静电场边值的唯一性定理

第一章 静电场 恒定电流场
§8. 静电场边值 的唯一性定理
静电场的边值问题
已知电荷的空间分布 讨论电场的分布情况 已知:
带电导体的几何形状、 相对位置; 导体的电势Uk (导体的电量Qk)
e (r ) E(r )
讨论电场的分布.
静电场的边值的唯一性定理
给定一组边界条件, 空间存在唯一的恒定电场分布.

1
)
-
电像法 例
U qx 1 1 { } 3 3 x 4 0 l l [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 2 2 U qy 1 1 Ey { } 3 3 y 4 0 l l [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 2 2 l l z z U q 2 2 Ez { } 3 3 z 4 0 l l [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 2 2 Ex
叠加原理
带电导体的形状、 相对位置确定.
Uk
给定边界条件:
U1k(Q1k):电势分布为U1 U2k(Q2k):电势分布为U2
若每个导体电势(量) 边界条件为:
aU1k+bU2k aQ1k+bQ2k
空间电势分布必为: aU1+bU2
唯一性定理 给定导体的电势
带电导体的形状、相对位置确 定.
S
U1 U 2 dS 0 dS Qk n n S
Uk
U U1 U 2 : (导体不带电时电势分布) 0
S
U dS 0 n E1 E2
U U1 U 2 常量(据引理3) U1 U 2
静电屏蔽
Q1
+ + + + -
E0
-
引理1
无电荷的空间, 电势不可能有极大值 和极小值. 若P点电势极大, 邻近点电势梯度指向P; 场强E背离P点
E U
P P
E E dS 0
S
S
S
引理2
若所有导体电势为0, 则导体以外空间电势 处处为0.
U 0
电势在无电荷空间是 连续变化.
P
U 0
若有不为零的地方则 违反引理1.
U 0
引理2 推广
完全由导体包围的空间内各导体电势均相 等,整个空间的电势为常量.
U0
U0 U0
引理3
若所有导体不带电, 则各导体电势都相等. 否则,必存在电势最高 的导体 只存在正电荷 (无负电荷) 总电荷不为零。
+ +
B - +
+
A + + + C + +
e EnFra Baidu bibliotek( z 0)
En ( z 0) Ez
e
e
ql 4 [ x y (l / 2) ]
2 2 3 2 2
Thanks
2018/8/24
E0
Q
+
-
Q2
静电屏蔽
Q1
+ + + + -
Q
+
-
Q2
电像法 例
接地无穷大导体,电荷q. 求空间电势分布,导体上电荷分布.
+
电像法例
U U q 4 0 r q 4 0 ( q 4 0 r 1
2 2
+
r
r
P
l 2 l 2 2 2 x y (z ) x y (z ) 2 2 U qx 1 1 Ex { } 3 3 x 4 0 l l [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 2 2 U qy 1 1 Ey { } 3 3 y 4 0 l 2 2 l 2 2 2 2 2 2 [x y (z ) ] [x y (z ) ] 2 2 l l z z U q 2 2 Ez { } 3 3 z 4 0 l l [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 [ x 2 y 2 ( z )2 ]2 2 2
给定边界条件:Uk
假设有两种电势分布为U1、U2 U=U1-U2 为所有导体电势为零时的电势分布
Uk
(据引理2,U=0)
U1=U2 E1=E2
唯一性定理 给定导体的电量
给定边界条件:Qk
Qk e dS 0 En dS 0
S S S
U dS n
0