两条直线垂直的判定 (2)
2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件(人教版)(2)
5
－3－2
8－3
5－（－3）
4
4
因为 kBC＝
＝－ ≠－ ，
3
5
－3－3
所以 A，B，C，D 四点不共线．所以 l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝tan 60°＝ 3，
－2 3－ 3
k2＝
＝ 3，
－2－1
所以 k1＝k2，所以 l1∥l2．
两条直线平行
(3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，
问题1.设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，方向向量分别为，，试用k
Ԧ
1，k2写出
向量，的坐标．
Ԧ
答：＝(1，k
Ԧ
1)，＝(1，k2)．
问题2．如果l1⊥l2，那么方向向量，有什么关系？你会得出怎样的关系式？
Ԧ
答：⊥，l
Ԧ
Ԧ ∙ ＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1·
k2＝－1.
(4)l1 经过 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过 G(3，4)，H(2，3)．
【分析】 根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，
要注意斜率不存在及两直线重合的情况
两条直线平行
5－1
－7＋3
4
4
解：(1)由题意知，k1＝
＝－ ，k2＝
＝－ ，所以 l1 与 l2 重合或平行．
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
直线、平面垂直的判定及性质
第3讲直线、平面垂直的判定及性质1．直线与平面垂直：(1)方法1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(2)方法2：如果两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于该平面．(3)方法3：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．2．面面垂直：(1)方法1：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2) 方法2：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．考向一直线与平面垂直的判定与性质【1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【2】(2012·南通调研)如图，平面P AC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点，点G 是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，P A＝PC＝2 2.求证：(1)P A⊥平面EBO；(2)FG∥平面EBO.【3】(2012·福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE；若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【4】(2012·镇江调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)证明：EB∥平面P AD；(2)若P A＝AD，证明：BE⊥平面PDC.【5】(2011·扬州调研)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直，点H是BE的中点，点G是AE、DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE.【6】(2012·扬州调研)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.考向二平面与平面垂直的判定与性质【7】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.【8】(2011·江苏卷)如图在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .考向三 线面、面面垂直的综合应用【9】(2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高． (1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .【10】(2012·南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ； (2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．考向四 求线段的长度问题【11】(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【12】(2011·江西卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长；(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE .【训练达标】【1】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .【2】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .【3】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．【4】如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1D AD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．【5】如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小；(2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．【6】如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【7】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【8】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．【9】如图所示，在三棱锥P—ABC中，△P AB是等边三角形，∠P AC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面P AC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积．【10】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。
两条直线垂直的判定方法
两条直线垂直的判定方法一、引言在几何学中，两条直线垂直的情况是常见的。
判定两条直线是否垂直是几何学中的一个基本问题。
直线垂直的判定不仅在几何证明中有着广泛的应用，而且在工程设计、建筑等领域中也具有实际意义。
本文将详细介绍两条直线垂直的判定方法，并通过实例说明这些方法的应用。
二、两条直线垂直的判定方法在平面直角坐标系中，对于两条直线的方程分别为：y =k 1x +b 1 和 y =k 2x +b 2。
如果这两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1，即 k 1×k 2=−1。
当 k 1 和 k 2 不存在时，表示直线为垂直于x 轴的直线，这时另一条直线的斜率不存在，也满足垂直的条件。
对于垂直于x 轴的直线，其方程可以表示为 x =a 的形式。
任意一条直线 y =kx +b ，如果它与直线 x =a 垂直，则它们的斜率之积为-1，即 k ×0=−1。
由于垂直于x 轴的直线斜率不存在，因此任何斜率为k 的直线与它垂直的条件是斜率不存在。
在平面向量中，两个向量垂直的条件是它们的数量积为0。
设两个非零向量为 →A=(a 1,a 2) 和 →B =(b 1,b 2)，如果 →A 和 →B 垂直，则 →A⋅→B =a 1b 1+a 2b 2=0。
对于直线而言，可以将直线上任意两点的坐标视为向量，然后利用数量积为0的条件来判断两直线是否垂直。
