 英 ， 在测量 中 所采用 的标度越小 ， 所测得的海岸线就越长 ， 每一次缩小测量 中所用 的标 度 ， 增加 了测得 的长度． 便 如果海岸线有
一
定的长度￡ 当测量 的标 度趋 于零时 ， ， 则海岸线 的长 度应趋于这个值 ， 但事实并非 如此 ， 当测 量 中所用 的标 度趋 于零时 ， 所测得的海岸线 的长度并不趋于某一 固定值． 这意味着海岸线的长度是测量不 出来的 Ｉ 原 因在于海岸线 ｌ Ｊ ．
度的量化研究 ．
１ 音乐的谱分析
谱密度可 以分析信号或 噪声的随机性 ， 从学术 上说 ， 一个噪声 的谱密 度 【 ｌ １ 是指单位频率 间隔内各频率成分 的
分形几何在统计物理建模中的应用
分形几何在统计物理建模中的应用在统计物理学中，建模是一项重要的工作，以帮助我们理解和预测自然界中的现象。
分形几何作为一种数学工具和理论框架，被广泛运用于物理学领域的建模研究中。
本文将探讨分形几何在统计物理建模中的应用，并重点讨论分形维度和分形生成函数两个方面。
分形维度是分形几何的核心概念之一，它描述了一个几何对象的自相似性质。
在统计物理建模中，分形维度常被用来描述物体的几何形状和性质。
例如，在描述颗粒聚集体的模型中，分形维度可以用来表征聚集体的无序程度和空间分布特征。
通过研究聚集体的分形维度，我们可以获得其物理性质，如渗透性、导电性等的重要信息。
分形生成函数是另一个常用的分形建模工具，它是一种用来构建分形图形的数学函数。
通过递归迭代和局部变换的方式，分形生成函数能够生成具有分形性质的图形。
在统计物理建模中，分形生成函数常被用来模拟自然界中的复杂结构，如树形分形和岩石的裂纹网络等。
这些结构往往具有自相似的特性，而分形生成函数能够准确地描述和重现它们的形态。
一个典型的例子是使用分形几何建模湍流现象。
湍流是一种无序且复杂的流动状态，分形几何提供了一种优雅的方式来描述湍流的空间分布。
通过引入分形维度和分形生成函数，我们可以建立湍流的数学模型，并通过模拟和数值计算来研究湍流的特性。
这对于理解湍流的产生机制以及掌握湍流的控制方法具有重要意义。
除了湍流现象，分形几何还被广泛应用于材料科学和生物物理学领域的建模研究。
在材料科学中，分形几何可以用来描述复杂材料的微观结构和力学性质。
通过引入分形维度和分形生成函数，我们可以建立材料的模型，并预测其性能和行为。
在生物物理学领域，分形几何被用来研究生物组织的结构和功能。
例如，通过计算生物组织的分形维度，我们可以揭示其复杂性和自相似性，从而深入理解生物系统的运作原理。
总之，分形几何在统计物理建模中具有重要的应用价值。
通过引入分形维度和分形生成函数，我们能够更好地描述和理解自然界中的复杂现象。
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2006年4月皖西学院学报Apr.,2006第22卷第2期Journal of West Anhui U niversity Vol.22 NO.2分形理论及其在物理学中的应用3陈 力1,邵 瑞2(1.安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246011;2.巢湖学院物理系,安徽巢湖238000)摘 要:给出了分形的定义、有关概念、分形的描述方法、多重分形理论,以及分形理论在物理学中广泛的应用。
关键词:分形理论;分形维数;多重分形;物理应用中图分类号:O437 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0038-031 分形学的创立非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学[1,2]。
它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。
分形学[3,4]是非线性的一个活跃分支,它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。
分形学的初创形式是分形几何学,它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出的。
分维数是1977年由曼德布罗特在《分形:形成、机率和维数(Fractals:Form,Chance and Dimension)》一书中创造的一个新的科技英语单词,这里分维数可反映由包含分数在内整个维数所覆盖的空间体系的粗糙程度。
分维数的主要思想可以通过研究一组曲线来说明。
分形是个新概念,分形学是个新的方法论和科学观。
