第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论10

dS 2Md2B NcoB sd2l
d2 sdx 2dy 2
其中dl=L-L0，L0通常是中央子午线的经度，L是P点的经度
NcosBdl
MdB
d2S M 2d2 B N 2co 2B s2 dN L2co 2B (sN M 2c 2do 22 B B sd2)L N 2co 2B (sd2q d2)L
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
1. 为什么要分带 (Why)
为了有效地控制长度变形
2. 如何分带 (How)
将椭球面沿子午线划分成若干个经差相等的狭窄 地带各带分别投影
3. 分带的方法 (Method)
三度带和六度带
(1)高斯投影6o带:自0o子午线起每隔经差6o自西向东分带，依次 编号1，2，3，…。我国6o带中央子午线的经度．由69o起每隔6o而 至135o，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用L。表示，它 们的关系如下图所示。
引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.
根据投影关系可知平面坐标x、y是大地坐标B、L的函数：
X=F1(L,B) Y=F2(L,B) 那么平面坐标x、y必是等量纬度q、经差l的函数，设其函数式为：
X=X(l,q)
Y=Y(l,q)
求微分，得dx、dy与dq与dl的关系式： dx
x q
÷ 2 ÷÷ 2
x q
÷÷ 2
y q
÷÷ 2
即为 :
y l
÷ 2
x q
÷÷ 2
考虑到导数的方向（x随q（或l）增加而增加, y随l（q）增加而增加（减少）），开根得：
x y q l
(-l,B)
(l,B)
(X,-Y) · · (X,Y)
P1 P2
再代入 3 式，得： x y
y = N1000000+500000+y
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
四2. 自高然斯坐平标与面通直用角坐坐标标系
通用坐标（假定坐标） 在高斯平面横坐标y至加上500000m的基础上，再在前 面冠以代号所形成的坐标。 自然坐标 例： 自然坐标：（30 456.33m，-200.25m） 通用坐标：（30 456.33m，20 499 799.75m）
1. 高斯投影的条件： （1）是正形投影，投影后角度不变； （2）中央子午线不变形
2. 高斯投影（正形投影）的性质： （1）投影后角度不变 （2）长度比与点位有关，与方向无关 （3）离中央子午线越远变形越大 （4）投影后，除中央子午线外，长度增大 3. 高斯投影带的划分
为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度 带或6度带分带，城市或工程控制网坐标采用任意带分带。
已知某点的经度L计算其所在6度带的带号n：
nint(L3)0.5
6
已知3度带的带号n′计算其中央子午线的经度L0′： L0'3n'
已知某点的经度L计算其所在3度带的带号n′： n'int(L0.5) 3
4. 国家统一坐标 理论上中央子午线的投影是 x 轴，赤道的投 影是 y 轴，其交点是坐标原点。 x 坐标是点至赤道的距离； y 坐标是点至中央子午线的距离，有正有负。 为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上500 公里。 为了区分不同投影带中的点，在点的Y坐标值上加 带号N,所以点的横坐标通用表示的值为
l q
由此可得椭球面到平面的正形投影的一般公式，又称柯西－黎
曼条件：
y x l q
x y
l
q
同理可得由平面正形投影到椭球面上的一般条件：
当F=0，E=G时长度比公式可化为： m 2rE 2 q x 2r 2 q y 2,或 m 2r G 2 x l 2r 2 y l 2
解决办法
西带向东带重迭30‘ 东带向西带重迭15‘
5. 椭球面元素化算到高斯投影面 主要内容： （1）将起始点P的大地坐标（L，B）归算为高斯平面直角坐标（x， y)，称之为高斯正算；为了检核，还要反算，即根据(x,y)反算 （L，B）。 （2）将椭球面上起算大地方位角APK归算到高斯平面上相应
边P´K´的坐标方位角αP´K´，需计算收敛角γ与方向改化δ。
mL
N
来自百度文库
E cosB
G mB N cosB
正形投影长度比与方向A无关，要使m与A脱离关系，则必须满足 F=0，E=G，即 ：
Fxxyy 0 q l q l
1
2
Eqx
2
qy
x2 l
y2 l
G
2
由 1 式可得：
y y
x l
q l x
3
q
将 3 式代入 2 式可得：
x q
÷÷ 2
y q
÷÷ 2
y l
m2d d2 2 S sE N2dc 2 q o2 2F B s(d d2 q q G d d2l)l2 dl
2. 柯西－黎曼条件：
由图可知： tan9(00A)P2P3 MdBdq P1P3 NcoBs dl dl
即： dltanAd,则 q ：
MdB
NcosBdl
当A=0°或180 °，得经线方向长度比： 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比：