三、判定方法的实践应用为了更好地理解两条直线垂直的判定方法，下面通过几个实例进行说明：四、结论通过以上介绍和实例分析，我们可以得出以下结论：对于两条直线的垂直判定，我们可以通过观察它们的斜率关系、考虑其中一条直线是否垂直于x 轴或利用向量的数量积为0的条件来进行判断。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法来判断两条直线的垂直关系。
这些判定方法不仅有助于解决几何问题，还可以应用于工程和设计中对线段和空间结构的分析和处理。
1. 斜率判定法2. 垂直于x 轴的直线判定法3. 向量判定法1. 斜率判定法的应用设两条直线的方程分别为 y =2x +3 和 y =−12x +5，要求判断这两条直线是否垂直。
证明两直线垂直的几种常用方法
数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。
垂直线的性质与判定
垂直线的性质与判定垂直线是几何学中的一个重要概念，在解题过程中经常会涉及到垂直线的性质和判定。
本文将探讨垂直线的定义、性质以及如何准确判定两条直线是否垂直的方法。
一、垂直线的定义在平面几何中，垂直线又称为垂直于某一直线或垂直于某一平面的线段。
当两条直线的交角为90度时，我们可以称这两条直线垂直。
垂直线以其与其他线段之间的垂直关系而得名，具有以下几个重要性质。
二、垂直线的性质1. 互相垂直线的斜率的乘积为-1若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1*k2=-1，则这两条直线互相垂直。
2. 垂直线段的端点连线长度相等若两个线段的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD垂直，则AC的长度等于BD的长度。
3. 垂直线的特殊性质垂直线与直线组成直角。
在平面几何中，如果有一直线与另一直线垂直相交，则两直线之间形成的角为直角。
三、判定垂直线的方法1. 斜率判定法如果两条直线的斜率乘积为-1，即k1*k2=-1，则两条直线垂直。
2. 互相垂直线段端点连线长度相等法如果有两个线段，它们的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD互相垂直，那么这两个线段长度相等。
3. 垂直线的特殊性质判定法如果一条直线与另一直线形成的角为90度，则两条直线垂直。
四、示例以下是一些关于判定垂直线的示例问题。
1. 已知直线L1的斜率为2，判断直线L2是否与L1垂直。
解答：如果直线L2的斜率为-1/2，则L2与L1垂直。
2. 在平面直角坐标系中，已知线段AB与线段BC相交于点B，且AB与BC的长度相等，判断线段AB与BC是否垂直。
解答：线段AB与BC垂直的判据是线段AB与BC的端点连线长度相等。
3. 以AB为直径的圆与MN相交于点C，若MC的长度为8cm，判断AC与BC是否垂直。
解答：判定AC与BC垂直的方法是通过角度判断，即判断∠ACB 是否为90度。
五、总结垂直线作为几何学中的重要概念，其性质和判定方法在解题过程中起到重要的作用。
本文讨论了垂直线的定义、性质和判定方法，并通过示例问题对判定垂直线的方法进行了说明。
两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案
两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2, 34求实数a 的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等;121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-错解又③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值为( )A.2B.1C.0D.-13.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a 的值等于____.10. l 1过点A(m,1),B(-3,4),l 2过点C(0,2),D(1,1),且l 1∥l 2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是 A 锐角不为450的直角三角形 B 顶角不为900的等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45 二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿ 三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。
两条直线平行与垂直的判定
l1 // l2 k1 = k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
甲
乙
丙
结论2： 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： 当另一条直线的斜率为0时， 则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
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荒山脉の最佳补给城市,并不是每个元帅境の练家子都有能力拥有の,所以夜棍当初也花了大代价,大力气才好不容易当上了这个油水十足の蛮城家主. 既然花了大代价,大力气才当上这个家主.那肯定是要好好享受享受了,于是夜棍开始广收银钱,以便更好の享受,更好の稳固 这个家主位置. 位置稳固了,钱也还在继续收,那么当然就开始享受了,比如睡在枕头边の这个小世家の漂亮千金,便让他整整享受了一晚上. 只是刚刚忙碌了一晚上,又是爬山,又是涉水,他十分辛苦,刚刚休息,房门外却那讨厌の敲门声却响个不停.所以他无比愤怒,骂骂咧咧打 开门,用快要冒火の眼睛瞪着侍卫那张苦瓜の脸,大吼起来："如果你不能给我一个合理の解释,我想你那个十四岁の妹妹,可能就要提前变成少妇了." "大人,我妹妹长得和我一样丑！那个,是外面有人找你."苦瓜脸の侍卫一听,脸上
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
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3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
两条直线垂直的判定公式
两条直线垂直的判定公式摘要：一、垂直概念引入二、垂直判定公式的推导1.同一平面内两条直线2.同一平面内两条直线斜率之积为-13.两条直线垂直的判定公式三、判定公式的应用与意义1.在实际问题中的应用2.提高解决问题的效率3.对数学发展的推动正文：在几何学中，两条直线的关系有平行、相交和垂直等。
垂直是其中一种特殊的关系，它具有重要的几何和应用价值。
本文将详细介绍两条直线垂直的判定公式，并通过实际应用来展示其在解决问题中的重要性。
首先，我们需要了解垂直的概念。
在同一平面内，两条直线如果相交成90 度，那么这两条直线就互相垂直。
垂直线具有特殊的性质，如相互垂直的直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，以及垂直线段最短等。
为了判定两条直线是否垂直，我们需要推导出垂直判定公式。
首先考虑在同一平面内的两条直线。
如果这两条直线的斜率存在，那么我们可以通过计算它们的斜率之积来判断它们是否垂直。
具体来说，如果两条直线的斜率分别为m 和n，那么当m * n = -1 时，这两条直线互相垂直。
然而，在实际问题中，我们可能无法直接获得两条直线的斜率。
这时，我们可以通过其他方法来判定垂直。
观察两条直线的一般式方程Ax + By + C = 0，我们可以发现，当B^2 - A^2 = 0 时，这两条直线互相垂直。
通过这个公式，我们可以更方便地判断两条直线是否垂直，而无需计算斜率。
在实际问题中，判定两条直线垂直的公式具有很高的应用价值。
例如，在建筑和工程领域，需要判断结构中的线缆、梁和柱等是否相互垂直，以确保结构的稳定和安全。
在计算机图形学中，垂直判定公式可以用于计算二维空间中物体的碰撞检测，从而实现游戏和动画中的真实感。
此外，垂直判定公式还为数学研究提供了有力的工具，推动了数学的发展。
总之，两条直线垂直的判定公式在几何学、实际问题和数学发展中具有重要的地位。
(完整)两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案,推荐文档