它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟,可以称作是科学的新里程碑。
物质世界中广泛存在着非线性系统,所以必须寻找适当方法正确处理非线性问题。
原本是非线性问题,若把它按线性系统加以处理,则不能正确解释其基本面貌。
分形学为处理非线性系统问题提出了新思路和新方法。
那么,什么是分形?分形的涵义是什么?分形概念的实质是指那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。
若F是分形集,那么它具备如下的典型性质:(1)F具有精细结构,即有任意小的比例的细节;(2)F是不规则的,不能用传统的语言来描述;(3)F通常具有某种自相似性,或者是近似的或者是统计意义下的;(4)F是局部的不确定和不稳定,但整体是确定和稳定的。
2 分形理论的基本内容定量刻画分形特征的参数是分形维数。
分形维数是分形的数量表示,它不是通常的欧氏维数的扩充,而是赋予了许多新的内涵。
分形维数可以是分数值,也可以是整数值,并有多种定义和计算方法,如盒维数、关联维数、相似维数、信息维数、广义维数等。
通常用的是豪斯道夫(Hausdōrff)维数。
2.1 豪斯道夫(Hausdōrff)维数数学家豪斯道夫1919年提出连续空间的概念,也就是说空间维数不是突变而是连续变化,既可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫(Hausdōrff)维数,记作D f。
设有一个D f维几何图形,若其每边长度扩大L倍,则此图形的体积应扩大K倍,可表示为L D f=K,该公式对于任何普通的几何图形而言都是成立的。
取对数得D f=lg K/lg L在这里,D f不一定是整数。
这即是豪斯道夫定义的分形维数概念,通常称为豪斯道夫维数。
2.2 容量维数833收稿日期:2006-02-15作者简介:陈力(1980-),安徽安庆人,安庆师范学院物理与电气工程学院教师,研究方向:非线性光学。
设有一个体积为A ,分维为D f 的几何对象,要用半径为r 的小球去测量(填充或覆盖),则所需小球的数目为N (r )∞1/r D f ,此时几何对象的,分维为D f =lg N (r )/lg (1/r )称为柯尔莫个若夫(A.N.K olmogorov )容量维。
定义容量维为:D cp =lim r →0lg N (r )/lg (1/r )2.3 信息维数容量维的定义还存在一个很大的缺陷,即定义只考虑了半径为r 的球的个数,而每哟涉及每个球内部的差异(分形落入其中的点的多少),这将导致一些分形的差异显示不出来,例如在一数轴上,全体有理数所构成的集合的维数为1,而整个实数的集合的维数也为1。
我们知道全体有理数是一个可数集,与无理数相比它是一种非常“稀薄”的集合,有理由认为它的“容量”为0,至少不会与全体实数集合的维数相同。
因此,关于维数的定义还应该改进,设分形点落入第i 个球内的概率为P i ,则用半径为r 的球进行测量所得到的信息量为I =∑N (r )i =1P i ln P i则得到信息维数为D I =lim r →0∑N (r )i =1P i ln P i ln r当落入小球内的点的概率相同时,P i =1/N (r ),与I 无关,则得到D I =D cp 。
因此信息维数是容量维数的一个推广。
2.4 多重分形多重分形测度研究物理量或其它量在几何支集上的分布。
支集既可以是规则集,如平面、球面、几何实体等,也可以是分形集。
多重分形是多个局部不同分形体组合而成,而每一局部是一个小的自相似性(即分形),具有自己的维数。
3 分形在物理学中的应用分形是一种复杂的几何实体,但并不是所有的复杂几何形体都是分形,惟有具备自相似结构的那些几何形体才可能是分形。
分形理论自从它诞生那一天开始就和应用研究密不可分,它的应用范围非常广泛,从大分子到宇宙星系,从自然科学到社会科学,凡是具有自相似性的现象就有分形存在。
物理系统本质上是非线性的,但当今的牛顿力学和量子力学对于非线性问题还是无能为力的,分形学是三大非线性科学的内容之一,在解决非线性问题中起着重要作用。
分形学的问世给物理学的研究注入新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用。
(1)在分形凝聚中的应用细微粒子如果形成像尘土一样的块体也会有分形构造,比如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生产、流体在多孔介质中的渗透等。
为了研究分形凝聚,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DL A )模型和动力学集团凝聚(KCA )模型。
