高考数学 直接证明与间接证明 专题

高考数学 直接证明与间接证明 专题

1.(2010·青岛模拟)已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b

)，则A 、B 、C 的大小关系为 ( )

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B

C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

解析：a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝(12)x 在R 上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b

)． 答案：A

2．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是

( )

A ．f (2.5)

B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)

C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)

D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5)

解析：因为函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以x ＝2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f (2.5)>f (1)>f (3.5)．

答案：B 3．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

证明：A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：

∵

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴

a ＋

b ＋

c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3， ∴c a ＋b ＋a b ＋c

＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，

∴b 2＝a 2＋c 2－ac .

在△ABC 中，由余弦定理，得

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12

， ∵0°＜B ＜180° ∴B ＝60°.

∴A ＋C ＝2B ＝120°，

∴A 、B 、C 成等差数列．

4.若P ＝a ＋a ＋7，Q ( )

A ．P ＞Q

B ．P ＝Q

C ．P ＜Q

D ．由a 的取值确定

解析：∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，

只要证：2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，

只要证：a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，

只要证：0＜12，

∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．

答案：C

5．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.

证明：法一：(分析法)

要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，

只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．

又因为a ＋b ＞0，

只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．

又需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，

即需证(a －b )2＞0成立．

而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立，由此命题得证．

法二：(综合法)

a ≠

b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0

⇒a 2－ab ＋b 2＞ab .(*)

而a ，b 均为正数，∴a ＋b ＞0，

由(*)式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，

∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.

6.用反证法证明：a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是 ( )

A ．假设a 、b 、c 都是偶数

B ．假设a 、b 、c 都不是偶数

C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数

D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数

解析：“至少有一个”的否定“都不是”．

答案：B

7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a

( ) A ．都不大于－2

B ．都不小于－2

C ．至少有一个不大于－2

D ．至少有一个不小于－2

解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a

都小于或等于－2， 即a ＋1b ≤－2，b ＋1c ≤－2，c ＋1a

≤－2， 将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a

≤－6， 又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c

≤－2， 三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a

≤－6， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a

≤－6成立． 答案：C

8．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈，都

有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12

.那么他的反设应该是________． 解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．

答案：“存在x 1，x 2∈，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12

” 9．已知a ，b ，c 是互不相等的实数．

求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．

证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，

由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，

y ＝bx 2＋2cx ＋a ，

y ＝cx 2＋2ax ＋b ，

得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，

Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，

Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.

上述三个同向不等式相加得，

4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，

∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0，

∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0，

∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．

10.设a ，b ，c ，d ∈(0 ( )

A ．ad ＝bc

B ．ad