两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值. 3 4变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( ) A.2B.1C.0D.-1121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-Q 错解又3.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于____.10. l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是A 锐角不为450的直角三角形B 顶角不为900的等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿ 三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。
两条直线平行与垂直的判定
第2课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P86～P89，回答下列问题：(1)观察教材图3.1－7，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？提示：α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan_α1＝tan_α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1、k2不存在．(2)观察教材图3.1－10，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？提示：α2＝α1＋90°，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．归纳总结，核心必记(1)两直线平行的判定①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有k1＝k2⇔l1∥l2.②若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合．③若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到l1∥l2.(2)两直线垂直的判定①如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1.②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．[问题思考](1)若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．(2)若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：不一定，如果两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样判定两条直线平行？ ；(2)怎样判断两条直线垂直？ .[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？ 名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l 1∥l 2⇔k 1＝k 2或l 1，l 2斜率都不存在． 讲一讲1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． [尝试解答] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[思考] 对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？ 名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[尝试解答] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. ∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是__________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4， 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)． -=答案=-：(1,0)或(2,0)讲一讲3．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．(链接教材P 89—例6)[思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ， 所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练3．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．解：设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图，由于k AB ＝3，k BC ＝0， ∴k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰． 若AD 是直角梯形的直角腰， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3， 由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又AB ∥CD ，∴yx －3＝3.②解①②两式可得⎩⎨⎧x ＝185，y ＝95.此时AD 与BC 不平行．若DC 为直角梯形的直角腰，则DC ⊥BC ，且AD ∥BC .∵k BC ＝0，∴DC 的斜率不存在． 故x ＝3，又AD ∥BC ，则y ＝3. 故D 点坐标为(3,3)．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝⎛⎭⎫185，95.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤，见讲1.(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲2. (3)判断图形形状的方法步骤，见讲3.3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲2.课下能力提升(十六) [学业水平达标练]题组1 两条直线平行的判定及应用1．若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1、α2，斜率分别为k 1、k 2，有下列命题：①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2； ②若k 1＝k 2，则l 1∥l 2； ③若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2； ④若α1＝α2，则l 1∥l 2. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选C ①错，两直线不一定有斜率．2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0 C．2 D．10解析：选A由题意可知，k AB＝4－mm＋2＝－2，所以m＝－8.3．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的位置关系为________．解析：∵直线y＝0的斜率为k1＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k2＝3－3－2－1＝0, ∴两条直线平行．-=答案=-：平行4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB.∴k EF＝k AB＝－1－32－0＝－2.-=答案=-：－2题组2两条直线垂直的判定及应用5．(2016·淄博高一检测)直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.6．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．解析：由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.-=答案=-：－17．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝3 3，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－ 3. -=答案=-：－ 3题组3 两条直线平行与垂直的综合应用8．