3 分形理论及其在物理学中的应用

2006年4月皖西学院学报Apr.,2006

第22卷第2期Journal of West Anhui U niversity Vol.22　NO.2

分形理论及其在物理学中的应用3

陈　力1,邵　瑞2

(1.安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246011;2.巢湖学院物理系,安徽巢湖238000)

摘　要:给出了分形的定义、有关概念、分形的描述方法、多重分形理论,以及分形理论在物理学中广泛的应用。

关键词:分形理论;分形维数;多重分形;物理应用

中图分类号:O437 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0038-03

1　分形学的创立

非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学[1,2]。它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。分形学[3,4]是非线性的一个活跃分支,它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。

分形学的初创形式是分形几何学,它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出的。分维数是1977年由曼德布罗特在《分形:形成、机率和维数(Fractals:Form,Chance and Dimension)》一书中创造的一个新的科技英语单词,这里分维数可反映由包含分数在内整个维数所覆盖的空间体系的粗糙程度。分维数的主要思想可以通过研究一组曲线来说明。分形是个新概念,分形学是个新的方法论和科学观。它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟,可以称作是科学的新里程碑。物质世界中广泛存在着非线性系统,所以必须寻找适当方法正确处理非线性问题。原本是非线性问题,若把它按线性系统加以处理,则不能正确解释其基本面貌。分形学为处理非线性系统问题提出了新思路和新方法。那么,什么是分形?分形的涵义是什么?分形概念的实质是指那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。

若F是分形集,那么它具备如下的典型性质:(1)F具有精细结构,即有任意小的比例的细节;(2)F是不规则的,不能用传统的语言来描述;(3)F通常具有某种自相似性,或者是近似的或者是统计意义下的;(4)F是局部的不确定和不稳定,但整体是确定和稳定的。

2　分形理论的基本内容

定量刻画分形特征的参数是分形维数。分形维数是分形的数量表示,它不是通常的欧氏维数的扩充,而是赋予了许多新的内涵。分形维数可以是分数值,也可以是整数值,并有多种定义和计算方法,如盒维数、关联维数、相似维数、信息维数、广义维数等。通常用的是豪斯道夫(Hausdōrff)维数。

2.1　豪斯道夫(Hausdōrff)维数

数学家豪斯道夫1919年提出连续空间的概念,也就是说空间维数不是突变而是连续变化,既可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫(Hausdōrff)维数,记作D f。

设有一个D f维几何图形,若其每边长度扩大L倍,则此图形的体积应扩大K倍,可表示为L D f=K,该公式对于任何普通的几何图形而言都是成立的。取对数得

D f=lg K/lg L

在这里,D f不一定是整数。这即是豪斯道夫定义的分形维数概念,通常称为豪斯道夫维数。

2.2　容量维数

833收稿日期:2006-02-15

作者简介:陈力(1980-),安徽安庆人,安庆师范学院物理与电气工程学院教师,研究方向:非线性光学。

设有一个体积为A ,分维为D f 的几何对象,要用半径为r 的小球去测量(填充或覆盖),则所需小球的数目为N (r )∞1/r D f ,此时几何对象的,分维为

D f =lg N (r )/lg (1/r )

称为柯尔莫个若夫(A.N.K olmogorov )容量维。

定义容量维为:D cp =lim r →0lg N (r )/lg (1/r )

2.3　信息维数

容量维的定义还存在一个很大的缺陷,即定义只考虑了半径为r 的球的个数,而每哟涉及每个球内部的差异(分形落入其中的点的多少),这将导致一些分形的差异显示不出来,例如在一数轴上,全体有理数所构成的集合的维数为1,而整个实数的集合的维数也为1。我们知道全体有理数是一个可数集,与无理数相比它是一种非常“稀薄”的集合,有理由认为它的“容量”为0,至少不会与全体实数集合的维数相同。因此,关于维数的定义还应该改进,设分形点落入第i 个球内的概率为P i ,则用半径为r 的球进行测量所得到的信息量为

I =

∑N (r )

i =1P i ln P i

则得到信息维数为

D I =lim r →0∑N (r )

i =1P i ln P i ln r

当落入小球内的点的概率相同时,P i =1/N (r ),与I 无关,则得到D I =D cp 。因此信息维数是容量维数的一个推广。

2.4　多重分形

多重分形测度研究物理量或其它量在几何支集上的分布。支集既可以是规则集,如平面、球面、几何实体等,也可以是分形集。多重分形是多个局部不同分形体组合而成,而每一局部是一个小的自相似性(即分形),具有自己的维数。

3　分形在物理学中的应用

分形是一种复杂的几何实体,但并不是所有的复杂几何形体都是分形,惟有具备自相似结构的那些几何形体才可能是分形。分形理论自从它诞生那一天开始就和应用研究密不可分,它的应用范围非常广泛,从大分子到宇宙星系,从自然科学到社会科学,凡是具有自相似性的现象就有分形存在。

物理系统本质上是非线性的,但当今的牛顿力学和量子力学对于非线性问题还是无能为力的,分形学是三大非线性科学的内容之一,在解决非线性问题中起着重要作用。分形学的问世给物理学的研究注入新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用。

(1)在分形凝聚中的应用

细微粒子如果形成像尘土一样的块体也会有分形构造,比如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生产、流体在多孔介质中的渗透等。为了研究分形凝聚,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DL A )模型和动力学集团凝聚(KCA )模型。

(2)在固体物理中的应用

在一些非晶态固体中存在着分形结构,而分形结构上的自相似可造成反常运输。准晶态的形态是受分形规律制约而均成为分维结构,分形可用于准晶态的研究。在固体扩散中,当非均匀介质的晶格为具有无标度性的分形晶格时,分形晶格的反常扩散可用谱维数加以描述。在固体的元激发中,分形晶格中元激发分形子态密度与谱维数有关。

(3)在多孔介质运输中的应用

有些多孔介质的空隙界面具有分形结构,这些多孔介质中的疏运规律会有许多反常行为。例如石油在沙石空隙间的流动、气体在多孔介质中的扩散等。分形理论已用来研究孔的分形特征对反应和扩散特性的影响。

(4)在薄膜研究中的应用

在薄膜的形成过程中出项的有些复杂图形具有分形结构。比如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样。分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中。

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