(2)在固体物理中的应用在一些非晶态固体中存在着分形结构,而分形结构上的自相似可造成反常运输。
准晶态的形态是受分形规律制约而均成为分维结构,分形可用于准晶态的研究。
在固体扩散中,当非均匀介质的晶格为具有无标度性的分形晶格时,分形晶格的反常扩散可用谱维数加以描述。
在固体的元激发中,分形晶格中元激发分形子态密度与谱维数有关。
(3)在多孔介质运输中的应用有些多孔介质的空隙界面具有分形结构,这些多孔介质中的疏运规律会有许多反常行为。
例如石油在沙石空隙间的流动、气体在多孔介质中的扩散等。
分形理论已用来研究孔的分形特征对反应和扩散特性的影响。
(4)在薄膜研究中的应用在薄膜的形成过程中出项的有些复杂图形具有分形结构。
比如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样。
分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中。
93(5)在湍流研究中的应用一般认为湍流具有分形性质,湍流的形成与流体雷诺数有关。
在雷诺数相当大和各项相同的3维湍流中,能量散逸区域为分形结构。
另外,曲线能很好地描述耗散场中多重分形谱的特征。
(6)在分子光谱中的应用近些年来,人们对分子光谱极微细结构进行研究后发现:过去看上去是一条线的,实际上是由几条线谱构成,其线谱还可以有更细的线谱构成,即分子线谱具有分形结构。
从分子线谱和分子能量状态的关系可推出,分子能量状态也具有分形结构。
(7)在电磁散射中的应用许多表面具有不规则的分形分布,使其对电磁的散射具有各自的分形特征,这些复杂各异的粗糙面散射可以通过分形的方法加以描述。
(8)在材料断裂分析中的应用在材料断裂时,有些断裂表面和断裂边界具有分形特征,而且碎快的大小和频度也有类似的分形规律。
分形可用于材料力学行为研究和材料弹塑性断裂的研究。
(9)在固体表面研究中的应用许多固体表面乍一看很平滑,如果在小尺度下仔细观察,就会发现其结构粗糙而起伏不平,即具有分形特征。
表面分维是度量表面复杂程度的一个综合参数,分形理论已用于材料性能、半导体表面的研究之中。
(10)在粒子物理中的应用高能粒子碰撞是粒子物理研究的一种重要手段,而高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构。
分形理论可以为解释碰撞的机制提供了新的可能,阵发现象的研究,正为粒子物理打开了一个新的领域。
(11)在流体粘性指进现象中的应用粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似。
在实际问题中,有时需尽量减弱粘性指进现象,如在采油中。
而在实验中,要尽量使粘性指进现象明显表现出来。
(12)在放电式样研究中的应用实验室拍摄得到的平面放电式样与凝聚体非常相似,已被确认为分形。
而拍摄的自然界闪电现象,具有像河流一样的分岔和弯曲,从而也可能具有分形的特征。
(13)在相变分析中的应用人们已对相变点附近的分形结构做了许多研究。
一些具有自相似结构分形的临界性质,不仅受其维数的影响,而且还同分岔度、空隙度和连接性等几何参量有关。
(14)在超微粒中的应用超微粒及其聚集体具有明显的分形特征,可用一组分形指数来表示。
而且,超微粒聚集体在粒径、熔化、磁性、电导及其生长过程中均具有分形特征。
(15)在分形量子力学中的应用分形量子力学的一个重要问题是求解分形晶格中的薛定谔方程,从而研究电子能谱分布,常用的是紧束缚近似方法。
研究结果表明,分形晶格上的本征谱具有互相嵌套的自相似结构,而不像平移对称晶格那样形成能带。
(16)在非线性光学中的应用在非线性光学中涉及不少分形现象。
在激光非线性薛定谔方程、相干态、波色及光场理论、可积系统理论、不可积哈密顿系统中的随机层、随机海和随机网等领域取得了很多成果。
另外,有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关。
分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域。
参考文献[1]约翰・霍甘.科学的终结[M].远方出版社,1997.[2]成思危.复杂性科学探索[M].民主与建设出版社,1999.[3]林洪溢,李映雪.分形论-奇异性探索[M].北京:北京理工大学出版社,1992.[4]Grassberger P,Procaccial I.Measuring the strangeness of strange attractor.Phys9D,1983,183:18904。