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C k AB ＝1－(－1)－1－2＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，∵k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 点为直角顶点的直角三角形．9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值． (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． 解：设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率为k 1＝2－a a －4，所以2－a a －4＝－a3，解得a ＝1或a ＝6，经检验当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，k 1＝2－aa －4，由k 1·k 2＝－1得到2－a a －4×⎝⎛⎭⎫－a3＝－1， 解得a ＝3或a ＝－4.10．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，即⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．[能力提升综合练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．3．(2016·邯郸高一检测)若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( )A ．135°B ．45°C ．30°D ．60° 解析：选B k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.4．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0.k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．5．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥B D.-=答案=-：①④6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0. -=答案=-：07．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ·k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92. 8．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1， 解得k 1＝－45，k 2＝－15. ∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。
两直线的位置关系
例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直 关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 两条直线的斜 率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两 条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－ ， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－ ＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二 设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3， 将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－ ， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】 由题意，得 2 4＝ ，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所 以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方 程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.
证明两线互相垂直的常用方法
证明两线互相垂直的常用方法我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.一、利用定义垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.求证：PC是⊙O的切线；分析：因为点C在圆上，只要说明OC⊥CP即可。
解：∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠ A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线例2：（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过三角形全等，间接证明角度为90°。
证明：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴ △ACD≌△BCE（SAS）∴ ∠DAC＝∠EBC．∵ ∠ADC＝∠BDF，∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴ ∠BFD=90°∴ AF⊥BE．（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE，显然不全等，考虑相似即可。
2-1-2两条直线平行和垂直的判定 课件(共35张PPT)
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
两条直线互相垂直的判定方法
两条直线互相垂直的判定方法两条直线互相垂直是几何学中一个十分重要的概念。
我们经常需要在问题中判定两条直线是否互相垂直，以便于解决问题。
本文将介绍十条常用的两条直线互相垂直的判定方法，并对每种判定方法进行详细描述。
1. 两直线斜率之乘积为-1若两条直线的斜率分别为k1和k2，则当k1 * k2 = -1时，可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条直线的斜率为负倒数时垂直，所以只需要计算斜率并相乘即可得到答案。
2. 两直线上的任意一对垂线相交于一个点若两条直线上存在一对垂线，且这对垂线相交于一个点，则可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条直线的垂线相交于一个点时垂直，所以只需要找到两条直线上的一对垂线并验证它们是否相交于一个点即可得到答案。
3. 两直线之间的夹角为90度若两条直线之间的夹角是90度，则可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条垂直线之间的夹角为90度，所以只需要计算两条直线之间的夹角并判断其是否为90度即可得到答案。
4. 两直线上的任意一组相交线段互相垂直若两条直线上存在一组相交线段，且这组线段互相垂直，则可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条直线上的相交线段的垂线互相垂直，所以只需要找到两条直线上的一组相交线段并验证它们是否互相垂直即可得到答案。
5. 两直线上的垂线长度相等若两条直线上的任意一对垂线长度相等，则可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条垂直线的垂线长度相等，所以只需要找到两条直线上的一对垂线并验证它们的长度是否相等即可得到答案。
6. 两直线上的垂线作等腰三角形若两条直线上的任意一对垂线与两条直线构成的角是等腰三角形，则可以判定这两条直线互相垂直。
这个判定方法的基础是两条垂直线的垂线与两条直线构成的角是等腰三角形，所以只需要找到两条直线上的一对垂线并验证它们是否与两条直线构成的角是等腰三角形即可得到答案。
7. 两直线上的垂线作等角三角形若两条直线上的任意一对垂线与两条直线构成的角是等角三角形，则可以判定这两条直线互相垂直。
江苏理数 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系
1 4 4 则 ×a×b＝2，得 ab＝4，④ 2 由③④，得 a＝2，b＝2.