（3）将椭球面上起边PK长S归算到高斯平面上的直线长s。
中央 子午线
大地线
平行圈
赤道
椭球面
高斯投影面
（4）将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上由相应直线组成的 三角形内角。需计算曲率改化即方向改化δ。
三）正形投影的一般条件 正形投影的本质：在正形投影中，长度比与方向无关。
1. 长度比的通用公式 如图，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：
(2)高斯投影3。带:是在6。带的基础上形成的。它的中央子 午 线一部分带(单数带)与6。带中央子午线重合，另一部分带(偶数带)与 6。带分界子午线重台。如用n’表示3。带的带号。L表示3。带中央子
午线的经度，它们的关系是L=3n’，如上图所示。
已知6度带的带号n计算其中央子午线的经度L0： L0 6n3
则长度比m为：
令
dq MdB 则 q BMd d B lB n t( g B ) e.(1 e siB )n
NcosB
0N cB os 42 2(1 e siB )n
因为q只与纬度B有关，所以称q为等量纬度，由于B与l（L）相互 独立，因而dB与dl也相互独立。
则长度比m2可表示为： 其中：r=NcosB
第四章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论(10)
十一 高斯平面直角坐标系
一）控制测量对地图投影的要求 1. 应采用等角投影 等角投影的优点: 1）可以免除大量角度观测元素的投影归算工作； 2）可以在有限的范围内使地图上图形与椭球上原形保持 相似。 2. 投影带来的长度和面积变形应不大，并能用简单的公式计 算变形改正数； 3. 为了使变形量控制在一定范围内，采用分带投影，各带可 联成一整体，并能相互换算。
二）高斯投影 由高斯提出并最先使用（但未发表），由史赖伯1866年整理发表 ，
后来，克吕格对其补充和完善。所以又称高斯-克吕格投影。 假想将地球椭球套在一个椭圆柱筒内，地球椭球的某一子午线（
中央子午线）与椭圆柱相切，用一定的投影方法将中央子午线两侧 一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将椭圆柱面展开为平面。 目前，英国、美国、德国、中国、俄罗斯等均采用该投影。
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
四 高斯平面直角坐标系
2. 自然坐标与通用坐标
x
X
x
AB y
AB
y Y
自然坐标
西移500km
通用坐标
自然坐标
x4 48507.681m
A y257.886m
x4 485076.81m
B
y 2 578.86m
通用坐标
X 4 48507.681m
x q
dq
x l
dl
dy y dq y dl
q
l
将上式代入 ds2 dx2dy2
并令： 可得：
E ( x )2 (y )2 q q
F ( x )( x ) ( y )( y ) q l q l
G (x )2 (y )2
l
l
d2sEd 2q 2Fd qG d2d l l
则，长度比公式为：
A
对投影方程全微分有： 对L＝常数的子午微分弧的投影
对B＝常数的平行圈微分弧的投影
那么 由上式可得 ：
cos
AB
x dB B
AC
y dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
sin
BB
y dB B
CC
x dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
（式中负呈是因为随B增加而y减少）
B x d q x q N B q M co B d q xs d B d B q B xNc M o Bs q xNc M o Bs y l B y d q y q N B q M co B d q ys d d B B q B yNc M o Bs q yNc M o Bs x l
3. 柯西－黎曼条件的几何意义
如图：AB是同一子午线（L=常数）上的微 分弧在平面上的投影，AC是同一平行圈上 （B=常数）的微分弧在平面上的投影， γ 是A点处子午线收敛角。
△ABB′与△ACC′相似，故有：
由于正形投影的长度比m与方向无关，则有：
投影方程为
x xL, B y yL, B
B
C
A
Y 1949742.114m
B
X 4 485076.81m
Y 19502578.86m
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
三、高斯投影的分带 (Belt Dispartion)
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming)
(1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接
则有柯西—黎曼条件： 还可得 ：
y x
l
q
x y
l
q
x
y
cos B L mM mN cos B
y
x
sin B L
mM mN cos B
进而可得子午线收敛角计算公式 ：
长度比计算公式 ：