[谨记通法] 1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1) 两直线平行 ⇔ 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距 不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，则 它们之间的距离是________．
6 m 14 解析：因为 ＝ ≠ ，所以 m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 3 4 －3 |－3－7| 可化为 3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝ 2 2 ＝2. 3 ＋4 答案：2
2．已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1 ＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m ＋n＝________.
4－m 解析：因为 l1∥l2，所以 ＝－2(m≠－2)，解得 m＝ m＋ 2 －8(经检验， l1 与 l2 不重合)， 因为 l2⊥l3， 所以 2×1＋1×n ＝0，解得 n＝－2，所以 m＋n＝－10. 答案：－10
|C1－C2| 2 2 A ＋ B d＝_________
Ax＋By＋C2＝0间距离
[小题体验]
1． (教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l： x－y＋3＝0 的距离 为 1，则 a＝________. |a－2＋3| 解析：由题意知 ＝1，所以|a＋1|＝ 2， 2
又 a>0，所以 a＝ 2－1.答案： 2－1
[小题纠偏]
1．已知直线 l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1 与 l2：(t－1)x＋(2t＋3)y ＋2＝0 互相垂直，则 t 的值为________． 1 解析：①若 l1 的斜率不存在，此时 t＝1，l1 的方程为 x＝ ，l2 的方 3
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两条直线垂直的判定
【变式训练】
已知点M(2,2)，N(5,－2)，点P在x轴上，分别求 满足下列条件的P点坐标． (1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)． (2)∠MPN是直角．
解：(1) 设P(x,0)，
∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP.
∴又∴kk1OO＝MM＝ ＝x 2k522N，P00.＝∴1x，＝k7N，P＝
两条直线垂直的判定
【典型例题】
已知四边形MNPQ的顶点为M(1,1),N(3,-1), P(4,0),Q(2,2), 求证：MNPQ四边形为矩形. 解：由题意得MN边所在直线的斜率kMN =-1． PQ边所在直线的斜率kPQ=-1 ， NP边所在直线的斜率kNP =1 ， QM边所在直线的斜率kQM=1 , 则kMN = kPQ ； kNP =kQM． 所以四边形MNPQ为平行四边形， 又因为kMN kNP =1 × (-1 )=1， ∴MN⊥NP，即平行四边形MNPQ为矩形.
0 2
x5
2
5
(x≠5)，
即P点坐标为(7,0).
两条直线垂直的判定
【变式训练】
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP， ∴又∴kkMMPP＝2• k2N2P＝x 2－(x1≠.2＝)，－k1N，P ＝解得x 2x5＝(x1≠或5)x，＝6，
2 x x5
即P点坐标为(1,0)或(6,0)．
知识点——
两条直线垂直的判定
两条直线垂直的判定
【两直线垂直】
设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 . 若l1⊥l2 ，则k1k2 =-1 .
两条直线垂直的判定
【要点诠释】
1.公式 l1⊥l2 k1k2 =-1成立的前提条件
是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在,另一条直 线的斜率为0时，两条直线也垂直.